4-فهرست فرمول ها در هندسه ریمانی

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و هشتم بهمن ۱۴۰۲ | 16:52

عملگر هاج در فرم های p [ ویرایش ]

${\widetilde {\ast }}_{i_{1}\cdots i_{np}}^{j_{1}\cdots j_{p}}=e^{(n-2p)\varphi }\ ast _{i_{1}\cdots i_{np}}^{j_{1}\cdots j_{p}}$
${\widetilde {\ast }}=e^{(n-2p)\varphi }\ast$

کد دیفرانسیل در فرم های p [ ویرایش ]

${\widetilde {d^{\ast }}}_{j_{1}\cdots j_{p-1}}^{i_{1}\cdots i_{p}}=e^{-2\ varphi }(d^{\ast })_{j_{1}\cdots j_{p-1}}^{i_{1}\cdots i_{p}}-(n-2p)e^{-2\ varphi }\nabla ^{i_{1}}\varphi \delta _{j_{1}}^{i_{2}}\cdots \delta _{j_{p-1}}^{i_{p}}$
${\widetilde {d^{\ast }}}=e^{-2\varphi }d^{\ast }-(n-2p)e^{-2\varphi }\iota _{\nabla \varphi }$

لاپلاسی در مورد توابع [ ویرایش ]

${\widetilde {\Delta }}\Phi =e^{-2\varphi }{\Big (}\Delta \Phi +(n-2)g(d\varphi ,d\Phi ){\Big )}$

هاج لاپلاسین در فرم های p [ ویرایش ]

${\widetilde {\Delta ^{d}}}\omega =e^{-2\varphi }{\Big (}\Delta ^{d}\omega -(n-2p)d\circ \iota _{\nabla \varphi }\omega -(n-2p-2)\iota _{\nabla \varphi }\circ d\omega +2(n-2p)d\varphi \wedge \iota _{\nabla \ varphi }\omega -2d\varphi \wedge d^{\ast }\omega {\Big )}$

قرارداد علامت "هندسه سنج" برای هاج لاپلاسین در اینجا استفاده می شود. به ویژه دارای علامت مخالف در عملکردهای معمول لاپلاسی است.

دومین شکل اساسی غوطه وری [ ویرایش ]

فرض کنید $(M,g)$ ریمانی است $F:\Sigma \to (M,g)$ یک غوطه وری با دوبار تمایز است. به یاد بیاورید که دومین شکل اساسی برای هر کدام استپ∈م، $p\in M,$ یک نقشه دو خطی متقارن $h_{p}:T_{p}\Sigma \times T_{p}\Sigma \to T_{F(p)}M,$ که در ارزش گذاری شده است $g_{F(p)}$ زیرفضای خطی متعامد به $dF_{p}(T_{p}\Sigma )\subset T_{F(p)}M.$ سپس

${\widetilde {h}}(u,v)=h(u,v)-(\nabla \varphi )^{\perp }g(u,v)$ برای همه $u,v\in T_{p}M$

اینجا $(\nabla \varphi )^{\perp }$ را نشان می دهد $g_{F(p)}$ -طرح متعامد از $\nabla \varphi \in T_{F(p)}M$ بر روی $g_{F(p)}$ زیرفضای خطی متعامد به $dF_{p}(T_{p}\Sigma )\subset T_{F(p)}M.$

میانگین انحنای غوطه وری [ ویرایش ]

در همان تنظیمات بالا (و فرض کنید $\Sigma$ ابعاد دارد $n$ ، به یاد بیاورید که بردار انحنای میانگین برای هر کدام است $p\in \Sigma$ یک عنصر ${\textbf {H}}_{p}\in T_{F(p)}M$ به عنوان تعریف شده است $g$ ردپای شکل بنیادی دوم. سپس

${\widetilde {\textbf {H}}}=e^{-2\varphi }({\textbf {H}}-n(\nabla \varphi )^{\perp }).$

توجه داشته باشید که این فرمول تبدیل برای بردار انحنای میانگین و فرمول انحنای متوسط است.اچ $H$ در حالت هایپرسطحی است

${\widetilde {H}}=e^{-\varphi }(Hn\langle \nabla \varphi ,\eta \rangle )$

جایی که $\eta$ یک فیلد برداری عادی (محلی) است.

فرمول های تغییر [ ویرایش ]

اجازه دهید $M$ یفولد صاف باشد و اجازه دهید $g_{t}$ یک خانواده یک پارامتری از معیارهای ریمانی یا شبه ریمانی باشد. فرض کنید که یک خانواده متمایزپذیر است به این معنا که برای هر نمودار مختصات صاف، مشتقات $v_{ij}={\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}(g_{t})_{ij}{\big )}$ وجود دارند و خود به اندازه لازم برای معنا یافتن عبارات زیر قابل تمایز هستند.=∂∂تی $v={\frac {\partial g}{\partial t}}$ یک خانواده یک پارامتری از میدان های 2 تانسوری متقارن است.

${\frac {\partial }{\partial t}}\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}g^{kp}{\Big (}\nabla _ {i}v_{jp}+\nabla _{j}v_{ip}-\nabla _{p}v_{ij}{\Big )}.$
${\frac {\partial }{\partial t}}R_{ijkl}={\frac {1}{2}}{\Big (}\nabla _{j}\nabla _{k}v_{ il}+\nabla _{i}\nabla _{l}v_{jk}-\nabla _{i}\nabla _{k}v_{jl}-\nabla _{j}\nabla _{l}v_ {ik}{\Big )}+{\frac {1}{2}}{R_{ijk}}^{p}v_{pl}-{\frac {1}{2}}{R_{ijl}} ^{p}v_{pk}$
${\frac {\partial }{\partial t}}R_{ik}={\frac {1}{2}}{\Big (}\nabla ^{p}\nabla _{k}v_{ ip}+\nabla _{i}(\operatorname {div} v)_{k}-\nabla _{i}\nabla _{k}(\operatorname {tr} _{g}v)-\Delta v_ {ik}{\Big )}+{\frac {1}{2}}R_{i}^{p}v_{pk}-{\frac {1}{2}}R_{i}{}^{ p}{}_{k}{}^{q}v_{pq}$
${\frac {\partial }{\partial t}}R=\operatorname {div} _{g}\operatorname {div} _{g}v-\Delta (\operatorname {tr} _{g} v)-\langle v،\operatorname {Ric} \rangle _{g}$
${\frac {\partial }{\partial t}}d\mu _{g}={\frac {1}{2}}g^{pq}v_{pq}\,d\mu _{ g}$
${\frac {\partial }{\partial t}}\nabla _{i}\nabla _{j}\Phi =\nabla _{i}\nabla _{j}{\frac {\partial \ Phi }{\partial t}}-{\frac {1}{2}}g^{kp}{\Big (}\nabla _{i}v_{jp}+\nabla _{j}v_{ip} -\nabla _{p}v_{ij}{\Big )}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{k}}}$
${\frac {\partial }{\partial t}}\Delta \Phi =-\langle v,\operatorname {Hess} \Phi \rangle _{g}-g{\Big (}\operatorname {div } v-{\frac {1}{2}}d(\operatorname {tr} _{g}v),d\Phi {\Big )}$

نماد اصلی [ ویرایش ]

محاسبات فرمول تغییرات بالا نماد اصلی نگاشت را تعریف می کند که یک متریک شبه ریمانی را به تانسور ریمان، تانسور ریچی یا انحنای اسکالر ارسال می کند.

نماد اصلی نقشه $g\mapsto \operatorname {Rm} ^{g}$ به هر کدام اختصاص می دهد $\xi \in T_{p}^{\ast }M$ نقشه ای از فضای تانسورهای متقارن (0،2) روی $T_{p}M$ به فضای تانسورهای (0،4) ، $T_{p}M,$ داده شده توسط

$v\mapsto {\frac {\xi _{j}\xi _{k}v_{il}+\xi _{i}\xi _{l}v_{jk}-\xi _{i} \xi _{k}v_{jl}-\xi _{j}\xi _{l}v_{ik}}{2}}=-{\frac {1}{2}}(\xi \otimes \ xi ){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}v.$

نماد اصلی نقشه $g\mapsto \operatorname {Ric} ^{g}$ به هر کدام اختصاص می دهد $\xi \in T_{p}^{\ast }M$ اندومورفیسم فضای دو تانسور متقارن $T_{p}M$ داده شده توسط

$v\mapsto v(\xi ^{\sharp },\cdot )\otimes \xi +\xi \otimes v(\xi ^{\sharp },\cdot )-(\operatorname {tr} _{ g_{p}}v)\xi \otimes \xi -|\xi |_{g}^{2}v.$

نماد اصلی نقشه $g\mapsto R^{g}$ به هر کدام اختصاص می دهد $\xi \in T_{p}^{\ast }M$ عنصری از فضای دوگانه به فضای برداری 2 تانسور متقارن $T_{p}M$ توسط

$v\mapsto |\xi |_{g}^{2}\operatorname {tr} _{g}v+v(\xi ^{\sharp },\xi ^{\sharp }).$

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_formulas_in_Riemannian_geometry

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی