مثال اول محاسبه سری تیلور

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و یکم آذر ۱۴۰۲ | 22:30

مثال اول

به منظور محاسبه چند جمله ای درجه 7 مکلارین برای تابع

$f(x)=\ln(\cos x),\quad x\in \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right )$ ،

می توان ابتدا تابع را به صورت بازنویسی کرد

$f(x)=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\!$ .

سری تیلور برای لگاریتم طبیعی است (با استفاده از نماد O بزرگ )

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{O}\left(x ^{4}\راست)\!$

و برای تابع کسینوس

$\cos x-1=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}} {720}}+{O}\left(x^{8}\right)\!$ .

بسط سری دوم دارای یک جمله ثابت صفر است که به ما امکان می دهد سری دوم را با سری اول جایگزین کنیم و با استفاده از علامت O بزرگ به راحتی از عبارت های مرتبه بالاتر از درجه 7 حذف کنیم:

${\begin{aligned}f(x)&=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\\&=(\cos x-1)-{\ tfrac {1}{2}}(\cos x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(\cos x-1)^{3}+{O}\left((\ cos x-1)^{4}\right)\\&=\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}- {\frac {x^{6}}{720}}+{O}\left(x^{8}\right)\right)-{\frac {1}{2}}\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{O}\left(x^{6}\right)\right)^{2}+{ \frac {1}{3}}\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+O\left(x^{4}\right)\right)^{3}+{O }\left(x^{8}\right)\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}-{\frac {x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{48}}-{\frac {x^{6 }}{24}}+O\left(x^{8}\right)\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{ 12}}-{\frac {x^{6}}{45}}+O\left(x^{8}\right).\end{تراز شده}}\!$

از آنجایی که کسینوس یک تابع زوج است ، ضرایب برای تمام توان های فرد x , x^ 3 , x ^5 , x ^7 , ... باید صفر باشد.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی