ریاضیات

مثال 1: سه ریشه مکعبی 8- را محاسبه کنید.

راه حل: از آنجایی که 8- دارای شکل قطبی 8 است (cos π + i sin π)، سه ریشه مکعبی آن شکل دارند.

3 √8 {cos[( π + 2 π m)/3] + i sin[( π + 2 π m)/3]}

برای m=0، 1, 2.

بنابراین ریشه ها هستند

 2 (cos π/3 + i sin π/3) = 1 + √3 i،

 2 (cos π + i sin π ) = -2، و

2 (cos 5 π /3 + i sin 5 π /3) = 1 - √3 i.

مثال 2: از قضیه De Moivre برای محاسبه

(1 + i)^ 12

 استفاده کنید.

راه حل :  شکل قطبی 1 + i √2 است (cos π/4 + isin π/4). بنابراین، با قضیه دی مویور، داریم:

(1 + i) ^12 = [√2 (cos π /4 + i sin π /4)] ^12

= (√2) ^12 (cos π /4 + i sin π /4) 12

= 2^ 6 (cos 3 π + i sin 3 π )

= 64 (cos π + i sin π )

= 64 (-1) = -64.

مثال 3: از قضیه De Moivre برای محاسبه

(√3 + i)^ 5

 استفاده کنید.

راه حل : ساده است که نشان دهیم شکل قطبی

√3 + i 

است (cos π/6 + i sin π/6). بدین ترتیب داریم:

(√3 + i) ^5 = [2(cos π /6 + i sin π /6)] ^5

= 2^ 5 (cos π /6 + i sin π /6) ^5

= 32 (cos 5 π / 6 + i sin 5 π / 6)

= 32 (-√3/2 + 1/2 i)

= -16√3 + 16 i.

مثال 4: ششمین ریشه

 √3+i

را بیابید

راه حل: مدول

 √3 +i 

و آرگومان π/6 است.  

ریشه ششم بنابراین

منبع

https://www.web-formulas.com/Math_Formulas/Complex_Number_De_Moivres_Theorem.aspx