​

 فرمول کاردانو [ ویرایش ]

جرولامو کاردانو با انتشار اولین فرمول برای حل معادلات مکعب اعتبار دارد و آن را به Scipione del Ferro و Niccolo Fontana Tartaglia نسبت می دهد. این فرمول برای مکعب های فشرده اعمال می شود، اما، همانطور که در § مکعب فرورفته نشان داده شده است ، اجازه می دهد تا تمام معادلات مکعب را حل کنید.

نتیجه کاردانو این است که اگر

t^{3}+pt+q=0

یک معادله مکعبی است به طوری که p و q اعداد واقعی هستند به طوری که{\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}>0,}سپس معادله دارای ریشه واقعی است

{\displaystyle {\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{ 3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4} }+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}

برای چندین روش برای به دست آوردن این نتیجه به § استخراج ریشه ها در زیر مراجعه کنید.

همانطور که در § ماهیت ریشه ها نشان داده شده است، در این مورد، دو ریشه دیگر اعداد مزدوج مختلط غیر واقعی هستند . بعدها نشان داده شد (کاردانو اعداد مختلط را نمی دانست ) که دو ریشه دیگر از ضرب هر یک از ریشه های مکعبی در ریشه مکعبی اولیه وحدت به دست می آیند. {\displaystyle {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},}و مکعب دیگر ریشه توسط{\displaystyle {\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}.}

اگر{\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}<0,}سه ریشه واقعی وجود دارد، اما نظریه گالوا اجازه می دهد تا ثابت کند، اگر ریشه گویا وجود نداشته باشد، ریشه ها را نمی توان با یک عبارت جبری که فقط شامل اعداد حقیقی است بیان کرد. بنابراین با آگاهی از زمان کاردانو نمی توان معادله را در این مورد حل کرد. بنابراین این مورد را casus irreducibilis نامیده‌اند که در لاتین به معنای مورد غیر قابل تقلیل است .

در casus irreducibilis هنوز هم می توان از فرمول کاردانو استفاده کرد، اما در استفاده از ریشه های مکعبی نیاز به مراقبت است. اولین روش، تعریف نمادها است{\displaystyle {\sqrt {{~}^{~}}}}و{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{~}^{~}}}}به عنوان نشان دهنده مقادیر اصلی تابع ریشه (یعنی ریشه ای است که بزرگترین قسمت واقعی را دارد). با این قرارداد، فرمول کاردانو برای سه ریشه معتبر باقی می‌ماند، اما صرفاً جبری نیست، زیرا تعریف جزء اصلی صرفاً جبری نیست، زیرا شامل نابرابری‌هایی برای مقایسه اجزای واقعی است. همچنین، اگر ضرایب اعداد مختلط غیر واقعی باشند، استفاده از ریشه مکعب اصلی ممکن است نتیجه اشتباهی به همراه داشته باشد. علاوه بر این، اگر ضرایب مربوط به میدان دیگری باشد، ریشه اصلی مکعب به طور کلی تعریف نمی شود.

راه دوم برای درست کردن فرمول کاردانو همیشه این است که به این نکته توجه کنید که حاصل ضرب دو ریشه مکعب باید – p / 3 باشد. نتیجه می شود که یک ریشه معادله است

{\displaystyle C-{\frac {p}{3C}}\quad {\text{with}}\quad C={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{ \sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}

در این فرمول، نمادها{\displaystyle {\sqrt {{~}^{~}}}}و{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{~}^{~}}}}هر ریشه مربع و هر ریشه مکعبی را نشان می دهد. ریشه های دیگر معادله یا با تغییر ریشه مکعب یا به طور معادل با ضرب ریشه مکعب در یک ریشه مکعبی اولیه وحدت به دست می آیند.{\displaystyle \textstyle {\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}.}

این فرمول برای ریشه ها همیشه درست است، به جز زمانی که p = q = 0 ، با این قید که اگر p = 0 باشد، جذر به گونه ای انتخاب شود که C ≠ 0 باشد. با این حال، فرمول در این موارد بی فایده است زیرا ریشه ها را می توان بدون هیچ ریشه مکعبی بیان کرد. به طور مشابه، این فرمول در موارد دیگری که به ریشه مکعبی نیاز نیست، یعنی زمانی که نیازی به آن نیست، بی فایده است{\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}=0}و زمانی که چند جمله ای مکعبی تقلیل ناپذیر نباشد .

این فرمول همچنین زمانی درست است که p و q به هر فیلد مشخصه ای غیر از 2 یا 3 تعلق داشته باشند .

فرمول مکعبی عمومی [ ویرایش ]

فرمول مکعبی برای ریشه های معادله مکعب عمومی (با ≠ 0 )

ax^3+bx^2+cx+d=0

می توان از هر گونه فرمول کاردانو با کاهش به مکعب کاهش یافته استنباط کرد . گونه‌ای که در اینجا ارائه می‌شود نه تنها برای ضرایب واقعی، بلکه برای ضرایب a ، b ، c ، d نیز معتبر است که به هر میدان از مشخصه‌های متفاوت 2 و 3 تعلق دارند .

فرمول نسبتاً پیچیده است، ارزش آن را دارد که آن را به فرمول های کوچکتر تقسیم کنید.

اجازه دهید

{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{0}&=b^{2}-3ac,\\\Delta _{1}&=2b^{3}-9abc+27a^{2}d. \end{تراز شده}}}

(هر دو\دلتا _{0}و\دلتا _{1}را می توان به عنوان حاصل مکعب و مشتقات آن بیان کرد:\دلتا _{1}است-1/8 الفبرابر حاصل مکعب و مشتق دوم آن، و\دلتا _{0}است-1/12 الفبرابر حاصل مشتق اول و دوم چند جمله ای مکعبی.)

سپس

{\displaystyle C={\sqrt[{3}]{\frac {\Delta _{1}\pm {\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3 }}}}{2}}}،}

جایی که نمادها{\displaystyle {\sqrt {{~}^{~}}}}و{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{~}^{~}}}}به ترتیب به هر ریشه مربع و هر ریشه مکعب تعبیر می شوند. علامت " ± " قبل از جذر یا " + " یا " – " است. انتخاب تقریباً دلخواه است و تغییر آن به معنای انتخاب یک جذر متفاوت است. با این حال، اگر انتخابی C = 0 را به دست آورد ، یعنی اگر{\displaystyle \Delta _{0}=0،}سپس علامت دیگر باید به جای آن انتخاب شود. اگر هر دو گزینه C = 0 را به دست آورند ، یعنی اگر{\displaystyle \Delta _{0}=\Delta _{1}=0،}یک کسری0/0در فرمول های زیر رخ می دهد که باید برابر با صفر تفسیر شوند (به انتهای این بخش مراجعه کنید). سپس، یکی از ریشه ها است

{\displaystyle x=-{\frac {1}{3a}}\left(b+C+{\frac {\Delta _{0}}{C}}\right){\text{.}}}

دو ریشه دیگر را می توان با تغییر انتخاب ریشه مکعب در تعریف C یا به طور معادل با ضرب C در یک ریشه مکعبی اولیه وحدت به دست آورد.–1 ± √ –3/2. به عبارت دیگر، سه ریشه هستند

{\displaystyle x_{k}=-{\frac {1}{3a}}\left(b+\xi ^{k}C+{\frac {\Delta _{0}}{\xi ^{k}C} }\right),\qquad k\in \{0,1,2\}{\text{,}}}

جایی که ξ =–1 + √ –3/2.

در مورد مورد خاص یک مکعب افسرده، این فرمول اعمال می شود، اما زمانی که ریشه ها را بتوان بدون ریشه های مکعبی بیان کرد، بی فایده است. به ویژه، اگر{\displaystyle \Delta _{0}=\Delta _{1}=0،}فرمول به دست می دهد که سه ریشه برابر است{\displaystyle {\frac {-b}{3a}}،}به این معنی که چند جمله ای مکعبی را می توان به صورت فاکتور گرفت{\displaystyle \textstyle a(x+{\frac {b}{3a}})^{3}.}یک محاسبه ساده اجازه می دهد تا تأیید شود که وجود این فاکتورگیری معادل است{\displaystyle \Delta _{0}=\Delta _{1}=0.}

​