​

مکعب کاهش یافته[ ویرایش ]

مکعب های فرم

{\displaystyle t^{3}+pt+q}

گفته می شود کاهش یافته هستند آنها بسیار ساده تر از مکعب های عمومی هستند، اما اساسی هستند، زیرا مطالعه هر مکعب ممکن است با یک تغییر ساده از متغیر به یک مکعب کاهش یافته کاهش یابد.

اجازه دهید

{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}

یک معادله مکعبی باشد تغییر متغیر

{\displaystyle x=t-{\frac {b}{3a}}}

یک مکعب (در t ) می دهد که در t 2 ترم ندارد .

پس از تقسیم بر یک ، معادله مکعب کاهش یافته به دست می آید

{\displaystyle t^{3}+pt+q=0,}

با

{\displaystyle {\begin{aligned}t={}&x+{\frac {b}{3a}}\\p={}&{\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}} }\\q={}&{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.\end{تراز شده}}}

ریشه ها x_{1}، x_{2}، x_{3}معادله اصلی مربوط به ریشه است{\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3}}معادله کاهش یافته توسط روابط

{\displaystyle x_{i}=t_{i}-{\frac {b}{3a}}،}

برای{\displaystyle i=1،2،3}.

تمایز و ماهیت ریشه ها [ ویرایش ]

ماهیت (حقیقی یا غیر حقیقی، متمایز یا غیر متمایز) ریشه های یک مکعب را می توان بدون محاسبه صریح و با استفاده از متمایز تعیین کرد.

ممیز [ ویرایش ]

ممیز یک چند جمله ای تابعی از ضرایب آن است که صفر است اگر و فقط اگر چند جمله ای دارای یک ریشه چند جمله ای باشد، یا اگر بر مجذور یک چند جمله ای غیر ثابت بخش پذیر باشد. به عبارت دیگر، ممیز غیرصفر است اگر و تنها اگر چند جمله‌ای بدون مربع باشد.

اگر r 1 ، r 2 ، r 3 سه ریشه (نه لزوما متمایز و نه حقیقی ) مکعب باشند.{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d,}سپس ممیز است

{\displaystyle a^{4}(r_{1}-r_{2})^{2}(r_{1}-r_{3})^{2}(r_{2}-r_{3})^ {2}.}

ممیز مکعب کاهش یافته{\displaystyle t^{3}+pt+q}است

{\displaystyle -\left(4\,p^{3}+27\,q^{2}\right).}

ممیز مکعب عمومی{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}است

{\displaystyle 18\,abcd-4\,b^{3}d+b^{2}c^{2}-4\,ac^{3}-27\,a^{2}d^{2 }.}

ضرب آن است{\displaystyle a^{4}}و متمایز مکعب کاهش یافته مربوطه. با استفاده از فرمول مربوط به مکعب عمومی و مکعب کاهش یافته مرتبط، به این معنی است که تفکیک مکعب عمومی را می توان به صورت نوشتاری

{\displaystyle {\frac {4(b^{2}-3ac)^{3}-(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}}{27a^{2}} }.}

بنابراین، یکی از این دو ممیز صفر است اگر و فقط اگر دیگری نیز صفر باشد، و اگر ضرایب حقیقی باشند ، دو ممیز علامت یکسانی دارند. به طور خلاصه، اطلاعات یکسانی را می توان از یکی از این دو ممیز استنباط کرد.

برای اثبات فرمول های قبلی، می توان از فرمول های ویتا استفاده کرد تا همه چیز را به صورت چندجمله ای در r 1 , r 2 , r 3 و a بیان کند. پس از آن، اثبات برابری دو چند جمله ای را تأیید می کند.

ماهیت ریشه ها [ ویرایش ]

اگر ضرایب یک چند جمله ای اعداد حقیقی و متمایز کننده آن باشد\ دلتاصفر نیست، دو حالت وجود دارد:

این را می توان به صورت زیر ثابت کرد. ابتدا، اگر r یک ریشه چند جمله ای با ضرایب حقیقی باشد، مزدوج مختلط آن نیز یک ریشه است. بنابراین ریشه های غیر حقیقی، در صورت وجود، به صورت جفت ریشه های مزدوج مختلط رخ می دهند. از آنجایی که یک چند جمله ای مکعبی دارای سه ریشه است (الزاماً متمایز نیست) بر اساس قضیه اساسی جبر ، حداقل یک ریشه باید حقیقی باشد.

همانطور که در بالا گفته شد، اگر r 1 ، r 2 ، r 3 سه ریشه مکعب باشند.{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}، پس ممیز است

{\displaystyle \Delta =a^{4}(r_{1}-r_{2})^{2}(r_{1}-r_{3})^{2}(r_{2}-r_{3 })^{2}}

اگر سه ریشه حقیقی و متمایز باشند، ممیز ضرب حقیقی مثبت است، یعنی{\displaystyle \Delta >0.}

اگر فقط یک ریشه، مثلا r 1 ، حقیقی باشد، پس r 2 و r 3 مزدوج های مختلط هستند، که به این معنی است که r 2 - r 3 یک عدد کاملاً خیالی است و بنابراین ( r 2 - r 3 ) 2 حقیقی است و منفی. از طرف دیگر، r 1 – r 2 و r 1 – r 3 مزدوج های مختلط ای هستند و حاصلضرب آنها حقیقی و مثبت است. [23]بنابراین ممیز حاصلضرب یک عدد منفی و چند عدد مثبت است. به این معنا که{\displaystyle \Delta <0.}

ریشه چندگانه [ ویرایش ]

اگر ممیز یک مکعب صفر باشد، مکعب یک ریشه چندگانه دارد . علاوه بر این، اگر ضرایب آن حقیقی باشد، پس همه ریشه های آن حقیقی هستند.

ممیز مکعب کاهش یافته{\displaystyle \;t^{3}+pt+q\;}صفر است اگر{\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}=0\;.}اگر p نیز صفر باشد، p = q = 0 ، و 0 یک ریشه سه برابری مکعب است. اگر{\displaystyle \;4p^{3}+27q^{2}=0\;,}و p ≠ 0 ، سپس مکعب یک ریشه ساده دارد

{\displaystyle t_{1}={\frac {\,3q\,}{p}}}

و یک ریشه دوتایی

{\displaystyle t_{2}=t_{3}=-{\frac {\,3q\,}{2p}}~.}

به عبارت دیگر،

{\displaystyle t^{3}+pt+q=\left(t-{\frac {3q}{p}}\right)\left(t+{\frac {\,3q\,}{2p}}\ درست)^{2}\;.}

این نتیجه را می توان با بسط ضرب دوم اثبات کرد یا با حل سیستم نسبتاً ساده معادلات حاصل از فرمول های ویتا بازیابی کرد .

با استفاده از کاهش یک مکعب کاهش یافته، این نتایج را می توان به مکعب عمومی گسترش داد. این می دهد: اگر ممیز مکعب{\displaystyle \;ax^{3}+bx^{2}+cx+d\;}پس صفر است

  • یا اگر{\displaystyle b^{2}=3ac\;,}مکعب یک ریشه سه گانه دارد

{\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=-{\frac {b}{\,3a\,}}~,}

و

{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a\left(x+{\frac {b}{\,3a\,}}\right)^{3}}

  • یا اگر{\displaystyle \;b^{2}\neq 3ac\;,}مکعب یک ریشه دوتایی دارد

{\displaystyle x_{2}=x_{3}={\frac {9ad-bc}{\,2(b^{2}-3ac)\,}}~,}

و یک ریشه ساده،

{\displaystyle x_{1}={\frac {\,4abc-9a^{2}db^{3}\,}{a(b^{2}-3ac)}}~.}

و بنابراین

{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a\,\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)^{2} ~.}

ویژگی 2 و 3 [ ویرایش ]

نتایج فوق زمانی معتبر هستند که ضرایب مربوط به یک میدان مشخصه غیر از 2 یا 3 باشد، اما باید برای مشخصه 2 یا 3 اصلاح شود، زیرا تقسیم بندی های مربوط به 2 و 3 است.

تقلیل به یک مکعب فرورفته برای مشخصه 2 کار می کند، اما برای مشخصه 3 نه. با این حال، در هر دو مورد، ایجاد و بیان نتایج برای مکعب عمومی ساده تر است. ابزار اصلی برای آن این حقیقیت است که یک ریشه چند جمله ای یک ریشه مشترک از چند جمله ای و مشتق صوری آن است . در این مشخصه ها، اگر مشتق ثابت نباشد، در مشخصه 3 چند جمله ای خطی است و در مشخصه 2، مجذور چند جمله ای خطی است. بنابراین، برای مشخصه 2 یا 3، مشتق فقط یک ریشه دارد. این امکان محاسبه ریشه چندگانه را فراهم می‌کند و ریشه سوم را می‌توان از مجموع ریشه‌ها استنتاج کرد که توسط فرمول‌های Vieta ارائه می‌شود .

یک تفاوت با سایر ویژگی ها این است که در مشخصه 2، فرمول یک ریشه دوتایی شامل یک ریشه مربع است و در مشخصه 3، فرمول ریشه سه گانه شامل یک ریشه مکعب است.

​