ریاضیات

تاریخچه

اسحاق نیوتن در پرینسیپیا در مثالهای خود از قانون اول حرکت به تکانه زاویه ای اشاره کرد .

قسمت بالایی که به دلیل انسجام آنها دائماً از حرکات مستطیلی جدا می شود، چرخش خود را متوقف نمی کند، مگر اینکه توسط هوا عقب افتاده باشد. اجسام بزرگتر سیارات و دنباله دارها که در فضاهای آزاد بیشتر با مقاومت کمتری روبرو می شوند، حرکات خود را هم به صورت پیشرونده و هم دایره ای برای مدت طولانی تری حفظ می کنند. [44]

او بیشتر به بررسی تکانه زاویه ای به طور مستقیم در Principia پرداخت و گفت:

از این نوع بازتاب ها نیز گاهی اوقات حرکات دایره ای اجسام در حول مرکز خود به وجود می آید. اما اینها مواردی است که در ادامه به آنها توجه نمی کنم. و نشان دادن هر چیز خاصی که به این موضوع مربوط می شود بسیار خسته کننده خواهد بود. [45]

با این حال، اثبات هندسی او از قانون مساحت ها نمونه برجسته ای از نبوغ نیوتن است و به طور غیرمستقیم پایستگی تکانه زاویه ای را در مورد نیروی مرکزی ثابت می کند .

قانون مناطق [ ویرایش ]

مقاله‌های اصلی: مسئله نیروی مرکزی کلاسیک و سرعت منطقه‌ای

اشتقاق نیوتن [ ویرایش ]

اشتقاق نیوتن از قانون مساحت با استفاده از ابزارهای هندسی

همانطور که یک سیاره به دور خورشید می چرخد ، خط بین خورشید و سیاره در فواصل زمانی مساوی مناطق مساوی را رد می کند. این موضوع از زمانی که کپلر قانون دوم خود را در مورد حرکت سیارات توضیح داد شناخته شده بود . نیوتن یک اثبات هندسی منحصر به فرد به دست آورد و در ادامه نشان داد که نیروی جاذبه گرانش خورشید علت همه قوانین کپلر است.

در اولین بازه زمانی، یک جسم از نقطه A به نقطه B در حرکت است . بدون مزاحمت، در بازه دوم به نقطه c ادامه خواهد داد . هنگامی که جسم به B می رسد ، یک ضربه به سمت نقطه S دریافت می کند . ضربه یک سرعت اضافه کوچک به سمت S به آن می دهد، به طوری که اگر این تنها سرعت آن بود، در بازه دوم از B به V حرکت می کرد . با قوانین ترکیب سرعت ، این دو سرعت جمع می شوند و نقطه C با ساخت متوازی الاضلاع BcCV پیدا می شود.. بنابراین مسیر جسم توسط ضربه منحرف می شود به طوری که در انتهای بازه دوم به نقطه C می رسد. از آنجایی که مثلث های SBc و SBC دارای پایه SB یکسان و ارتفاع Bc یا VC یکسان هستند ، مساحت یکسانی دارند. از نظر تقارن، مثلث SBc نیز مساحت مثلث SAB را دارد ، بنابراین جسم در زمان‌های مساوی ، مساحت‌های SAB و SBC را از بین برده است.

در نقطه C ، جسم یک تکانه دیگر به سمت S دریافت می کند ، و دوباره مسیر خود را در بازه سوم از d به D منحرف می کند . بنابراین تا E و فراتر از آن ادامه می‌یابد، مثلث‌های SAB ، SBc ، SBC ، SCd ، SCD ، SDe ، SDE همگی مساحت یکسانی دارند. با اجازه دادن به فواصل زمانی کوچکتر، مسیر ABCDE به طور نامحدود به یک منحنی پیوسته نزدیک می شود.

توجه داشته باشید که چون این اشتقاق هندسی است و هیچ نیروی خاصی اعمال نمی شود، قانون کلی تری نسبت به قانون دوم حرکت سیاره کپلر ثابت می کند. این نشان می دهد که قانون مساحت ها برای هر نیروی مرکزی، جاذبه یا دافعه، پیوسته یا ناپیوسته یا صفر اعمال می شود.

پایستگی تکانه زاویه ای در قانون مساحت ها [ ویرایش ]

تناسب تکانه زاویه ای با ناحیه ای که توسط یک جسم متحرک خارج می شود را می توان با درک اینکه پایه های مثلث ها، یعنی خطوط S به جسم، معادل شعاع r هستند و ارتفاعات مثلث ها متناسب با مولفه عمود بر سرعت v ⊥ هستند . بنابراین، اگر مساحت جاروب شده در واحد زمان ثابت باشد، با فرمول مساحت مثلثی1/2(پایه)(ارتفاع) ، حاصلضرب (پایه)(ارتفاع) و در نتیجه حاصلضرب rv ⊥ ثابت است: اگر r و طول پایه کاهش یابد، v ⊥ و ارتفاع باید به نسبت افزایش یابد. جرم ثابت است، بنابراین تکانه زاویه ای rmv ⊥ با این تبادل فاصله و سرعت حفظ می شود.

در مورد مثلث SBC مساحت برابر است با1/2( SB ) ( VC ). هر جا C در نهایت به دلیل ضربه اعمال شده در B قرار گیرد ، حاصلضرب ( SB )( VC ) و بنابراین rmv ⊥ ثابت می ماند. به همین ترتیب برای هر یک از مثلث ها.

بعد از نیوتن [ ویرایش ]

لئونارد اویلر ، دانیل برنولی و پاتریک دارسی همگی تکانه زاویه‌ای را بر حسب بقای سرعت منطقه‌ای ، نتیجه تحلیل قانون دوم کپلر در مورد حرکت سیاره‌ها، درک کردند. بعید است که آنها متوجه پیامدهای آن برای ماده چرخان معمولی شده باشند. [46]

در سال 1736 اویلر، مانند نیوتن، برخی از معادلات تکانه زاویه ای را در مکانیکای خود بدون توسعه بیشتر لمس کرد. [47]

برنولی در نامه ای در سال 1744 از "لحظه حرکت چرخشی" نوشت که احتمالاً اولین تصور از تکانه زاویه ای است که اکنون آن را درک می کنیم. [48]

در سال 1799، پیر سیمون لاپلاس برای اولین بار متوجه شد که یک صفحه ثابت با چرخش مرتبط است - صفحه ثابت او .

لویی پوانسو در سال 1803 شروع به نمایش چرخش به عنوان یک پاره خط عمود بر چرخش کرد و در مورد "حفظ لحظه ها" توضیح داد.

در سال 1852 لئون فوکو از یک ژیروسکوپ در آزمایشی برای نمایش چرخش زمین استفاده کرد.

کتابچه راهنمای مکانیک کاربردی ویلیام جی ام رانکین در سال 1858 ، تکانه زاویه ای را برای اولین بار به معنای امروزی تعریف کرد:

... خطی که طول آن متناسب با بزرگی تکانه زاویه ای باشد و جهت آن عمود بر صفحه حرکت جسم و نقطه ثابت باشد و به گونه ای که وقتی حرکت جسم را از زاویه نگاه کنیم. انتهای خط، شعاع بردار بدن به نظر می رسد چرخش سمت راست دارد.

در نسخه 1872 همان کتاب، رانکین بیان کرد که "اصطلاح حرکت زاویه ای توسط آقای هیوارد معرفی شد" [49] احتمالاً به مقاله RB Hayward در مورد روش مستقیم تخمین سرعت ها، شتاب ها و تمام کمیت های مشابه با احترام اشاره می کند. به Axes قابل جابجایی به هر شکلی در Space with Applications، [50] که در سال 1856 معرفی شد و در سال 1864 منتشر شد. Rankine اشتباه بود، زیرا انتشارات متعددی این اصطلاح را در اواخر قرن 18 تا اوایل قرن 19 نشان می‌دهند. [51] با این حال، ظاهراً مقاله هیوارد اولین استفاده از این اصطلاح و مفهومی بود که توسط بسیاری از کشورهای انگلیسی زبان دیده می شد. قبل از این، تکانه زاویه ای به طور معمول در انگلیسی به عنوان "تکانه چرخش" نامیده می شد.