تکانه زاویه ای و نسبیت خاص

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و دوم بهمن ۱۴۰۲ | 18:6

نسبیت خاص

هماهنگ کردن تبدیل ها برای افزایش در جهت x

یک قاب مختصات F' را در نظر بگیرید که با سرعت v = ( v , 0, 0) نسبت به فریم دیگر F در امتداد جهت محورهای منطبق بر xx' حرکت می کند. مبدأ دو قاب مختصات در زمان‌های t = t ′ = 0 منطبق است . جرم-انرژی E = mc ^2 و مولفه های تکانه

p = ( p x , p y , p z ) یک جسم و همچنین مختصات موقعیت x = ( x , y , z )) و زمان t در فریم F به

E ′ = m ′ c ^2 , p ′ = ( p x , p y , p z ′ ) , x ′ = ( x , y , z ) و" t در" F با توجه به تبدیل لورنتس

${\begin{aligned}t'&=\gamma (v)\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\,,\quad &E'&=\ گاما (v)\left(E-vp_{x}\right)\\x'&=\گاما (v)(x-vt)\,,\quad &p_{x}'&=\gamma (v)\ چپ (p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\y'&=y\,,\quad &p_{y}'&=p_{y}\\z '&=z\,,\quad &p_{z}'&=p_{z}\\\end{تراز شده}}$

فاکتور لورنتس در اینجا برای سرعت v ، سرعت نسبی بین فریم ها اعمال می شود. این لزوماً با سرعت u یک جسم برابر نیست.

برای تکانه 3 زاویه ای مداری L به عنوان شبه بردار، داریم

${\begin{aligned}L_{x}'&=y'p_{z}'-z'p_{y}'=L_{x}\\L_{y}'&=z'p_{x }'-x'p_{z}'=\گاما (v)(L_{y}-vN_{z})\\L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x} '=\گاما (v)(L_{z}+vN_{y})\\\end{تراز شده}}$

استخراج

برای مولفه x

$L_{x}'=y'p_{z}'-z'p_{y}'=yp_{z}-zp_{y}=L_{x}$

جزء y

${\begin{aligned}L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'\\&=z\gamma \left(p_{x}-{\frac { vE}{c^{2}}}\right)-\gamma \left(x-vt\right)p_{z}\\&=\gamma \left[zp_{x}-z{\frac {vE} {c^{2}}}-xp_{z}+vtp_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left(zp_{x}-xp_{z}\right)+v\left( p_{z}tz{\frac {E}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{y}-vN_{z}\right)\end{تراز شده }}$

و مولفه z

${\begin{aligned}L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'\\&=\gamma \left(x-vt\right)p_{y} -y\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma \left[xp_{y}-vtp_{y}-yp_{ x}+y{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma \left[\left(xp_{y}-yp_{x}\right)+v\left( y{\frac {E}{c^{2}}}-tp_{y}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{z}+vN_{y}\right)\end{ هم راستا}}$

در عبارت دوم L y ' و Lz ' ، مولفه های y و z حاصلضرب خارجیv × N را می توان با تشخیص جایگشت های حلقوی vx = v و v y = v z = 0 با مولفه های N استنباط کرد . ،

${\begin{aligned}-vN_{z}&=v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \ راست)_{y}\\vN_{y}&=v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}=\چپ(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \راست) _{z}\\\end{تراز شده}}$

حال، L x موازی با سرعت نسبی v است و سایر اجزای L y و L z بر v عمود هستند . مطابقت موازی-عمود را می توان با تقسیم کل شبه بردار تکانه 3 زاویه ای به اجزای موازی (∥) و عمود (⊥) بر v در هر فریم تسهیل کرد.

$\mathbf {L} =\mathbf {L} _{\parallel }+\mathbf {L} _{\perp }\,,\quad \mathbf {L} '=\mathbf {L} _{\ موازی }'+\mathbf {L} _{\perp }'\,.$

سپس معادلات جزء را می توان در معادلات شبه بردار جمع آوری کرد

${\begin{aligned}\mathbf {L} _{\parallel }'&=\mathbf {L} _{\parallel }\\\mathbf {L} _{\perp }'&=\gamma ( \mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \times \mathbf {N} \راست)\\\end{تراز شده}}$

بنابراین، اجزای تکانه زاویه ای در جهت حرکت تغییر نمی کنند، در حالی که مولفه های عمود بر آن تغییر می کنند. بر خلاف دگرگونی‌های مکان و زمان، زمان و مختصات مکانی در جهت حرکت تغییر می‌کنند، در حالی که آن‌های عمودی تغییر نمی‌کنند.

این تبدیل‌ها برای همه v درست است ، نه فقط برای حرکت در امتداد محورهای xx' .

با در نظر گرفتن L به عنوان یک تانسور، نتیجه مشابهی به دست می آید

$\mathbf {L} _{\perp }'=\gamma (\mathbf {v})\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \درست)$

جایی که

${\begin{aligned}v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \راست)_{zx} \\v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}&=\چپ(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \راست)_{xy}\\\end{تراز شده} }$

تقویت گشتاور جرمی پویا در امتداد جهت x است

${\begin{aligned}N_{x}'&=m'x'-p_{x}'t'=N_{x}\\N_{y}'&=m'y'-p_{y }'t'=\گاما (v)\left(N_{y}+{\frac {vL_{z}}{c^{2}}}\right)\\N_{z}'&=m'z '-p_{z}'t'=\گاما (v)\left(N_{z}-{\frac {vL_{y}}{c^{2}}}\راست)\\\end{تراز شده} }$

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی