تکانه زاویه ای در مکانیک مداری

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و دوم بهمن ۱۴۰۲ | 17:6

در حالی که در مکانیک کلاسیک زبان حرکت زاویه ای را می توان با قوانین حرکت نیوتن جایگزین کرد، به ویژه برای حرکت در پتانسیل مرکزی مانند حرکت سیاره ای در منظومه شمسی مفید است. بنابراین، مدار یک سیاره در منظومه شمسی با انرژی، تکانه زاویه ای و زوایای محور اصلی مدار نسبت به یک قاب مختصات تعریف می شود.

در اختر دینامیک و مکانیک سماوی ، کمیتی که نزدیک به حرکت زاویه ای است به صورت [28] تعریف می شود.

$\mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} ,$

تکانه زاویه ای خاص نامیده می شود . توجه داشته باشید که $\mathbf {L} =m\mathbf {h} .$ جرم اغلب در محاسبات مکانیک مداری بی اهمیت است، زیرا حرکت یک جسم توسط گرانش تعیین می شود . بدنه اولیه سیستم اغلب آنقدر بزرگتر از هر جسمی است که در اطراف آن در حال حرکت است که می توان از تأثیر گرانشی اجسام کوچکتر روی آن چشم پوشی کرد. در واقع سرعت ثابتی را حفظ می کند. حرکت همه اجسام بدون توجه به جرم به یک شکل تحت تأثیر گرانش آن قرار می گیرد و بنابراین همه در شرایط یکسان تقریباً یکسان حرکت می کنند.

اجسام جامد [ ویرایش ]

حرکت زاویه ای نیز یک مفهوم بسیار مفید برای توصیف اجسام صلب در حال چرخش مانند یک ژیروسکوپ یا یک سیاره سنگی است. برای توزیع جرم پیوسته با تابع چگالی ρ ( r )، یک عنصر حجمی دیفرانسیل dV با بردار موقعیت r درون جرم، عنصر جرمی dm = ρ ( r ) dV دارد . بنابراین، تکانه زاویه ای بینهایت کوچک این عنصر برابر است با:

$d\mathbf {L} =\mathbf {r} \times dm\mathbf {v} =\mathbf {r} \times \rho (\mathbf {r} )dV\mathbf {v} =dV\mathbf {r} \times \rho (\mathbf {r} )\mathbf {v}$

و انتگرال این دیفرانسیل بر روی حجم کل جرم، تکانه زاویه ای کل آن را به دست می دهد:

$\mathbf {L} =\int _{V}dV\mathbf {r} \times \rho (\mathbf {r} )\mathbf {v}$

در اشتقاق زیر، انتگرال های مشابه این می توانند جایگزین مجموع موارد جرم پیوسته شوند.

مجموعه ذرات [ ویرایش ]

تکانه زاویه ای ذرات i مجموع محصولات متقاطع R × M V + Σ r i × m i v i است .

برای مجموعه ای از ذرات در حال حرکت در مورد یک منشا دلخواه، آموزنده است که معادله تکانه زاویه ای را با تفکیک حرکت آنها به اجزایی در مورد مرکز جرم خود و در مورد مبدا ایجاد کنیم. داده شده،

$m_{i}$ جرم ذره است $من$ ،
$\mathbf {R} _{i}$ بردار موقعیت ذره است $من$ مبدأ را بنویسید،
$\mathbf {V} _{i}$ سرعت ذره است $من$ مبدأ را بنویسید،
$\mathbf {R}$ بردار موقعیت مرکز جرم در مبدأ است،
$\mathbf {V}$ سرعت مرکز جرم بر اساس مبدا است،
$\mathbf {r} _{i}$ بردار موقعیت ذره است $من$ در مرکز جرم،
$\mathbf {v} _{i}$ سرعت ذره است $من$ در مرکز جرم،

جرم کل ذرات به سادگی مجموع آنهاست،

$M=\sum _{i}m_{i}.$

بردار موقعیت مرکز جرم با، [29] تعریف می شود.

$M\mathbf {R} =\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}.$

با بازرسی،

$\mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}$ و. $\mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i}.$

تکانه زاویه ای کل مجموعه ذرات، مجموع تکانه زاویه ای هر ذره است،

$\mathbf {L} =\sum _{i}\left(\mathbf {R} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} _{i}\right)$ ( 1 )

در حال گسترشآرمن $\mathbf {R} _{i}$ ،

${\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i}\left[\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}\right)\times m_{ i}\mathbf {V} _{i}\right]\\&=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} _{i}\right]\end{تراز شده}}$

در حال گسترش $\mathbf {V} _{i}$ ،

${\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\left(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i}\right)+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i})\right]\\&=\sum _ {i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {r} _ {i}\times m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}\right]\\&=\sum _{ i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\sum _{ i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _ {i}\end{تراز شده}}$

می توان نشان داد که (به نوار کناری مراجعه کنید)،

ثابت کنیم که $\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}=\mathbf {0}$

${\begin{aligned}\mathbf {r} _{i}&=\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} \\m_{i}\mathbf {r} _{i} &=m_{i}\left(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} \راست)\\\جمع _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}&= \sum _{i}m_{i}\left(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} \راست)\\&=\sum _{i}(m_{i}\mathbf {R } _{i}-m_{i}\mathbf {R} )\\&=\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}-\sum _{i}m_{i} \mathbf {R} \\&=\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}-\left(\sum _{i}m_{i}\right)\mathbf {R} \\&=\جمع _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}-M\mathbf {R} \end{تراز شده}}$

که با تعریف مرکز جرم، این است و به طور مشابه برای.

$\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}=\mathbf {0}$ و، $\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0}،$

بنابراین عبارت دوم و سوم ناپدید می شوند،

$\mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i} \mathbf {v} _{i}.$

عبارت اول را می توان بازآرایی کرد،

$\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} =\mathbf {R} \times \sum _{i}m_{i}\mathbf {V} =\mathbf {R } \times M\mathbf {V}،$

و تکانه زاویه ای کل برای مجموعه ذرات در نهایت است، [30]

$\mathbf {L} =\mathbf {R} \times M\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _ {من}$ ( 2 )

اولین جمله، تکانه زاویه ای مرکز جرم نسبت به مبدا است. مشابه § ذره منفرد ، در زیر، تکانه زاویه ای یک ذره با جرم M در مرکز جرم است که با سرعت V حرکت می کند . جمله دوم، تکانه زاویه ای ذرات است که نسبت به مرکز جرم حرکت می کنند، مشابه § مرکز جرم ثابت ، در زیر. نتیجه کلی است – حرکت ذرات محدود به چرخش یا چرخش پیرامون مبدا یا مرکز جرم نیست. ذرات نباید دارای جرم جداگانه باشند، بلکه می توانند عناصر توزیع پیوسته مانند یک جسم جامد باشند.

تنظیم مجدد معادله ( 2 ) توسط هویت های برداری، ضرب هر دو عبارت در "یک" و گروه بندی مناسب،

${\begin{aligned}\mathbf {L} &=M(\mathbf {R} \times \mathbf {V} )+\sum _{i}\left[m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\right)\right]،\\&={\frac {R^{2}}{R^{2}}}M\ چپ (\mathbf {R} \times \mathbf {V} \right)+\sum _{i}\left[{\frac {r_{i}^{2}}{r_{i}^{2}}} m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\right)\right],\\&=R^{2}M\left({\frac {\mathbf {R} \times \mathbf {V} }{R^{2}}}\right)+\sum _{i}\left[r_{i}^{2}m_{i}\left( {\frac {\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}}{r_{i}^{2}}}\right)\right]،\\\end{تراز شده} }$

تکانه زاویه ای کل سیستم ذرات را بر حسب ممان اینرسی نشان می دهد $من$ و سرعت زاویه ای ${\boldsymbol {\omega }}$ ،

$\mathbf {L} =I_{R}{\boldsymbol {\omega }}_{R}+\sum _{i}I_{i}{\boldsymbol {\omega }}_{i}.$ ( 3 )

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی