​

تاریخچه [ ویرایش ]

معادلات مکعبی برای بابلیان، یونانیان، چینی ها، هندی ها و مصریان باستان شناخته شده بود. [1] [2] [3] الواح بابلی (قرن 20 تا 16 قبل از میلاد) به خط میخی با جداولی برای محاسبه مکعب ها و ریشه های مکعبی پیدا شده است. [4] [5] بابلی‌ها می‌توانستند از جداول برای حل معادلات مکعبی استفاده کنند، اما هیچ مدرکی برای تأیید این کار وجود ندارد. [6] مشکل دو برابر کردن مکعب شامل ساده ترین و قدیمی ترین معادله مکعبی است که مصریان باستان راه حلی برای آن وجود نداشت. [7] در قرن پنجم قبل از میلاد، بقراطیییان مشکل را به یافتن دو تناسب متوسط ​​بین یک خط و خط دیگر با دوبرابر طول آن کاهش داد، اما نمی‌توان آن را با یک قطب‌نما و ساختار مستقیم حل کرد ، [8] ، کاری که اکنون غیرممکن است. روش‌هایی برای حل معادلات مکعبی در نه فصل در هنر ریاضی ، یک متن ریاضی چینی که در حدود قرن دوم قبل از میلاد گردآوری شده و توسط لیو هوی در قرن سوم توضیح داده شده است، ظاهر می‌شود. [2] در قرن سوم پس از میلاد، ریاضیدان یونانی دیوفانتوس راه حل های اعداد صحیح یا منطقی برای برخی معادلات مکعبی دو متغیره (معادلات دیوفانتین ) یافت. [3] [9]اعتقاد بر این است که بقراط، مناخموس و ارشمیدس به حل مشکل دوبرابر کردن مکعب با استفاده از مقاطع مخروطی متقاطع نزدیک شده‌اند ، [8] اگرچه مورخانی مانند ریل نتز در مورد اینکه آیا یونانی‌ها به معادلات مکعب فکر می‌کردند یا فقط مسائلی که می‌تواند منجر به مکعب شود اختلاف نظر دارند. معادلات برخی دیگر مانند TL Heath که همه آثار ارشمیدس را ترجمه کرده است، مخالف هستند، و شواهدی ارائه می دهند که ارشمیدس واقعاً معادلات مکعب را با استفاده از تقاطع دو مخروطی حل می کند ، اما همچنین شرایطی را که در آن ریشه ها 0، 1 یا 2 هستند ، مورد بحث قرار می دهد. [10]

نمودار تابع مکعبی f ( x ) = 2 x ^3  − 3 x ^2  − 3 x  + 2 = ( x  + 1) (2 x  − 1) ( x  − 2)

در قرن هفتم، وانگ شیائوتنگ ، ریاضیدان اخترشناس سلسله تانگ، در رساله ریاضی خود با عنوان Jigu Suanjing به طور سیستماتیک 25 معادله مکعبی به شکل x 3 + px 2 + qx = N را ایجاد و حل کرد که 23 مورد از آنها با p , q ≠ 0 , و دو عدد از آنها با q = 0 . [11]

در قرن یازدهم، عمر خیام (1048-1131) شاعر و ریاضیدان ایرانی در نظریه معادلات مکعبی پیشرفت چشمگیری داشت. در یک مقاله اولیه، او کشف کرد که یک معادله مکعبی می تواند بیش از یک جواب داشته باشد و بیان کرد که نمی توان آن را با استفاده از قطب نما و ساختارهای مستقیم حل کرد. او همچنین یک راه حل هندسی پیدا کرد . [12] [13] در کار بعدی خود، رساله ای در مورد نمایش مسائل جبر ، او یک طبقه بندی کامل از معادلات مکعبی با راه حل های هندسی کلی که با استفاده از مقاطع مخروطی متقاطع یافت می شود نوشت . [14] [15]

در قرن دوازدهم، ریاضیدان هندی بهاسکارای دوم، حل معادلات مکعبی را بدون موفقیت کلی انجام داد. با این حال، او یک مثال از یک معادله مکعبی را بیان کرد: x 3 + 12 x = 6 x 2 + 35 . [16] در قرن دوازدهم، ریاضیدان ایرانی دیگری به نام شرف الدین طوسی (1135-1213)، المعادلات (رساله معادلات) را نوشت که به هشت نوع معادله مکعبی با جواب های مثبت و پنج نوع می پردازد. معادلات مکعبی که ممکن است جواب مثبت نداشته باشند. او از چیزی استفاده کرد که بعداً به عنوان " روفینی - هورنر " شناخته شدریشه یک معادله مکعبی را به صورت عددی تقریبی کنید . او همچنین از مفاهیم ماکزیمم و مینیمم منحنی ها برای حل معادلات مکعبی که ممکن است جواب مثبت نداشته باشند استفاده کرد. [17] او اهمیت تمایز معادله مکعب را برای یافتن راه‌حل‌های جبری برای انواع خاصی از معادلات مکعبی درک کرد. [18]

لئوناردو دی پیزا، که با نام فیبوناچی ( 1170–1250 ) نیز شناخته می‌شود، در کتاب فلوس، توانست جواب مثبت معادله مکعب x 3 + 2 x 2 + 10 x = 20 را از نزدیک نزدیک کند. او با نوشتن با اعداد بابلی نتیجه را 1،22،7،42،33،4،40 (معادل 1 + 22/60 + 7/60 2  + 42/60 3  + 33/60 4  + 4/60 5 ) داد.  + 40/60 6 )، که دارای خطای نسبی حدود 10-9 است. [19]

در اوایل قرن شانزدهم، ریاضیدان ایتالیایی Scipione del Ferro (1465-1526) روشی را برای حل یک کلاس از معادلات مکعبی، یعنی معادلاتی به شکل x 3 + mx = n پیدا کرد. در واقع، تمام معادلات مکعبی را می توان به این شکل کاهش داد، اگر کسی اجازه دهد m و n منفی باشد، اما اعداد منفی در آن زمان برای او شناخته شده نبودند. دل فرو موفقیت خود را تا قبل از مرگش مخفی نگه داشت، زمانی که در مورد آن به شاگردش آنتونیو فیور گفت.

نیکولو فونتانا تارتالیا

در سال 1530، نیکولو تارتالیا (1500-1557) دو مسئله در معادلات مکعبی را از Zuanne da Coi دریافت کرد و اعلام کرد که می تواند آنها را حل کند. او به زودی توسط فیور به چالش کشیده شد، که منجر به یک رقابت معروف بین این دو شد. هر شرکت کننده باید مقدار مشخصی پول جمع می کرد و تعدادی از مشکلات را برای حل رقیب خود پیشنهاد می کرد. هر کس مشکلات بیشتری را ظرف 30 روز حل کند، تمام پول را دریافت می کند. تارتالیا سؤالاتی را به شکل x 3 + mx = n دریافت کرد که برای آنها یک روش کلی کار کرده بود. فیور سوالاتی را به شکل x 3 + mx 2 = n دریافت کرد، که حل آن برای او بسیار دشوار بود و تارتالیا برنده مسابقه شد.

بعدها، تارتالیا توسط جرولامو کاردانو (1501-1576) متقاعد شد تا راز خود را برای حل معادلات مکعبی فاش کند. در سال 1539، تارتالیا این کار را تنها به شرطی انجام داد که کاردانو هرگز آن را فاش نکند و اگر کتابی در مورد مکعب ها بنویسد، به تارتالیا زمان می دهد تا آن را منتشر کند. چند سال بعد، کاردانو با کارهای قبلی دل فرو آشنا شد و روش دل فروو را در کتاب خود آرس ماگنا منتشر کرد.در سال 1545، یعنی کاردانو شش سال به تارتالیا فرصت داد تا نتایج خود را منتشر کند (با اعتباری که به تارتالیا برای یک راه حل مستقل داده شد). قول کاردانو به تارتالیا گفت که او آثار تارتالیا را منتشر نخواهد کرد و کاردانو احساس کرد که دارد دل فروز را منتشر می کند تا از این قول دور شود. با این وجود، این منجر به چالشی برای کاردانو از تارتالیا شد که کاردانو آن را رد کرد. این چالش در نهایت توسط شاگرد کاردانو، لودوویکو فراری (1522-1565) پذیرفته شد. فراری بهتر از تارتالیا در این رقابت ظاهر شد و تارتالیا هم اعتبار و هم درآمدش را از دست داد. [20]

کاردانو متوجه شد که روش تارتالیا گاهی اوقات از او خواسته می‌شود که جذر یک عدد منفی را استخراج کند. او حتی یک محاسبه با این اعداد مختلط را در آرس ماگنا وارد کرد، اما واقعاً آن را درک نکرد. رافائل بومبلی این موضوع را به تفصیل مطالعه کرد [21] و بنابراین اغلب به عنوان کاشف اعداد مختلط در نظر گرفته می شود.

فرانسوا ویته (1540-1603) به طور مستقل راه حل مثلثاتی را برای مکعب با سه ریشه واقعی استخراج کرد و رنه دکارت (1596-1650) کار ویته را گسترش داد. [22]

تجزیه [ ویرایش ]

اگر ضرایب یک معادله مکعبی اعداد گویا باشند، می‌توان با ضرب همه ضرایب در مضربی مشترک از مخرج‌هایشان ، معادله‌ای معادل با ضرایب صحیح به دست آورد . چنین معادله ای

ax^3+bx^2+cx+d=0،

با ضرایب صحیح، اگر چند جمله‌ای سمت چپ حاصل ضرب چند جمله‌ای درجات پایین‌تر باشد، کاهش‌پذیر است. با لم گاوس ، اگر معادله کاهش پذیر باشد، می توان فرض کرد که عوامل دارای ضرایب صحیح هستند.

یافتن ریشه یک معادله مکعب کاهش پذیر آسان تر از حل حالت کلی است. در واقع، اگر معادله کاهش پذیر باشد، یکی از عوامل باید درجه یک داشته باشد و در نتیجه شکل را داشته باشد.

{\displaystyle qx-p}

با q و p اعداد صحیح هم اول هستند . آزمون ریشه گویا امکان یافتن q و p را با بررسی تعداد محدودی از موارد می دهد (زیرا q باید مقسوم علیه a و p باید مقسوم علیه d باشد).

بنابراین، یک ریشه است{\displaystyle \textstyle x_{1}={\frac {p}{q}},}و ریشه های دیگر ریشه های عامل دیگر هستند که با تقسیم طولانی چند جمله ای پیدا می شود . این عامل دیگر است

{\displaystyle {\frac {a}{q}}x^{2}+{\frac {bq+ap}{q^{2}}}x+{\frac {cq^{2}+bpq+ap^ {2}}{q^{3}}}}

(به نظر می رسد ضرایب اعداد صحیح نیستند، اما اگر p / q یک ریشه باشد باید اعداد صحیح باشند.)

سپس، ریشه های دیگر، ریشه های این چند جمله ای درجه دوم هستند و با استفاده از فرمول درجه دوم می توان آنها را پیدا کرد .

​