نسبیت خاص: تبدیل های برداری برای تقویت در هر جهت

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و چهارم بهمن ۱۴۰۲ | 2:40

تبدیل های برداری برای تقویت در هر جهت

تا اینجا اینها فقط تجزیه موازی و عمود بردارها هستند. تبدیلات روی بردارهای کامل را می توان از آنها به صورت زیر ساخت (در اینجا L یک شبه بردار برای مشخص بودن و سازگاری با جبر برداری است).

یک بردار واحد در جهت v معرفی کنید که با n = v / v داده می شود. مولفه های موازی با طرح برداری برداری L یا N به n داده می شوند

$\mathbf {L} _{\parallel }=(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _{\parallel }=( \mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$

در حالی که جزء عمود بردار رد L یا N از n

$\mathbf {L} _{\perp }=\mathbf {L} -(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _ {\perp }=\mathbf {N} -(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$

و تبدل ها آنها هستند

${\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N} )-(\ گاما (\mathbf {v})-1)(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\mathbf {N} '&=\گاما (\mathbf {v} )\ left(\mathbf {N} -{\frac {v}{c^{2}}}\mathbf {n} \times \mathbf {L} \right)-(\gamma (\mathbf {v})-1 )(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\end{تراز شده}}$

یا بازگرداندن v = v n ،

${\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \mathbf {N} )-(\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {L} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} {v^{2}}}\\\mathbf {N} ' &=\گاما (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {L} \راست)- (\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {N} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} {v^{2}}}\\\end{ هم راستا}}$

اینها بسیار شبیه تبدیلات لورنتز میدان الکتریکی E و میدان مغناطیسی B هستند، به الکترومغناطیس کلاسیک و نسبیت خاص مراجعه کنید.

روش دیگر، با شروع از تبدیل بردار لورنتس زمان، مکان، انرژی و تکانه، برای افزایش با سرعت v ،

${\begin{aligned}t'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(t-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} }{c^{2} }}\right)\,,\\\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +{\frac {\gamma (\mathbf {v} )-1}{v^{2}}}(\ mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\گاما (\mathbf {v} )t\mathbf {v} \,,\\\mathbf {p} '&=\mathbf {p } +{\frac {\gamma (\mathbf {v})-1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\gamma (\ mathbf {v} ){\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {v} \,,\\E'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(E-\mathbf { v} \cdot \mathbf {p} \راست)\,,\\\end{تراز شده}}$

درج اینها در تعاریف

${\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,&\mathbf {N} '&={\frac {E'} {c^{2}}}\mathbf {r} '-t'\mathbf {p} '\end{تراز شده}}$

دگرگونی ها را می دهد.

مشتق تبدیل های برداری به طور مستقیم

تکانه زاویه ای مداری در هر فریم می باشد

$\mathbf {L} '=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,\quad \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$ بنابراین حاصل ضرب متقاطع تبدیل ها را در نظر بگیرید

${\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\left[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n } -\gamma tv\mathbf {n} \right]\times \left[\mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n})\mathbf {n} - \gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {n} \right]\\&=[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {p} +(\گاما -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n})[ \mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} -\ گاما {\frac {E}{c^{2}}}v[\mathbf {r} +(\گاما -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\ تلویزیون گاما\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} \\&=\mathbf {r} \times \mathbf {p} +(\گاما -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \times \mathbf {p} -\gamma tv \mathbf {n} \times \mathbf {p} +(\گاما -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {r} \times \mathbf {n} -\گاما {\ frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {r} \times \mathbf {n} \\&=\mathbf {L} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^ {2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right]\mathbf {v} \times \mathbf {p} +\left[{\frac {\gamma -1 {v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right]\mathbf {r} \times \mathbf {v} \\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r } \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right)\mathbf {p} -\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right)\mathbf {r} \right]\\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\left((\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {p} -(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {r} \right)+\gamma \left({\frac {E}{c^{2}}}\ mathbf {r} -t\mathbf {p} \right)\right]\end{تراز شده}}$

استفاده از قانون ضرب سه گانه

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} &=(\mathbf { c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} -(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} \\\end{تراز شده}}$

می دهد

${\begin{aligned}(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )\times \mathbf {v} &=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p } -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} \\(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p} -(\mathbf {v} \ cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} &=\mathbf {L} \times \mathbf {v} \\\end{تراز شده}}$

و همراه با تعریف N داریم

$\mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {L} \times \mathbf {v} +\گاما \mathbf {N} \right]$

بازگرداندن بردار واحد n ،

$\mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {n} \times \left[(\gamma -1)\mathbf {L} \times \mathbf {n} +v\gamma \mathbf {N} \راست]$

از آنجایی که در تبدیل یک ضرب ضربدری در سمت چپ با n وجود دارد،

$\mathbf {n} \times (\mathbf {L} \times \mathbf {n} )=\mathbf {L} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} )-\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )=\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )$

سپس

$\mathbf {L} '=\mathbf {L} +(\گاما -1)(\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} ))+ \بتا \گاما c\mathbf {n} \times \mathbf {N} =\گاما (\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N})-(\gamma -1)\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )$

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی