ریاضیات

همانطور که در بالا ذکر شد، تکانه زاویه ای مداری L به صورت زیر در مکانیک کلاسیک تعریف می شود:، اما تکانه زاویه ای کل J به روشی متفاوت و اساسی تر تعریف می شود: J به عنوان "مولد چرخش" تعریف می شود. [40] به طور خاص، J به گونه ای تعریف می شود که عملگر

عملگر چرخشی است که هر سیستمی را می گیرد و آن را برحسب زاویه می چرخانددر مورد محور. («exp» در فرمول به عملگر نمایی اشاره دارد ) برای بیان این موضوع، فضای هیلبرت کوانتومی ما هر چه باشد، انتظار داریم که گروه چرخشی SO(3) بر روی آن عمل کند. سپس یک عمل مرتبط از جبر لیso(3) از SO(3) وجود دارد. عملگرهایی که عمل so(3) را در فضای هیلبرت ما توصیف می کنند، عملگرهای تکانه زاویه ای (کل) هستند.

رابطه بین عملگر تکانه زاویه ای و عملگرهای چرخش مانند رابطه بین جبرهای لی و گروه های لی در ریاضیات است. رابطه نزدیک بین تکانه زاویه ای و چرخش ها در قضیه نوتر منعکس شده است که ثابت می کند هر زمان که قوانین فیزیک از نظر چرخشی ثابت باشند، تکانه زاویه ای حفظ می شود.