4-مشتق کوواریانس

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و پنجم بهمن ۱۴۰۲ | 2:32

توضیحات مختصات [ ویرایش ]

این بخش از قرارداد جمع بندی اینشتین استفاده می کند .

توابع مختصات داده شده است

$x^{i}،\ i=0،1،2،\dots،$ هر بردار مماس را می توان با اجزای آن در پایه توصیف کرد

$\mathbf {e} _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}.$

مشتق کوواریانت یک بردار پایه در امتداد یک بردار پایه دوباره یک بردار است و بنابراین می تواند به صورت یک ترکیب خطی بیان شود.Γکه $\Gamma ^{k}\mathbf {e} _{k}$ . برای تعیین مشتق کوواریانت کافی است مشتق کوواریانت هر میدان بردار پایه را مشخص کنید. $\mathbf {e} _{i}$ در امتداده $\mathbf {e} _{j}$ .

$\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k}،$

ضرایبΓمنک $\Gamma _{ij}^{k}$ اجزای اتصال با توجه به یک سیستم مختصات محلی هستند. در تئوری منیفولدهای ریمانی و شبه ریمانی، اجزای ارتباط لوی-سیویتا با توجه به سیستم مختصات محلی، نمادهای کریستوفل نامیده می شوند .

سپس با استفاده از قوانین موجود در تعریف، متوجه می شویم که برای میدانهای برداری عمومی $\mathbf {v} =v^{j}\mathbf {e} _{j}$ و $\mathbf {u} =u^{i}\mathbf {e} _{i}$ ما گرفتیم

${\begin{aligned}\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} &=\nabla _{v^{j}\mathbf {e} _{j}}u^{i} \mathbf {e} _{i}\\&=v^{j}\nabla _{\mathbf {e} _{j}}u^{i}\mathbf {e} _{i}\\&= v^{j}u^{i}\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}+v^{j}\mathbf {e} _{i}\nabla _{\mathbf {e} _{j}}u^{i}\\&=v^{j}u^{i}{\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{ k}+v^{j}{\جزئی u^{i} \over \جزئی x^{j}}\mathbf {e} _{i}\end{تراز شده}}$

بنابراین

$\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} =\left(v^{j}u^{i}{\Gamma ^{k}}_{ij}+v^{j} {\ partial u^{k} \over \partial x^{j}}\right)\mathbf {e} _{k}.$

عبارت اول در این فرمول مسئول "پیچاندن" سیستم مختصات با توجه به مشتق کوواریانت و دومی برای تغییرات اجزای میدان برداری u است . به خصوص

$\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {u} =\nabla _{j}\mathbf {u} =\left({\frac {\partial u^{i}} {\ x^{j}}}+u^{k}{\Gamma ^{i}}_{kj}\right)\mathbf {e} _{i}$

در کلمات: مشتق کوواریانت مشتق معمول در امتداد مختصات با اصطلاحات تصحیح است که نشان می دهد که چگونه مختصات تغییر می کند.

برای بردارها به طور مشابه ما داریم

$\nabla _{\mathbf {e} _{j}}{\mathbf {\theta } }=\left({\frac {\partial \theta _{i}}{\partial x^{j} }}-\theta _{k}{\Gamma ^{k}}_{ij}\right){\mathbf {e} ^{*}}^{i}$

جایی که ${\mathbf {e} ^{*}}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\delta ^{i}}_{j}$ .

مشتق کوواریانت یک میدان تانسوری نوع ( r , s ) در امتداد $e_{c}$ با عبارت داده می شود:

${\begin{aligned}{(\nabla _{e_{c}}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}= {}&{\frac {\partial }{\partial x^{c}}}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}\ \&+\،{\Gamma ^{a_{1}}}_{dc}{T^{da_{2}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}+ \cdots +{\Gamma ^{a_{r}}}_{dc}{T^{a_{1}\ldots a_{r-1}d}}_{b_{1}\ldots b_{s}} \\&-\،{\Gamma ^{d}}_{b_{1}c}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{db_{2}\ldots b_{s} }-\cdots -{\Gamma ^{d}}_{b_{s}c}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s-1 }d}.\end{تراز شده}}$

یا به عبارتی: مشتق جزئی تانسور را بگیرید و اضافه کنید: $+{\Gamma ^{a_{i}}}_{dc}$ برای هر شاخص بالایی $a_{i}$ ، و-Γ $-{\Gamma ^{d}}_{b_{i}c}$ برای هر شاخص

پایین تر $b_{i}$ .

اگر به جای یک تانسور، سعی کنید چگالی تانسور (با وزن 1+) را متمایز کنید، یک عبارت نیز اضافه کنید.

$-{\Gamma ^{d}}_{dc}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}.$ اگر چگالی تانسور وزن W باشد ، آن جمله را در W ضرب کنید . مثلا،- ${\textstyle {\sqrt {-g}}}$ چگالی اسکالر (وزن +1) است، بنابراین به دست می آوریم:

$\left({\sqrt {-g}}\right)_{;c}=\left({\sqrt {-g}}\right)_{,c}-{\sqrt {-g} }\،{\گاما ^{d}}_{dc}$

جایی که نقطه ویرگول ";" نشان دهنده تمایز کوواریانت و کاما "," نشان دهنده تمایز جزئی است. اتفاقاً این عبارت خاص برابر با صفر است، زیرا مشتق کوواریانت یک تابع صرفاً متریک همیشه صفر است.

نشانه گذاری [ ویرایش ]

در کتاب های درسی فیزیک، مشتق کوواریانت گاهی به سادگی بر حسب اجزای آن در این معادله بیان می شود.

اغلب از نمادی استفاده می شود که در آن مشتق کوواریانت با نقطه ویرگول داده می شود، در حالی که یک مشتق جزئی معمولی با کاما نشان داده می شود . در این نماد به صورت زیر می نویسیم:

$\nabla _{e_{j}}\mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v^{s}}_{;j}\mathbf {e} _{s}\;\;\;\;\;\;{v^{i}}_{;j}={v^{i}}_{,j}+v^{k}{\گاما ^{i}}_{kj}$

در صورتی که دو یا چند شاخص بعد از نقطه ویرگول ظاهر شوند، همه آنها باید به عنوان مشتقات کوواریانت درک شوند:

$\nabla _{e_{k}}\left(\nabla _{e_{j}}\mathbf {v} \right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v ^{s}}_{;jk}\mathbf {e} _{s}$

در برخی از متون قدیمی تر (به ویژه آدلر، بازین و شیفر، مقدمه ای بر نسبیت عام )، مشتق کوواریانت با یک لوله دوتایی و مشتق جزئی با یک لوله نشان داده می شود:

$\nabla _{e_{j}}\mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v^{i}}_{||j}={v^ {i}}_{|j}+v^{k}{\گاما ^{i}}_{kj}$

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی