از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد
"Snowflake Sierpinski" در اینجا تغییر مسیر می دهد. برای مصارف دیگر ، منحنی سیرپینسکی را ببینید .
6 مرحله از فرش سیرپینسکی.
فرش Sierpinski برای یک هواپیما است فراکتال برای اولین بار توسط توصیف این Wacław Sierpinski با در سال 1916. فرش یکی تعمیم است مجموعه کانتور به دو بعد؛ دیگری غبار کانتور است .
تکنیک تقسیم یک شکل به نسخه های کوچکتر از خود ، حذف یک یا چند نسخه و ادامه بازگشت به صورت بازگشتی می تواند به شکل های دیگر گسترش یابد. به عنوان مثال ، تقسیم یک مثلث مساوی به چهار مثلث مساوی ، از بین بردن مثلث وسط و بازگشت مجدد به مثلث سیرپینسکی منجر می شود . در سه بعد ، ساختاری مشابه مبتنی بر مکعب ها به اسفنج منگر معروف است .
فهرست
- 1ساخت و ساز
- 2خصوصیات
- 3حرکت براونی روی فرش سیرپینسکی
- 4غربال غربال
- 5برنامه های کاربردی
- 6همچنین ببینید
- 7منابع
- 8لینک های خارجی
ساخت و ساز [ ویرایش ]
ساخت فرش سیرپینسکی با یک مربع آغاز می شود . مربع در یک شبکه 3 به 3 به 9 زیر مجموعه هماهنگ برش داده می شود و زیر مجموعه مرکزی برداشته می شود. سپس این رویه به صورت بازگشتی به 8 زیرمجموعه باقی مانده ، آگهی infinitum اعمال می شود . این می تواند به عنوان مجموعه ای از نقاط در مربع واحد تحقق یابد که مختصات نوشته شده در پایه سه ، هر دو دارای یک رقم '1' در یک موقعیت نیستند. [1]
روند از بین بردن مجدد مربع ها نمونه ای از یک قانون زیربخش محدود است .
خواص [ ویرایش ]
نوع از منحنی پیانو با خط وسط پاک ایجاد یک فرش Sierpinski برای
مساحت فرش صفر است (در اندازه گیری استاندارد Lebesgue ).
اثبات: معنی عنوان iمنطقه از تکرار i. سپس i+ 1 =8/9i . بنابراین i = (8/9) i ، که تمایل به 0 i تا بی نهایت می رود.
داخلی از فرش خالی است.
اثبات: با تضاد تصور کنید که یک نقطه P در قسمت داخلی فرش وجود دارد. سپس یک مربع با محور P وجود دارد که کاملاً در فرش موجود است. این مربع شامل یک مربع کوچکتر است که مختصات آن چند برابر است1/3 کیلبرای برخی از K . اما ، این مربع باید در تکرار k قرار گرفته باشد ، بنابراین نمی تواند در فرش موجود باشد - یک تناقض.
بعد هاسدورف از فرش استlog 8ورود به سیستم 3≈ 1.8928 . [2]
سیرپیسکی نشان داد كه فرش وی منحنی هواپیمای جهانی است. [3] یعنی: فرش سیرپینسکی یک زیر مجموعه کامپکت از هواپیما است که دارای ابعاد 1 لبزگو است و دارای ابعاد 1 است و هر زیر مجموعه از هواپیما با این خصوصیات ، هومومورف است تا برخی از زیر مجموعه های فرش سیرپینسکی.
این "جهانی بودن" فرش سیرپینسکی به معنای تئوری طبقه بندی یک ویژگی جهانی واقعی نیست: این فضای را تا هومومورفیسم منحصر به فرد توصیف نمی کند. به عنوان مثال ، اتحادیه جدا کننده فرش سیرپینسکی و یک دایره نیز یک منحنی هواپیمای جهانی است. با این حال ، در سال 1958 گوردون چرابورن[4] به طور منحصر به فرد فرش سیرپینسکی را به شرح زیر توصیف کرد: هر منحنی که به صورت محلی متصل باشد و دارای "نقاط برش محلی" نباشد ، هومومورف فرش سیرپینسکی است. در اینجا یک محلی نقطه برش با یک نقطه است ص که برخی از محله متصل U از ص دارای خاصیت است کهU - { ص }متصل نیست به عنوان مثال ، هر نقطه از دایره یک نقطه برش موضعی است.
در همین مقاله چراوبورن توصیف دیگری از فرش سیرپینسکی ارائه داد. به یاد بیاورید که یک پیوستار یک فضای متریک متصل به نامحدود است. فرض کنید X یک زنجیره جاسازی شده در هواپیما است. فرض کنید مکمل آن در هواپیما دارای تعداد زیادی از مؤلفه های متصل C 1 ، C 2 ، C 3 ، ... است و فرض کنید:
- قطر C iبه صفر می رود به عنوانi → ∞ ؛
- مرز C i و مرز C J هستند متلاشی اگرi ≠ j را ؛
- مرز C i یک منحنی بسته ساده برای هر i است .
- اتحاد مرزهای مجموعه C i در X متراکم است .
سپس X به فرش سیرپینسکی هومومورف است.
حرکت براونی روی فرش سیرپینسکی [ ویرایش ]
موضوع حرکت براون روی فرش سیرپینسکی در سالهای اخیر مورد توجه قرار گرفته است. [5] مارتین بارلو و ریچارد باس نشان داده اند که یک پیاده روی تصادفی روی فرش سیرپینسکی با سرعت کمتری نسبت به یک پیاده روی تصادفی نامحدود در هواپیما پخش می شود. حالت دوم متناسب با √ n بعد از n مراحل می باشد ، اما پیاده روی تصادفی روی فرش گسسته سیرپینسکی فقط برای برخی از β > 2 به فاصله متوسط متناسب با β √ n می رسد . آنها همچنین نشان دادند كه این پیاده روی تصادفی ، انحراف بزرگتر قوی را برآورده می كندنابرابری ها (به اصطلاح "نابرابری های زیر گاوی") و عدم برابری نابرابری بیضوی هارناک بدون برآوردن پارابولیک. وجود چنین نمونه ای سالهاست که یک مشکل باز است.
غربال غربال [ ویرایش ]
تکرار سوم غربال والیس
تنوع فرش سیرپینسکی به نام الک والیس با همین تقسیم بندی مربع واحد به نه مربع کوچکتر و جدا کردن وسط آنها از همین طریق آغاز می شود. در سطح بعدی از زیربخش، آن subdivides هر یک از مربع به 25 مربع کوچکتر و حذف یکی وسط، و آن را در ادامه می دهد من هفتم گام با تقسیم هر یک از مربع به (2 i+ 1) 2 (در مربع های عجیب و غریب [6] مربع های کوچکتر و حذف قسمت میانی.
توسط محصول Wallis ، مساحت مجموعه حاصل شده استπ/4، [7] [8] برخلاف فرش سیرپینسکی استاندارد که دارای محدودیت صفر است.
با این وجود ، با توجه به نتایج چرابورن که در بالا به آن اشاره شد ، می توانیم ببینیم که غربال والیس هومومورف فرش سیرپینسکی است. به ویژه ، فضای داخلی آن هنوز خالی است.
برنامه ها [ ویرایش ]
تلفن همراه و آنتن های فراکتال وای فای در قالب چند تکرار از فرش سیرپینسکی تولید شده اند. به دلیل خود شباهت و تغییر ناپذیر بودن مقیاس ، آنها به راحتی چندین فرکانس را در خود جای می دهند. همچنین ساخت آنها آسان و کوچکتر از آنتن های معمولی با عملکرد مشابه است ، بنابراین برای تلفن های همراه با اندازه جیب مناسب هستند.
منبع
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.