اسفنج منگر

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه سی ام خرداد ۱۳۹۹ | 20:2

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

تصویری از M 4 ، اسفنج پس از چهار تکرار روند ساخت و ساز

در ریاضیات ، اسفنج منگر (همچنین به عنوان مکعب منگر ، منحنی جهانی منگر ، مکعب سیرپینسکی یا اسفنج سیرپینسکی شناخته می شود ) [1] [2] [3] یک منحنی فراکتال است . این یک تعمیم سه بعدی از مجموعه یک بعدی کانتور و فرش سیرپینسکی دو بعدی است . این نخستین بار توسطکارل منگر در سال 1926 و در مطالعات خود در مورد مفهوم بعد توپولوژیکی توصیف شده است . [4] [5]

فهرست

ساخت و ساز [ ویرایش ]

تصویر 3: نمایش مجسمه ای از تکرارهای 0 (پایین) تا 3 (بالا).

ساخت اسفنج منگر را می توان به شرح زیر توصیف کرد:

با یک مکعب شروع کنید.
مانند هر مکعب روبیک ، هر صورت مکعب را به نه مربع تقسیم کنید . این زیر مکعب را به 27 مکعب کوچکتر تقسیم می کند.
مکعب کوچکتر را در وسط هر صورت برداشته و مکعب کوچکتر را در مرکز مکعب بزرگتر بردارید و 20 مکعب کوچکتر باقی بگذارید. این اسفنج Menger سطح 1 (شبیه مکعب باطل ) است.
برای هر کدام از مکعب های کوچکتر باقیمانده ، مراحل دو و سه را تکرار کنید و به تکرار آگهی بی نهایت ادامه دهید .

تکرار دوم به اسفنج سطح 2 می دهد ، تکرار سوم اسفنج سطح 3 و غیره را نشان می دهد. خود اسفنج منگر بعد از تعداد نامحدود تکرارها ، محدودیت این روند را دارد.

تصویری از ساخت تکرار شونده یک اسفنج منگر تا M 3 ، تکرار سوم

انیمیشن اسفنج منگر از طریق (4) مراحل بازگشتی

خواص [ ویرایش ]

سطح مقطع شش ضلعی اسفنج منگر سطح 4.الف مراجعه سری از کاهش عمود بر قطر فضایی است.

N هفتم مرحله از اسفنج منگر، M N ، است تا از 20 ساخته شده N کوچکتر مکعب با طول ضلع، هر (1/3) N . حجم کل M N بنابراین (20/27) N . مساحت کل از M N است عبارت 2 (20/9) داده N + 4 (8/9) N . [6] [7]بنابراین حجم ساخت و ساز نزدیک به صفر می شود در حالی که مساحت آن بدون محدودیت افزایش می یابد. با این وجود با ادامه کار ساخت و ساز ، هر سطح انتخابی در ساخت و ساز کاملاً سوراخ می شود ، به طوری که حد نه یک جامد است و نه یک سطح. ابعاد توپولوژیکی 1 دارد و بر همین اساس به عنوان منحنی مشخص می شود.

هر قسمت از ساخت و ساز تبدیل به یک فرش سیرپینسکی می شود و تقاطع اسفنج با هر مورب مکعب یا هر خط میانی صورت یک مجموعه کانتور است . مقطع اسفنج از طریق آن مرکز و عمود بر یک قطر فضای یک شش ضلعی منظم سوراخ با هگزاگرام مرتب در تقارن شش برابر شده است. [8] تعداد این شش گوش ها ، در اندازه نزولی ، توسط داده شده است $\ displaystyle a_ {n} = 9a_ {n-1} -12a_ {n-2}}$ ، با \ $\ displaystyle a_ {0} = 1 ، \ a_ {1} = 6$ [9] .

ابعاد اسفنجی Hausdorff استlog 20/ورود به سیستم 32.727 پوند لبسگو بعد پوشش از اسفنج منگر یکی، مانند هر است منحنی . منگر نشان داد، در سال 1926 ساخت و ساز، که اسفنج است منحنی جهانی ، در آن هر منحنی [ RU ] است homeomorphic به یک زیر مجموعه از اسفنج منگر، که در آن یک منحنی به معنی هر جمع و جور فضای متریک از لبسگو پوشش یک بعد؛ این شامل درختان و نمودارهایی با تعداد قابل توجهی از لبه ها ، راسها و حلقه های بسته دلخواه است که به روش دلخواه به یکدیگر متصل می شوند. در یک روش مشابه ، فرش سیرپینسکییک منحنی جهانی برای همه منحنی هایی است که می توان در صفحه دو بعدی کشیده شد. اسفنج منگر ساخته شده در سه بعد این ایده را به نمودارهایی که مسطح نیستند ، گسترش می دهد و ممکن است در هر ابعادی تعبیه شود.

اسفنج Menger یک مجموعه بسته است . از آنجایی که این مرز نیز محدود است ، قضیه هایین-بورل دلالت بر جمع و جور بودن آن دارد . این اندازه گیری Lebesgue 0. است. از آنجا که حاوی مسیرهای مداوم است ، یک مجموعه غیر قابل شمارش است .

تعریف رسمی [ ویرایش ]

به طور رسمی ، اسفنج منگر می تواند به شرح زیر تعریف شود:

$M: = \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} M_ {n$

که در آن M 0 است مکعب واحد و

$M_ {n + 1}: = \ سمت چپ \ {{\ شروع {ماتریس} (x ، y ، z) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: & {\ fill {ماتریس exists \ من ، j ، k \ in \ {0،1،2 \} :( 3x-i، 3y-j، 3z-k) \ in M_ {n} \\ {\ mbox {و حداکثر یکی از}} i، j، k {\ mbox {برابر است با 1}} \ end {ماتریس}} \ end {ماتریس}} \ درست \.$

MegaMenger [ ویرایش ]

مدلی از تتریكس كه در مركز كمبریج Level-3 MegaMenger در جشنواره علوم كمبریج 2015 مشاهده شده است

یکی از MegaMenger ، در دانشگاه حمام

MegaMenger یک پروژه با هدف ساختن بزرگترین مدل فراکتال بود که توسط مت پارکر از دانشگاه کوئین مری لندن و لورا تالمان از دانشگاه جیمز مدیسون پیشگام شد . هر مکعب کوچک از شش کارت ویزیت تاشو ساخته شده ساخته شده است ، در مجموع 960 000 برای یک اسفنج سطح چهار. سطوح بیرونی سپس با پانل های کاغذ یا مقوا چاپ شده با طرح فرش سیرپینسکی پوشیده شده اند تا از نظر زیبایی زیبایی بیشتری داشته باشند. [10] در سال 2014 ، بیست و سه اسفنج منگر ساخته شد ، که این ترکیب یک سطح اسفنج منگر توزیع شده سطح چهار را تشکیل می دهد. [11]

فراکتال های مشابه [ ویرایش ]

مکعب اورشلیم [ ویرایش ]

مکعب تکرار سوم مکعب اورشلیم

اورشلیم مکعب است فراکتال شی توسط اریک بیرد در سال 2011. به صورت بازگشتی حفاری توصیف آن ایجاد شده است صلیب یونانی سوراخ شکل به یک مکعب. [12] [13] این نام از چهره مکعب شبیه به الگوی صلیب بیت المقدس ناشی می شود.

ساخت مکعب اورشلیم را می توان به شرح زیر توصیف کرد:

با یک مکعب شروع کنید.
یک صلیب را از هر طرف مکعب برش دهید و هشت مکعب (از رتبه 1) در گوشه های مکعب اصلی بگذارید ، و همچنین دوازده مکعب کوچکتر (از رتبه +2) که در لبه های مکعب اصلی قرار دارند بین مکعب های رتبه +1.
روند را روی مکعب های درجه 1 و 2 تکرار کنید.

مکعب مدل بیت المقدس چاپ 3D

در هر تکرار هشت مکعب از درجه یک و دوازده مکعب درجه دو اضافه می شود که یک افزایش بیست برابر است. (شبیه به اسفنج منگر اما با دو مکعب در ابعاد مختلف.) تکرار تعداد نامحدود بارها به مکعب اورشلیم منجر می شود.

دیگران [ ویرایش ]

دانه برف Sierpinski-Menger. هشت مکعب گوشه ای و یک مکعب مرکزی هر بار در مراحل بازگشت پایین و پایین نگه داشته می شوند. این فرکتال سه بعدی عجیب و غریب دارای ابعاد Hausdorff از یک شیء بومی دو بعدی مانند هواپیما است.log 9/ورود به سیستم 3= 2

یک برف موزلی یک فراکتال مبتنی بر مکعب است که گوشه های آن به صورت بازگشتی برداشته می شود. [14]
tetrix یک فراکتال مبتنی بر چهار ضلعی ساخته شده از چهار کوچکتر کپی، مرتب در یک چهار ضلعی است. [15]

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Menger_sponge

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی