تکانه زاویه ای در فرمالیسم لاگرانژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و دوم بهمن ۱۴۰۲ | 14:14

در فرمالیسم لاگرانژی

در مکانیک لاگرانژی ، تکانه زاویه ای برای چرخش حول یک محور معین، تکانه مزدوج مختصات تعمیم یافته زاویه حول همان محور است. مثلا، $L_{z}$ ، تکانه زاویه ای حول محور z برابر است با:

$L_{z}={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}_{z}}}$

جایی که ${\cal {L}}$ لاگرانژی است و $\theta _{z}$ زاویه حول محور z است.

توجه داشته باشید که ${\dot {\theta }}_{z}$ ، مشتق زمانی زاویه، $\omega _{z}$ سرعت زاویه ای است . به طور معمول، لاگرانژ به سرعت زاویه ای از طریق انرژی جنبشی بستگی دارد: دومی را می توان با جدا کردن سرعت از قسمت شعاعی و مماس آن نوشت، با قسمت مماسی در صفحه xy، حول محور z، برابر با:

$\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m_{i}{v_{T}}_{i}^{2}=\sum _{i}{\tfrac {1} {2}}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right){{\omega _{z}}_{i}}^{2}$

که در آن زیرنویس i مخفف جسم i است و m ، v T و ω z به ترتیب جرم، سرعت مماسی حول محور z و سرعت زاویه‌ای حول آن محور هستند.

برای جسمی که نقطه مانند نیست و چگالی ρ دارد ، در عوض داریم:

${\frac {1}{2}}\int \rho (x,y,z)\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right){{\ امگا _{z}}_{i}}^{2}\,dx\,dy={\frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{\omega _{z} }_{i}}^{2}$

جایی که انتگرال در ناحیه بدنه اجرا می شود، و I z ممان اینرسی حول محور z است.

بنابراین، با فرض اینکه انرژی پتانسیل به ω z بستگی ندارد (این فرض ممکن است برای سیستم های الکترومغناطیسی شکست بخورد)، ما تکانه زاویه ای جسم i را داریم :

${\begin{aligned}{L_{z}}_{i}&={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\omega _{z}}_{i }}}}={\frac {\partial E_{k}}{\partial {{\omega _{z}}_{i}}}}\\&={I_{z}}_{i}\ cdot {\omega _{z}}_{i}\end{aligned}}$

ما تاکنون هر جسم را با یک زاویه جداگانه چرخانده ایم. همچنین ممکن است یک زاویه کلی θ z تعریف کنیم که با آن کل سیستم را می‌چرخانیم، بنابراین هر جسم را حول محور z می‌چرخانیم و تکانه زاویه‌ای کلی را داریم:

$L_{z}=\sum _{i}{I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}$

از معادلات اویلر-لاگرانژ چنین می شود که:

$0={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}-{\frac {d}{dt}}\ چپ ({\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{{\dot {\theta }}_{z}}_{i}}}}\right)={\frac {\ جزئی {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}-{\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}$

از آنجایی که لاگرانژ فقط از طریق پتانسیل به زوایای جسم وابسته است، داریم:

${\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}} _{i}}}}=-{\frac {\partial V}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}$

که گشتاور روی جسم i است.

فرض کنید سیستم نسبت به چرخش‌ها تغییرناپذیر است، به طوری که پتانسیل مستقل از یک چرخش کلی در زاویه θ z است (بنابراین ممکن است فقط از طریق تفاوت‌های آنها به زوایای اجسام بستگی داشته باشد. $V({\theta _{z}}_{i},{\theta _{z}}_{j})=V({\theta _{z}}_{i}-{\theta _{z}}_{j})$ ). بنابراین ما برای تکانه زاویه ای کل به دست می آوریم:

${\frac {dL_{z}}{dt}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\theta _{z}}}}=0$

و بنابراین تکانه زاویه ای حول محور z حفظ می شود.

این تحلیل را می توان به طور جداگانه برای هر محور تکرار کرد و مکالمه بردار تکانه زاویه ای را ارائه داد. با این حال، زاویه های اطراف سه محور را نمی توان همزمان به عنوان مختصات تعمیم یافته در نظر گرفت، زیرا آنها مستقل نیستند. به طور خاص، دو زاویه در هر نقطه برای تعیین موقعیت آن کافی است. در حالی که درست است که در مورد جسم صلب، توصیف کامل آن، علاوه بر سه درجه آزادی انتقالی ، به تعیین سه درجه آزادی چرخشی نیز نیاز دارد. اما اینها را نمی توان به عنوان چرخش حول محورهای دکارتی تعریف کرد (به زوایای اویلر مراجعه کنید ). این هشدار در مکانیک کوانتومی در روابط کموتاسیون غیر پیش پا افتاده اجزای مختلف منعکس شده است.عملگر حرکت زاویه ای

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی