در ریاضیات ، یک فضای کانتور ، به نام جورج کانتور ، یک انتزاع توپولوژیک از مجموعه کلاسیک کانتور است : یک فضای توپولوژیک ، یک فضای کانتور است اگر از نظر هومومورف به مجموعه کانتور باشد . در تئوری مجموعه ، فضای توپولوژیکی 2 ω فضای "کانتور" نامیده می شود.

 

فهرست

مثالها [ ویرایش ]

مجموعه کانتور خود یک فضای کانتور است. اما نمونه کانونی از فضای کانتور ضرب توپولوژیک بی حد و حصر از فضای 2 نقطه ای گسسته {0 ، 1} است. این معمولاً به صورت نوشته شده است2 ^ \ mathbb {Nیا 2 ω (جایی که 2 مجموعه 2 عنصر را با توپولوژی گسسته نشان می دهد). نقطه در 2 ω یک سری دودویی بی نهایت است، دنباله که فرض تنها ارزش 0 یا 1. با توجه به چنین دنباله است که 0 ، 1 ، 2 ، ...، می توان آن را به تعداد واقعی بر روی نقشه

\ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {2 a_n} {3 ^ {n + 1}.

این نقشه برداری یک هومومورفیسم از 2 ω به مجموعه کانتور نشان می دهد که 2 ω واقعاً یک فضای کانتور است.

در تحلیل واقعی فضاهای کانتور به وفور رخ می دهد . به عنوان مثال ، آنها در هر فضای متریک کامل و کامل ، به عنوان زیر فضاها وجود دارند . (برای دیدن این نکته ، توجه داشته باشید که در چنین فضایی ، هر مجموعه کامل غیر خالی شامل دو زیر مجموعه کامل غیر خالی از قطر کوچک خودسرانه است ، و بنابراین می توان از ساخت مجموعه معمولی کانتور تقلید کرد .) همچنین ، هر بی نظیری ، فضای قابل تفکیک ، کاملاً قابل اندازه گیری ، شامل فضاهای کانتور به عنوان فضای فرعی است. این شامل بیشتر انواع متداول فضاها در تحلیل واقعی است.

خصوصیات [ ویرایش ]

خصوصیات توپولوژیکی فضاهای کانتور توسط قضیه بروور آورده شده است: [1]

هر دو فضای خالی فشرده Haus Hausff بدون نقاط جدا و دارای پایه های قابل شمارش متشکل از مجموعه های کلوپن ، هومومورفیک برای یکدیگر هستند .

خاصیت توپولوژیکی داشتن پایه ای که از مجموعه های کلوپن تشکیل شده است بعضا به عنوان "ابعاد صفر" شناخته می شود. قضیه Brouwer را می توان چنین بازگو کرد:

فضای توپولوژیک یک فضای کانتور است اگر و فقط در صورت غیر خالی ، کامل ، کامپکت ، کاملاً جدا و قابل اندازه گیری باشد.

این قضیه نیز معادل است (از طریق قضیه نمایندگی استون برای جبرهای بولی ) با این واقعیت که هر دو جبر بولی بی شمارش قابل شمارش ایزومورفی هستند.

خواص [ ویرایش ]

همانطور که از قضیه بروو انتظار می رود ، فضاهای کانتور به اشکال مختلف ظاهر می شوند. اما بسیاری از خواص فضاهای کانتور را می توان با استفاده از 2 ω برقرار کرد ، زیرا ساخت آن به عنوان یک محصول ، تجزیه و تحلیل را در معرض خطر قرار می دهد.

فضاهای کانتور دارای خصوصیات زیر است:

بگذارید C ( X ) فضای کلیه عملکردهای مداوم دارای ارزش واقعی و واقعی را در یک فضای توپولوژیکی X مشخص کند . بگذارید K یک فضای متریک جمع و جور را نشان دهد ، و Δ مجموعه کانتور را مشخص کند. سپس مجموعه کانتور دارایی زیر را دارد:

به طور کلی ، این ایزومتری منحصر به فرد نیست ، و بنابراین به طور صحیح یک خاصیت جهانی به معنای طبقه بندی نیست.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_space