مخروط مونگ

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه سی ام خرداد ۱۳۹۹ | 14:20

مخروط مونگ

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در نظریه ریاضی معادلات دیفرانسیل جزئی (PDE) ، مخروط Monge یک جسم هندسی است که با یک معادله مرتبه اول همراه است. این نام برای گاسپارد مانه است . در دو بعد ، اجازه دهید

$F (x، y، u، u_ {x}، u_ {y}) = 0 \ qquad \ qquad (1)$

یک PDE برای واقعی ارزش تابع ناشناخته تو با دو متغیر X و Y . فرض کنید که این PDE به این معنا غیر انحطاط است $F_ {u_ {x}$ و $F_ {u_ {y}$ در حوزه تعریف هر دو صفر نیستند. رفع یک نقطه ( X 0 ، Y 0 ، Z 0 ) و توابع راه حل در نظر تو که

$z_ {0} = u (x_ {0} ، y_ {0}). \ qquad \ qquad (2)$

هر راه حل برای (1) رضایت بخش (2) صفحه مماس را به نمودار تعیین می کند

$z = u (x، y) \،$

از طریق نقطه ( x 0 ، y 0 ، z 0 ). به عنوان جفت ( تو ایکس ، تو Y ) حل (1) متفاوت، هواپیما مماس پاکت مخروطی در R 3 با راس در ( X 0 ، Y 0 ، Z 0 )، به نام مخروط مونگ . هنگامی که F است quasilinear از مونگ فاسد مخروطی به یک خط به نام محور مونگ. در غیر این صورت ، مخروط Monge مخروطی مناسب است زیرا یک خانواده یک پارامتر غیرمستقیم و غیر کواکسیال از هواپیماها از طریق یک نقطه ثابت یک مخروط را پاکت می کنند. به صراحت، معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی اصلی افزایش به یک تابع عددی ارزش تر در می دهد بسته نرم افزاری کتانژانت از R 3 ، تعریف در یک نقطه ( X ، Y ، Z ) توسط

$a \، dx + b \، dy + c \، dz \ mapsto F (x، y، z، -a / c، -b / c).$

ناپدید شدن F ، منحنی موجود در صفحه پیش بینی با مختصات همگن را تعیین می کند ( a : b : c ). منحنی دو یک منحنی در طرحی است فضای مماس در نقطه، و مخروط affine به بیش از این منحنی مخروطی مونگ است. مخروط ممکن است دارای شاخه های مختلف باشد ، هر یک مخروط مخروطی بیش از یک منحنی بسته ساده در فضای مماس پیش بینی شده دارند.

از آنجا که نقطه پایه ( x 0 ، y 0 ، z 0 ) متغیر است ، مخروط نیز متفاوت است. بنابراین مخروط Monge یک میدان مخروطی در R 3 است . بدین ترتیب یافتن راه حل های (1) می تواند به عنوان یافتن سطحی که در همه جا با مخروط Monge در نقطه قرار دارد تعبیر شود. این روش خصوصیات است .

این تکنیک برای مقیاس بندی معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه اول در متغیرهای فضایی n تعمیم می یابد . برای مثال،

$F \ چپ (x_ {1} ، \ نقطه ، x_ {n} ، u ، \ frac {\ جزئی u u {\ جزئی x_ {1}}} ، \ dots ، {\ frac {\ partial u} {\ جزئی x_ {n}}} \ درست) = 0.$

از طریق هر نقطه $(x_ {1} ^ {0} ، \ نقطه ، x_ {n} ^ {0} ، z ^ {0})$ ، مخروط Monge (یا محور در مورد شبه خطی) پاکت راه حل های PDE با $تو (x_ {1} ^ {0} ، \ نقطه ، x_ {n} ^ {0}) = z ^ {0$ .

مثالها [ ویرایش ]

معادله ایکونال

ساده ترین معادله کاملاً غیرخطی معادله ایکونال است . این شکل دارد

$| \ nabla u | ^ {2} = 1 ،$

به طوری که عملکرد F توسط

$F (x، y، u، u_ {x}، u_ {y}) = u_ {x} ^ {2} + u_ {y} ^ {2} -1.$

مخروط دوتایی از 1 شکل dx + b dy + c dz راضی کننده تشکیل شده است

$a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} = 0.$

با استفاده از نظر پروژه ای ، این حلقه را مشخص می کند. منحنی دوتایی نیز یک دایره است و بنابراین مخروط Monge در هر نقطه مخروطی مناسب است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Monge_cone

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی