ریاضیات

ماتریس یکانی یک ماتریس مربع از اعداد مختلط است. حاصل ضرب ترانهاده مزدوج یک ماتریس یکانی، با ماتریس یکانی، یک ماتریس همانی می‌دهد. از اینجا می توان فهمید که یک ماتریس یکانی یک ماتریس غیر منفرد است و معکوس پذیراست.

اجازه دهید در مورد ویژگی ها و نمونه هایی از ماتریس یکانی بیشتر بیاموزیم.

ماتریس یکانی چیست؟

A ماتریس یکانی یک ماتریس مربعی از اعداد مختلط است که عکس آن برابر است با ترانهاده مزدوج آن. از طرف دیگر، حاصل ضرب ماتریس یکانی و ترانهاده مزدوج یک ماتریس یکانی برابر با ماتریس همانی است. به عنوان مثال، اگر U یک ماتریس یکانی باشد و U^H ترانهاده مختلط آن است (که گاهی اوقات به عنوان U* نشان داده می شود. ) سپس یکی از هر دو شرط زیر برآورده می شود.

• U^H = U^-1
• U^H U = U U^H = I

جایی که I ماتریس همانی است که ترتیب آن با U یکی است.

همچنین یک ماتریس یکانی یک ماتریس غیر منفرد است. یا تعیین کننده یک ماتریس یکانی برابر با صفر نیست. ستون ها و ردیف های یک ماتریس یکانی متعامد هستند.

ویژگی های ماتریس یکانی

خواص یک ماتریس یکانی به شرح زیر است.

• ماتریس یکانی یک ماتریس غیر مفرد است.
• ماتریس یکانی یک ماتریس معکوس است
• حاصل ضرب دو ماتریس یکانی یک ماتریس یکانی است.
• معکوس یک ماتریس یکانی یک ماتریس یکانی دیگر است.
• یک ماتریس یکانی است، اگر و تنها در صورتی که جابجایی آن یکانی باشد.
• یک ماتریس یکانی است اگر ردیف های آن متعامد و ستون ها متعامد باشند.
• ماتریس های یکانی نیز می توانند ماتریس های غیر مربعی باشند اما دارای ستون ها و ردیف های متعامد باشند.

توجه: لازم نیست مجموع یا اختلاف دو ماتریس یکانی، یک ماتریس یکانی باشد. به عنوان مثال، اگر A یک ماتریس یکانی است، A - A = O (ماتریس تهی)، که یکانی نیست.

اصطلاحات مربوط به ماتریس یکانی

عبارات زیر مربوط به ماتریس ها برای درک بهتر این مفهوم از ماتریس یکانی مفید است.

• ماتریس غیر مفرد: تعیین یک ماتریس غیر مفرد یک مقدار غیر صفر است. برای یک ماتریس مربع A، شرط اینکه ماتریس غیر مفرد باشد
• |A| =ad - bc ≠ 0.
• ماتریس معکوس: ماتریسی که ماتریس معکوس آن قابل محاسبه است، ماتریس معکوس پذیر نامیده می شود. معکوس یک ماتریس A برابر است با

A^-1 = Adj A/ |A|.

• ماتریس مزدوج: ماتریس مزدوج یک ماتریس معین با جایگزینی عناصر متناظر ماتریس داده شده با مزدوج های مختلط آنها به دست می آید.
• ترانهاده ماتریس: ترانهاده یک ماتریس A به صورت A^T نشان داده می شود و جابجایی سطر ماتریس با به ستون و ستون ها به سطر برای یک ماتریس مشخص به دست می آید.
• ماتریس متعامد: اگر حاصل ضرب یک ماتریس و ترانهاده آن یک ماتریس همانی باشد، آن را ماتریس متعامد. A.A^T = I.
• ماتریس هرمیتین: ماتریس هرمیتی یک ماتریس مربع است که برابر با ماتریس ترانهاده مزدوج آن است. عناصر غیر قطری یک ماتریس هرمیتین همگی اعداد مختلط هستند.

​