ثابت ساز

قضیه ثابت ساز مدار و لم برونساید [ ویرایش ]

مدارها و ثابت ساز ها ارتباط نزدیکی با هم دارند. برای x ثابت در X ، نقشه را در نظر بگیرید $f:G\to X$ داده شده توسط $g\mapsto g\cdot x.$ با تعریف تصویر $f(G)$ این نقشه مدار است $G\cdot x.$ شرط داشتن تصویر یکسان دو عنصر است

$f(g)=f(h)\iff g\cdot x=h\cdot x\iff g^{-1}h\cdot x=x\iff g^{-1}h\in G_{ x}\iff h\in gG_{x}.$

به عبارت دیگر، $f(g)=f(h)$ اگر و تنها اگر $g$ و $ساعت$ در همان هممجموعه برای زیر گروه ثابت ساز قرار بگیرید $G_{x}$ . بنابراین، فیبر $f^{-1}(\{y\})$ از F بیش از هر Y در G · X است که در چنین هممجموعهها موجود است، و هر جمله هممجموعه ها نیز به عنوان یک فیبر رخ می دهد. بنابراین f یک بیجکشن بین مجموعه را تعریف می کند $G/G_{x}$ از هممجموعهs برای زیر گروه ثابت ساز و مدار $G\cdot x,$ که ارسال می کند $gG_{x}\mapsto g\cdot x$ . [8] این نتیجه به عنوان قضیه ثابت ساز مدار شناخته می شود .

اگر G متناهی باشد، قضیه ثابت ساز مدار، همراه با قضیه لاگرانژ ، به دست می دهد.

$|G\cdot x|=[G\,:\,G_{x}]=|G|/|G_{x}|,$

به عبارت دیگر طول مدار x برابر ترتیب ثابت ساز آن، ترتیب گروه است. به طور خاص این امر به این معنی است که طول مدار مقسوم علیهای از ترتیب گروه است.

مثال: فرض کنید G گروهی از مرتبه اول p باشد که روی یک مجموعه X با k عنصر عمل می کند. از آنجایی که هر مدار دارای 1 یا p عنصر است، حداقل وجود دارد $k{\bmod {p}}$ مدارهایی به طول 1 که عناصر G- invariant هستند.

این نتیجه به ویژه مفید است زیرا می توان آن را برای شمارش آرگومان ها به کار برد (معمولاً در موقعیت هایی که X نیز محدود است).

نمودار مکعبی با رئوس برچسب گذاری شده

مثال: می‌توانیم از قضیه ثابت‌کننده مدار برای شمارش خودمورفیسم‌های یک گراف استفاده کنیم . نمودار مکعبی را مانند تصویر در نظر بگیرید و اجازه دهید G گروه خودمورفیسم آن را نشان دهد . سپس G بر روی مجموعه رئوس {1، 2، ...، 8} عمل می‌کند، و این عمل گذرا است، همانطور که با ایجاد چرخش در مرکز مکعب مشاهده می‌شود. بنابراین، با قضیه مدار ثابت ساز، $|G|=|G\cdot 1||G_{1}|=8|G_{1}|.$ اکنون قضیه را روی ثابت ساز اعمال می کنیم $G_{1}،$ می توانیم بدست آوریم ( $|G_{1}|=|(G_{1})\cdot 2||(G_{1})_{2}|.$ هر عنصری از G که 1 را ثابت می کند باید 2 را به 2، 4 یا 5 بفرستد. به عنوان نمونه ای از این خودمورفیسم ها، چرخش حول محور مورب از طریق 1 و 7 را در نظر بگیرید. $2\pi /3$ که 2،4،5 و 3،6،8 را جایگزین می کند و 1 و 7 را ثابت می کند. $\left|(G_{1})\cdot 2\right|=3.$ اعمال قضیه برای بار سوم می دهد $|\left(G_{1}\right)_{2}|=|\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)\cdot 3||\left(\ چپ(G_{1}\right)_{2}\right)_{3}|.$ هر عنصری از G که 1 و 2 را ثابت می کند باید عدد 3 را به 3 یا 6 ارسال کند. $\left|\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)\cdot 3\right|=2$ . آن را هم یکی می بیند $\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)_{3}$ تنها شامل های automorphism هویت، به عنوان هر عنصر از G تعمیر 1، 2 و 3 نیز باید تمام رئوس دیگر را تعمیر کنند، از آنها توسط همجواری با 1، 2 و 3. ترکیب محاسبات قبل تعیین گردیده است، هم اکنون می توانید به دست آوردن $|G|=8\cdot 3\cdot 2\cdot 1=48.$

نتیجه ای که نزدیک به قضیه ثابت ساز مدار است ، لم برونساید است :

$|X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,$

که در آن X g مجموعه نقاط ثابت شده توسط g است . این نتیجه عمدتاً زمانی کاربرد دارد که G و X محدود هستند، زمانی که می توان آن را به صورت زیر تفسیر کرد: تعداد مدارها برابر است با میانگین تعداد نقاط ثابت در هر عنصر گروه.

رفع یک گروه G ، مجموعه ای از تفاوت های رسمی محدود G -sets یک حلقه به نام به شکل حلقه های برونساید از G ، که در آن مربوط به مجزای ، ضرب و به ضرب دکارتی .

مثالها [ ویرایش ]

در عمل بی اهمیت هر گروهGدر هر مجموعهXبا g ⋅ x = x برای همهgدرGو همهxدرX تعریف می شود. یعنی هر عنصر گروهیجایگشت هویت رادرXالقا میکند. [9]
در هر گروه G ، ضرب چپ یک عمل است G در G : G ⋅ X = GX برای همه گرم ، X در G . این عمل آزاد و متعدی (منظم) است و مبنای اثبات سریع قضیه کیلی را تشکیل می دهد - که هر گروه نسبت به زیر گروهی از گروه متقارن جایگشت های مجموعه G هم شکل است .
در هر گروه G با زیرگروه H ، ضرب چپ یک عمل است G در مجموعه ای از هممجموعهs G / H : گرم ⋅ ق = گاه برای همه گرم ، در G . به ویژه اگر H حاوی هیچ زیر گروه نرمال حجم قابل توجهی از G این القا ریخت از G به یک زیر گروه از گروه جایگشت از درجه [G: H] .
در هر گروه G ، صرف یک عمل است G در G : G ⋅ X = gxg -1 . نماد نمایی معمولاً برای نوع عمل راست استفاده می شود: x g = g -1 xg ; ( x g ) h = x gh را برآورده می کند .
در هر گروه G با زیرگروه H ، صرف یک عمل است G در ترکیبات از H : گرم ⋅ K = GKG -1 برای همه گرم در G و K ترکیبات از H .
گروه متقارن S n و زیرگروه های آن بر روی مجموعه { 1, …, n } با تغییر عناصر آن عمل می کنند.
گروه تقارن از یک جسم چند وجهی بر روی مجموعه ای از رئوس که چند وجهی عمل می کند. همچنین روی مجموعه صورت ها یا مجموعه لبه های چند وجهی عمل می کند.
گروه تقارن هر جسم هندسی روی مجموعه نقاط آن جسم عمل می کند.
گروه اتومورفیسم یک فضای برداری (یا نمودار ، یا گروه، یا حلقه...) بر روی فضای برداری (یا مجموعه رئوس نمودار، یا گروه، یا حلقه...) عمل می کند.
گروه خطی عمومی GL( n ، K ) و زیر گروه های آن، به ویژه زیر گروه های Lie آن (شامل گروه خطی ویژه SL( n ، K ) ، گروه متعامد O( n ، K ) ، گروه متعامد خاص SO( n ، K ) ، و گروه ها symplectic SP ( N ، K ) ) هستند گروه های دروغ که عمل در بردار K N. عملیات گروه توسط ضرب ماتریس از گروه با بردار از داده K N .
گروه خطی عمومی GL( n , Z ) روی Z n با عمل ماتریس طبیعی عمل می کند. مدارهای عمل آن توسط بزرگترین مقسوم علیه مشترک مختصات بردار در Z n طبقه بندی می شوند .
گروه آفین به عمل انتقالی در نقاط از یک فضای آفین به ، و زیرگروه V از گروه آفین به (این است که، یک فضای برداری) است متعدی و رایگان (این است که، به طور منظم ) اقدام در این نقاط؛ [10] در واقع می توان از این برای ارائه تعریفی از یک فضای وابسته استفاده کرد .
تصویری خطی گروه PGL ( N + 1، K ) و زیر گروه خود، به خصوص زیر گروه دروغ آن است، که گروه های دروغ که عمل در فضای تصویری P N ( K ). این ضریب عمل گروه خطی کلی در فضای تصویری است. به ویژه قابل توجه PGL(2، K ) است ، تقارن های خط پرتابی، که به شدت 3-گذر است، و نسبت متقاطع را حفظ می کند . گروه موبیوس PGL (2، C ) بسیار جالب توجه است.
ایزومتری از عمل فضا بر روی مجموعه ای از تصاویر 2D و الگوها، مانند الگوهای تصویر زمینه . تعریف را می توان با مشخص کردن اینکه منظور از تصویر یا الگو، به عنوان مثال، تابعی از موقعیت با مقادیر در مجموعه ای از رنگ ها، دقیق تر می شود. ایزومتریک ها در واقع نمونه ای از گروه افین (عمل) هستند. [ مشکوک - بحث ]
مجموعه هایی که توسط یک گروه G بر روی آنها اعمال می شود شامل دسته مجموعه های G است که در آنها اشیاء مجموعه های G هستند و مورفیسم ها هممورفیسم های مجموعه G هستند : توابع f : X → Y به گونه ای که g ⋅( f ( x )) = f ( گرم ⋅ X ) برای هر گرم در G .
گروه گالوا از یک فرمت درست L / K در زمین L عمل می کند اما تنها یک عمل پیش پا افتاده در عناصر از رشته K. گروه های زیر گال (L / K) مربوط به رشته های فرعی L که حاوی K، این است که، زمینه میانی پسوند بین L و K.
گروه افزایشی اعداد حقیقی ( R , +) بر روی فضای فاز سیستم های " خوب رفتار " در مکانیک کلاسیک (و در سیستم های دینامیکی کلی تر ) با ترجمه زمانی عمل می کند : اگر t در R باشد و x در فاز باشد. فضا، سپس x وضعیتی از سیستم را توصیف می کند، و t + x به عنوان وضعیت سیستم t ثانیه بعد اگر t مثبت باشد یا - t ثانیه قبل اگر t منفی است، تعریف می شود.
گروه افزودنی از اعداد حقیقی ( R ، +) در مجموعه ای از توابع حقیقی یک متغیر واقعی در شیوه های مختلف عمل می کند، با ( تی ⋅ F ) ( X ) برابر، برای مثال، F ( X + تی ) ، F ( x ) + t , f ( xe t ) , f ( x ) e t , f ( x + t ) e t , یا f ( xe t) + t , اما نه f ( xe t + t ) .
با توجه به اقدام گروهی از G در X ، ما می توانیم یک عمل ناشی از تعریف G در مجموعه قدرت از X ، با تنظیم گرم ⋅ U = { گرم ⋅ تو : تو ∈ U } برای هر زیر مجموعه U از X و هر گرم در G . برای مثال، در مطالعه عملکرد گروه بزرگ ماتیو در یک مجموعه 24 و در مطالعه تقارن در مدل‌های خاصی از هندسه‌های محدود مفید است .
چهارگان با هنجار 1 ( versors )، به عنوان یک گروه ضربی، عمل می کنند در R 3 : برای هر چهارگانه مانند Z = COS α / 2 + V گناه α / 2 ، نقشه برداری F ( X ) = Z X Z * است چرخش در جهت خلاف جهت عقربه های ساعت از طریق زاویه α حول محوری که توسط بردار واحد v . z همان چرخش است. کواترنیون ها و چرخش فضایی را ببینید. توجه داشته باشید که این یک عمل وفادار نیست زیرا کواترنیون −1 تمام نقاطی را که در آن قرار داشتند، ترک می‌کند، همانطور که کواترنیون 1 نیز انجام می‌دهد.
با توجه به چپ G -sets $X، Y$ ، یک مجموعه G سمت چپ وجود دارد $Y^X$ که عناصر آن نقشه های معادل G هستند $\alpha:X\times G\to Y$ ، و با G- action سمت چپ داده شده توسط $g\cdot \alpha =\alpha \circ (id_{X}\times -g)$ (جایی که " $-g$ " نشان دهنده ضرب درست در است {\displaystyle g} $g$ ). این مجموعه G این ویژگی را دارد که نقاط ثابت آن با نقشه های معادل مطابقت دارند $X به Y$ ; به طور کلی، یک شی نمایی در دسته مجموعه های G است .

اقدامات گروهی و گروپوئیدها [ ویرایش ]

مفهوم کنش گروهی را می توان با استفاده از اکشن گروپوئید در زمینه وسیع تری قرار داد $G'=G\ltimes X$ به کنش گروهی مرتبط است، بنابراین تکنیک‌هایی از تئوری گروهی مانند ارائه‌ها و فیبراسیون‌ها را امکان‌پذیر می‌سازد. علاوه بر این، تثبیت‌کننده‌های کنش، گروه‌های رأس، و مدارهای کنش، اجزای گروه‌نمای کنش هستند. برای جزئیات بیشتر، به کتاب Topology and groupoids اشاره شده در زیر مراجعه کنید.

این گروه اکشن دارای یک مورفیسم p است : G' → G که مورفیسم پوششی گروهوئیدها است . این اجازه می دهد تا یک رابطه بین چنین مورفیسم ها و نقشه های پوششی در توپولوژی برقرار شود.

+ نوشته شده در شنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۰ ساعت 2:44 توسط علی رضا نقش نیلچی |

انواع اعمال [ ویرایش ]

عمل G بر روی X نامیده می شود:

متعدی اگرXاستغیر خالیو اگر برای هر جفتX،YدرXوجود دارد وجود داردgدرGبه طوری که g ⋅ X = Y . به عنوان مثال، عمل گروه متقارنXمتعدی است، عملگروه خطی عمومی یا گروه خطی ویژهیک فضای برداریVروی V ∖ {0}متعدی است، اما عملگروه متعامدیک اقلیدسی فضایEروی E گذرا نیست∖ {0} (آن متعدی در است واحد حوزه از E ، هر چند).
وفادار (یامؤثر ) اگر برای هر دوgمتمایز،hدرGیکxدرXوجود داشته باشد به طوری که g ⋅ x ≠ h ⋅ x ; یا به طور معادل، اگر برای هر g ≠ e درGیکxدرXوجود داشته باشد به طوری که g ⋅ x ≠ x . به عبارت دیگر، در یک کنش گروهی وفادار، عناصر مختلفGجایگشت های متفاوتX راالقا می کنند. [a] در اصطلاح جبری، یک گروهG صادقانه روی X عمل می کند اگر و فقط اگر هم شکلی متناظر با گروه متقارن G → Sym( X ) دارای یک هسته بی اهمیت باشد . بنابراین، برای یک عمل وفادار، G تعبیه به یک گروه جایگشت در X ؛ به طور خاص، G با تصویر خود در Sym( X ) هم شکل است. اگر G صادقانه روی X عمل نکند ، می‌توانیم به راحتی گروه را تغییر دهیم تا یک عمل وفادار به دست آوریم. اگر N = { g را در G تعریف کنیم : g ⋅ x = xبرای همه ایکس در X } ، و سپس N است زیر گروه نرمال از G ؛ در واقع، آن هسته هممورفیسم G → Sym( X ) است . گروه عامل G / N عمل می کند صادقانه در X است با تنظیم ( GN ) ⋅ X = g ⋅ X . عمل اصلی G روی X وفادار است اگر و فقط اگر N = { e }. کوچک‌ترین مجموعه‌ای که می‌توان روی آن یک عمل وفادار تعریف کرد، می‌تواند برای گروه‌های هم اندازه بسیار متفاوت باشد. مثلا:
- سه گروه با اندازه 120 عبارتند از گروه متقارن S 5 ، گروه ایکوسادرال و گروه چرخه ای $\mathbb {Z} /120\mathbb {Z}$ . کوچک‌ترین مجموعه‌هایی که می‌توان روی آن‌ها اعمال وفادار تعریف کرد به ترتیب در اندازه‌های 5، 12 و 16 هستند.
- گروه های abelian با اندازه 2 نفر شامل یک گروه دوری $\mathbb {Z} /2^{n}\mathbb {Z}$ همچنین $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}$ (به ضرب مستقیم از N نسخه از $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ) اما دومی روی مجموعه ای با اندازه 2 n صادقانه عمل می کند، در حالی که اولی نمی تواند روی مجموعه ای کوچکتر از خودش صادقانه عمل کند.
آزاد (یانیمه منظمیاآزاد نقطه ثابت) اگر با توجه بهg,hدرG، وجودxدرXبا g ⋅ x = h ⋅ x دلالت بر g = h دارد . به طور معادل: اگرgیک عنصر گروه باشد و یکxدرXبا g ⋅ x = x وجود داشته باشد (یعنی اگرgحداقل یک نقطه ثابت داشته باشد)، آنگاهgهویت است توجه داشته باشید که یک عمل آزاد در مجموعه غیر خالی وفادار است.
منظم (یابه سادگی گذرا یابه شدت گذرا) اگر هم متعدی و هم آزاد باشد. این معادل این است که بگوییم برای هر دوx،yدرXدقیقاً یکgدرGوجود داردبه طوری که g ⋅ x = y . در این مورد،Xیکفضای همگن اصلیبرایGیا یکG-torsor نامیده می شود. عمل هر گروهGبر روی خودش با ضرب چپ منظم و در نتیجه وفادار است. بنابراین، هر گروه می تواند در گروه متقارن بر روی عناصر خود، Sym (G)تعبیه شود.). این نتیجه به عنوان قضیه Cayley شناخته می شود .
n - گذرا اگر X حداقل n عنصر داشته باشد، و برای همه x 1 ، ...، x n و همه متمایز y 1 ، ...، y n ، یک g در G وجود دارد به طوری که g ⋅ x k = y k برای 1 ≤ k ≤ n . یک عمل 2 انتقالی نیز نامیده می شودمضاعف گذرا ، یک عمل گذرا 3 نیزسه گذرانامیده می شود، و غیره. چنین اقداماتی کلاس های جالبی از زیر گروه ها را در گروه های متقارن تعریف می کند: گروه های2-گذراو به طور کلی گروه های متعدی ضربی. عمل گروه متقارن روی مجموعه ای باnعنصر همیشهn -گذرا است. عملگروه متناوب(n -2) - گذرا است.
اگر دقیقاً یکی از اینgوجود داشته باشد، به شدت n - گذرا است.
ابتدایی اگر گذرا باشد و هیچ پارتیشن غیر ضروریX را حفظ کند. برای جزئیات بیشتر به گروه جایگشت اولیه مراجعه کنید.
به صورت محلی آزاد اگر G یک گروه توپولوژیک است، و وجود دارد محله U از در G به طوری که محدودیت اقدام به U آزاد است؛ یعنی اگر g ⋅ x = x برای مقداری x و مقداری g در U آنگاه g = e .

علاوه بر این، اگر G روی فضای توپولوژیکی X عمل کند، عمل به صورت زیر است:

سرگردان اگر هر نقطه x در X دارای یک همسایگی U باشد به طوری که $\{g\in G:g\cdot U\cap U\neq \emptyset \}$ محدود است [3] به عنوان مثال، عمل از ${\mathbb Z}^{n}$ بر $\mathbb {R} ^{n}$ توسط ترجمه ها سرگردان است. عمل گروه مدولار در نیم صفحه پوانکاره نیز سرگردان است.
اگر X یک فضای فشرده محلی باشد و برای هر زیر مجموعه فشرده K ⊂ X مجموعه باشد، به درستی ناپیوسته است. $\{g\in G:gK\cap K\neq \emptyset \}$ محدود است اقدامات سرگردان ارائه شده در بالا نیز به درستی ناپیوسته هستند. از سوی دیگر، عمل از $\mathbb {Z}$ بر $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ داده شده توسط $n\cdot (x,y)=(2^{n}x,2^{-n}y)$ سرگردان و آزاد است اما به درستی ناپیوسته نیست. [4]
مناسب اگرGیک گروه توپولوژیک و نقشه از است $G\times X\right arrow X\times X:(g,x)\mapsto (g\cdot x,x)$ است مناسب . [5] اگر G است گسسته properness سپس معادل ناپیوستگی مناسب برای G -actions.
اگر مدار هر x در X تحت عمل G در X گسسته باشد گفته می شود که دارای مدارهای گسسته است . [3]
عمل فضا را پوشش اگر هر نقطه X در X یک محله U به طوری که $\{g\in G:g\cdot U\cap U\neq \emptyset \}=\{e\}$ . [6]

اگر X یک غیر صفر ماژول بیش از یک حلقه R و عمل G است R -Linear سپس آن گفته می شود

غیر قابل تقلیل اگر هیچ زیر مدول ثابت غیر صفر مناسب وجود دارد.

مدارها و پایدار ساز ها [ ویرایش ]

در ترکیب پنج تتراهدرا ، گروه تقارن (به دوری) گروه بیست وجهی است من از مرتبه 60، در حالی که پایدار ساز از چهار ضلعی تنها انتخاب (دوری) است چهار ضلعی گروه T از مرتبه 12 و فضا در مدار من / T ( از مرتبه 60/12 = 5) به طور طبیعی با 5 چهار وجهی مشخص می شود - coset gT مربوط به چهار ضلعی است که g چهار وجهی انتخابی را به آن می فرستد.

گروه G را در نظر بگیرید که بر روی یک مجموعه X عمل می کند . درمدار یک عنصرxدرXمجموعه ای از عناصر درX است کهx رامی توان با عناصرG بهآنها منتقل کرد. مدارxبا نشان داده می شود $G\cdot x$ :

$G\cdot x=\{g\cdot x:g\in G\}.$

خواص تعریف تضمین گروه که مجموعه ای از مدار (نقاط X در) X تحت عمل G به صورت یک پارتیشن از X . رابطه هم ارزی مرتبط با گفتن تعریف می شود $x\sim y$ اگر و فقط اگر g در G وجود داشته باشد با $g\cdot x=y.$ سپس مدارها طبقات هم ارزی تحت این رابطه هستند. دو عنصر x و y معادل هستند اگر و فقط در صورتی که مدار آنها یکسان باشد، یعنی $G\cdot x=G\cdot y.$

عمل گروهی گذرا است اگر و فقط اگر دقیقاً یک مدار داشته باشد، یعنی اگر x در X وجود داشته باشد با $G\cdot x=X.$ اگر و فقط اگر چنین است $G\cdot x=X$ برای تمام x در X (با توجه به اینکه X خالی نیست).

مجموعه تمام مدارهای X تحت عمل G به صورت X / G (یا کمتر: G \ X ) نوشته می شود و به نام ضریب عمل در موقعیت های هندسی ممکن است به آن گفته شودفضای مداری ، در حالی که در موقعیت های جبری ممکن است فضای مدار نامیده شودمتغیرها و نوشته شده است $X_{G}،$ بر خلاف متغیرها (نقاط ثابت) که X G نشان داده می شود : متغیرهای متغیر یک ضریب هستند در حالی که متغیرها یک زیر مجموعه هستند . اصطلاحات و نمادهای متغیر به ویژه در هم‌ شناسی گروهی و همسانی گروهی استفاده می‌شود که از قرارداد فوق‌نویس/زیرنویس استفاده می‌کنند.

زیر مجموعه های ثابت [ ویرایش ]

اگر Y است زیر مجموعه از X ، پس از آن $G\cdot Y$ مجموعه را نشان می دهد $\{g\cdot y:g\in G{\text{ و }}y\in Y\}.$ زیر مجموعه Y است گفته می شود ثابت تحت G اگر $G\cdot Y=Y$ (که معادل است $G\cdot Y\subsetq Y$ ). در آن صورت، G نیز با محدود کردن عمل به Y روی Y عمل می‌کند . زیر مجموعه Y تحت G ثابت نامیده می شود اگر $g\cdot y=y$ برای همه g در G و Y در Y . هر زیر مجموعه که در زیر ثابت G است ثابت تحت G ، اما نه برعکس.

هر مدار یک زیرمجموعه ثابت از X است که G به صورت گذرا بر روی آن عمل می کند . برعکس، هر زیرمجموعه ثابت X ، اتحادیه ای از مدارها است. عمل G در X است متعدی اگر و تنها اگر تمام عناصر با هم معادل هستند، به این معنی است که تنها یک مدار وجود دارد.

یک عنصر G-ناهمورد X است $x\در X$ به طوری که $g\cdot x=x$ برای همه $g\in G.$ مجموعه همه x نشان داده می شود $X_{G}$ و به نام G-ویژگیهای از X . هنگامی که X است G -مدول ، X G صفر است های کوهومولوؤی گروه از G با ضرایب در X ، و گروه های کوهومولوؤی بالاتر هستند تابعگر مشتق شده از عمل کننده از G -ناهموردها.

نقاط ثابت و زیرگروه های پایدار ساز [ ویرایش ]

با توجه به g در G و X در X با $g\cdot x=x,$ گفته می شود که " X یک نقطه ثابت از g " یا این که " g رفع X ". برای هر x در X ،زیر گروه پایدار ساز ازGبا توجه بهX(همچنین به نامگروه همسانی و یاگروه کوچک [7] ) مجموعه ای از تمام عناصر در استGکه ثابتX:

$G_{x}=\{g\in G:g\cdot x=x\}.$

این یک زیر گروه از G است ، اگرچه معمولاً یک گروه عادی نیست. عمل G در X است آزاد اگر و تنها اگر تمام پایدار ساز و بی اهمیت. هسته N هممورفیسم با گروه متقارن، $G\to \operatorname {Sym} (X)،$ با اشتراک پایدار ساز ها G x برای همه x در X داده می شود . اگر N بی اهمیت باشد، گفته می شود که عمل وفادار (یا مؤثر) است.

اجازه دهید x و y دو عنصر در X باشند ، و اجازه دهید $g$ یک عنصر گروهی باشد به طوری که $y=g\cdot x.$ سپس دو گروه پایدار ساز $G_{x}$ و $G_y$ مرتبط هستند توسط $G_{y}=gG_{x}g^{-1}.$ اثبات: طبق تعریف، $h\in G_{y}$ اگر و تنها اگر $h\cdot (g\cdot x)=g\cdot x.$ اعمال کردن $g^{-1}$ به هر دو طرف این برابری بازده $\left(g^{-1}hg\right)\cdot x=x;$ به این معنا که، $g^{-1}hg\in G_{x}.$ یک شمول متضاد به طور مشابه با گرفتن دنبال می شود $h\in G_{x}$ و با فرض $x=g^{-1}\cdot y.$

موارد فوق می گوید که پایدار ساز های عناصر در یک مدار با یکدیگر مزدوج هستند . بنابراین، به هر مدار، ما می توانیم یک ارتباط کلاس مزدوج از یک زیر گروه از G (این است که، مجموعه ای از تمام ترکیبات از زیر گروه). اجازه دهید $(H)$ کلاس مزدوج H را نشان می دهد . سپس مدار O دارای نوع است $(H)$ اگر پایدار ساز $G_{x}$ از برخی/هر x در O متعلق به $(H)$ . یک نوع مدار حداکثر اغلب یک نوع مدار اصلی نامیده می شود .

+ نوشته شده در شنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۰ ساعت 2:43 توسط علی رضا نقش نیلچی |

عمل گروه 1

ساختار جبری ← نظریه گروه نظریه گروه

نشان دادن مفاهیم اساسی
نشان دادن گروه های متناهی
نشان دادن گروه های گسسته مشبک ها
نشان دادن گروه های توپولوژیکی و لی
نشان دادن گروه های جبری
v تی ه

گروه دوری C 3 متشکل از چرخش توسط 0 درجه، 120 درجه و 240 درجه سانتی در مجموعه ای از سه راس عمل می کند.

در ریاضیات ، یک عمل گروه در فضای یک همریخت گروه یک با توجه به گروه به گروهی از تحولات از فضا. به طور مشابه، یک عمل گروهی بر روی یک ساختار ریاضی ، هم شکلی گروهی یک گروه به گروه خودمورفیسم ساختار است. گفته شده است که این گروه عمل می کند در فضا و یا ساختار. اگر گروهی بر روی یک سازه عمل کند، معمولاً روی اشیاء ساخته شده از آن سازه نیز عمل می کند. به عنوان مثال، گروه ایزومتریک های اقلیدسی روی فضای اقلیدسی عمل می کنندو همچنین روی شکل های ترسیم شده در آن. به طور خاص، روی مجموعه همه مثلث ها عمل می کند . به همین ترتیب، گروه تقارن های چند وجهی روی رئوس ، یال ها و وجوه چند وجهی عمل می کند.

عمل گروهی در یک فضای برداری (بعد متناهی) نمایش گروه نامیده می شود . این اجازه می دهد تا شناسایی گروه های بسیاری با زیر گروه از GL ( N ، K ) ، گروه از ماتریس وارون از ابعاد N بیش از یک زمینه K .

گروه متقارن S n با جابجایی عناصر مجموعه روی هر مجموعه ای با n عنصر عمل می کند . اگرچه گروه همه جایگشت های یک مجموعه به طور رسمی به مجموعه بستگی دارد، مفهوم کنش گروهی به فرد اجازه می دهد تا یک گروه واحد را برای مطالعه جایگشت های همه مجموعه ها با کاردینالیتی یکسان در نظر بگیریم .

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

عملکرد گروه چپ [ ویرایش ]

اگر G گروهی با عنصر همانی e و X یک مجموعه است، آنگاه یک عمل گروهی ( سمت چپ ) α از G روی X یک تابع است.

$\alpha \colon G\times X\to X,$

که دو اصل زیر را برآورده می کند: [1]


شرکت پذیری:	$\alpha \left(g,\alpha \left(h,x\right)\right)=\alpha \left(gh,x\right)$

(با α ( g , x ) که اغلب به gx یا g ⋅ x کوتاه می شود، زمانی که عمل در نظر گرفته شده از متن مشخص باشد):

همانی:	$e\cdot x=x$
شرکت پذیری:	$g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x$

برای همه g و h در G و X در X .

گفته می شود که گروه G روی X (از سمت چپ) عمل می کند. مجموعه ای X همراه با یک عمل G نامیده می شود ( چپ ) G - مجموعه ای .

از این دو اصل، نتیجه می‌شود که برای هر g ثابت در G ، تابعی از X به خودش که x را به g ⋅ x ترسیم می‌کند، یک دوسویی است، با دوسویی معکوس، نقشه مربوط به g -1 است . بنابراین، می‌توان یک عمل گروهی از G روی X را به‌عنوان یک هم‌مورفیسم گروهی از G به گروه متقارن Sym( X ) از تمام دوسوییها از X به خودش تعریف کرد. [2]

عمل گروهی درست [ ویرایش ]

به همین ترتیب، عمل گروه راست از G در X یک تابع است

$\alpha \colon X\times G\to X,$

(با α ( x ، g ) اغلب به xg یا x ⋅ g کوتاه می شود، زمانی که عمل در نظر گرفته شده از متن مشخص باشد)

که بدیهیات مشابه را برآورده می کند:

همانی:	$x\cdot e=x$
شرکت پذیری:	$(x\cdot g)\cdot h=x\cdot (gh)$

برای همه g و h در G و X در X .

تفاوت بین عملکردهای چپ و راست در ترتیبی است که یک ضرب gh روی x عمل می کند . برای یک عمل سمت چپ، h ابتدا عمل می کند، سپس g دوم عمل می کند. برای یک عمل درست، g اول عمل می کند و بعد از آن h دوم. به دلیل فرمول ( gh ) -1 = h -1 g -1 ، یک عمل چپ را می توان با ترکیب کردن با عملیات معکوس گروه از یک عمل راست ساخت. همچنین، یک عمل راست گروه G بر روی X را می توان به عنوان عمل چپ گروه مخالف آن G op on در نظر گرفتX .

بنابراین، برای ایجاد ویژگی‌های کلی عملهای گروهی، کافی است فقط اعمال چپ را در نظر بگیریم. با این حال، مواردی وجود دارد که این امکان وجود ندارد. به عنوان مثال، ضرب یک گروه هم یک عمل چپ و هم یک عمل راست را در خود گروه القا می کند - به ترتیب ضرب در چپ و راست.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Group_action

+ نوشته شده در شنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۰ ساعت 2:42 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال 1:فضای خارج قسمتی

+ نوشته شده در جمعه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۰ ساعت 8:5 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال: همتوپی مسیرها

Homotopy of paths

% Homotopy of paths
% Author: Alain Matthes
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,calc,shapes,decorations.pathreplacing}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\node at (0,0) {$F : I \times I \rightarrow X$};
\node[label=below:$x_1$] (x1) at (6,0) {$\bullet$};
\node[label=above:$x_0$] (x0) at (9,4) {$\bullet$};
\node at (9.5,2) {$\subset X$};
\draw (x1.center) to [out=5,in=-90]++(2.8,1.8) to[out=90,in=-95](x0.center);
\draw (x1.center) to [out=10,in=-110]++(2.6,2) to[out=70,in=-103](x0.center);
\draw (x1.center) to [out=15,in=-105](x0.center);
\draw (x1.center) to [out=30,in=-150](x0.center);
\draw (x1.center) to [out=45,in=-170](x0.center);
\draw (x1.center) to [out=50,in=-105]++(1.2,3)to [out=75,in=-172](x0.center);
\draw (x1.center) to [out=55,in=-100]++(1.0,3) to[out=80,in=-175](x0.center);
\draw (x1.center) to [out=60,in=-90]++(0.8,3) to[out=90,in=-180] (x0.center);
\begin{scope}[every node/.style={draw, anchor=text, rectangle split,
rectangle split parts=7,minimum width=2cm}]
\node (R) at (2,4){ \nodepart{two} \nodepart{three}
\nodepart{four}$I\times I$\nodepart{five}\nodepart{six}\nodepart{seven}};
\end{scope}
\draw[decorate,decoration={brace,mirror,raise=6pt,amplitude=10pt}, thick]
(R.north west)--(R.south west) ;
\draw[decorate,decoration={brace,raise=6pt,amplitude=10pt}, thick]
(R.north east)--(R.south east);
\draw[->] ($(R.west)+(-20pt,0)$) to[out=-180,in=240] ++(0,2)
to [out=60,in=120]node[above,midway]{$F(0,t_2)$}(x0) ;
\draw[->] ($(R.north)+(0,10pt)$) to [out=60,in=120]

node[above,midway]{$\beta \simeq \alpha$} ++(4.5,-1) ;
\draw[->] ($(R.east)+(20pt,0)$) to [out=0,in=140]
node[right,midway]{$F(1,t_2)$}(x1) ;
\draw[->] ($(R.south)+(0,-20pt)$) to [out=-85,in=-30]
node[below,midway]{$\alpha$}++(7,0) ;
\end{tikzpicture}
\end{document}

منبع
https://texample.net/tikz/examples/homotopy/

+ نوشته شده در جمعه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۰ ساعت 7:25 توسط علی رضا نقش نیلچی |

گروه هموتوپی

ورودی های تعاملی > گیف های متحرک >

مشارکت کنندگان MathWorld > بودنی >

مشارکت کنندگان MathWorld > رولند، تاد >

گروه هموتوپی

گروه‌های هموتوپی، گروه بنیادی را به نگاشت‌هایی از کره‌های ابعاد بالاتر، به جای دایره، تعمیم می‌دهند . گروه هوموتوپی ام یک فضای توپولوژیک مجموعه ای از است کلاس های هموتوپی از نگاشت از کره چند-کره به ، با یک گروه ساختار و نشان داده است . گروه اساسی است ، و به عنوان در مورد ، نگاشت باید از طریق یک پاس نقطه پایه . زیرا گروه هموتوپی یک گروه آبلی است .

نقشه برداری از استوا بر روی نقطه پایه

عملیات گروه به عنوان ساده به عنوان کسانی که برای نه گروه اساسی . دو نگاشت و را در نظر بگیرید که از آن عبور می کنند . حاصلضرب با نگاشت استوا به نقطه مبنا به دست می آید . سپس نیمکره شمالی با فروریختن خط استوا به یک نقطه به کره نگاشت می شود و سپس با نگاشت به کره نگاشت می شود . نیمکره جنوبی نیز به طور مشابه توسط . نمودار بالا حاصل ضرب دو کره را نشان می دهد.

نقشه هوموتوپی به هویت

عنصر همانی با نگاشت ثابت نشان داده می شود . انتخاب جهت یک حلقه در گروه اساسی مربوط به یک جهت گیری چند برابر از در یک گروه هوموتوپی. بنابراین معکوس یک نگاشت با تغییر جهت برای کره به دست می آید. با توصیف کره در مختصات، تغییر مختصات اول و دوم جهت کره را تغییر می دهد. یا به عنوان یک ابرسطح ، جهت سوئیچینگ نقش های درون و بیرون را معکوس می کند. نمودار بالا نشان می‌دهد که نسبت به نگاشت ثابت، یعنی همانی، هموتوپیک است. با گسترش استوا به داخل شروع می شود و سپس نگاشت حاصل به نقطه پایه منقبض می شود .

هموتوپی مستقل از نقطه پایه است

همانند گروه بنیادی , گروه های هموتوپی به انتخاب نقطه پایه بستگی ندارند . اما گروه های هموتوپی بالاتر همیشه آبلی هستند . نمودار بالا نمونه ای از . نقطه پایه ثابت است، و از آنجا که نگاشت را می توان چرخش داد. هنگامی که ، به عنوان مثال، گروه بنیادی ، غیرممکن است که نگاشت را با ثابت نگه داشتن نقطه پایه بچرخانید .

فضایی با برای هر همبند- نامیده می شود . اگر است متصل، ، پس از آن همریخت هرویکز از گروه TH-هموتوپی به گروه TH-همسانی یک IS ریخت .

هنگامی که یک نگاشت پیوسته است ، سپس با گرفتن تصاویر زیر کره ها در تعریف می شود . فشار فوروارد طبیعی است، یعنی هر زمان که ترکیب دو نگاشت تعریف شود. در واقع، با توجه به فیبراسیون ،

جایی که در مسیر متصل است ، یک توالی دقیق طولانی از گروه های هموتوپی وجود دارد

منبع

https://mathworld.wolfram.com/HomotopyGroup.html

+ نوشته شده در پنجشنبه بیست و هفتم آبان ۱۴۰۰ ساعت 14:45 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مثال از هوموتی

File:Mug and Torus morph.gif - Wikipedia

+ نوشته شده در پنجشنبه بیست و هفتم آبان ۱۴۰۰ ساعت 13:15 توسط علی رضا نقش نیلچی |

هوموتوپیک

اگر بتوان یکی از آنها را به طور پیوسته به دیگری تغییر شکل داد، به دو جسم ریاضی همتوپی گفته می شود. به عنوان مثال، خط واقعی برای یک نقطه هموتوپیک است، مانند هر درخت . با این حال، دایره قابل انقباض نیست ، اما به یک چنبره جامد همتوپیک است. نسخه اصلی هموتوپی بین نقشه ها است. دو نقشه و در صورت وجود نقشه پیوسته همتوپیک هستند

طوری که و .

همتوپی بودن یا نبودن دو زیر مجموعه به فضای محیط بستگی دارد. به عنوان مثال، در صفحه، دایره واحد تا یک نقطه همتوپیک است، اما در صفحه سوراخ شده نیست . سوراخ شدن را می توان به عنوان یک مانع در نظر گرفت.

با این حال، راهی برای مقایسه دو فضا از طریق هموتوپی بدون فضاهای محیطی وجود دارد. دو فضای و می هوموتوپی معادل اگر نقشه ها وجود دارد و به طوری که ترکیب هوموتوپیک است به نقشه هویت از و هوموتوپیک است به نقشه هویت از . به عنوان مثال، دایره تا یک نقطه همتوپیک نیست، زیرا در این صورت نقشه ثابت برای نقشه هویت یک دایره همتوپیک خواهد بود، که غیرممکن است زیرا آنها درجات بروور متفاوتی دارند .

+ نوشته شده در پنجشنبه بیست و هفتم آبان ۱۴۰۰ ساعت 13:12 توسط علی رضا نقش نیلچی |

هم ضرب

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله در مورد هم ضرب در دسته ها است. برای "هم ضرب" به معنای ضرب، به هم جبر مراجعه کنید

در نظریه رسته ها از هم ضرب ، یا مجموع طبقه ، ساخت و ساز است که به عنوان نمونه شامل است مجزای از مجموعه و از فضاهای توپولوژیک از ضرب آزاد از گروه و جمع مستقیم از مدول و فضاهای برداری . همضرب یک خانواده از اشیاء اساساً شیء "کمترین خاص" است که هر شیء در خانواده به آن یک همریختی را می پذیرد . این مفهوم دوگانه مقوله-نظری به ضرب مقوله ای است، به این معنی که تعریف همان ضرب است اما همه فلش ها برعکس است. علیرغم این تغییر ظاهراً بی ضرر در نام و نماد، هم ضرب می توانند به طور چشمگیری با ضرب متفاوت باشند و معمولاً متفاوت هستند.

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

اجازه دهید $سی$ یک دسته باشد و بگذار $X_{1}$ و $X_{2}$ اشیاء باشد $C.$ به یک شیء همضرب می گویند $X_{1}$ و $X_{2}،$ نوشته شده است $X_{1}\coprod X_{2}،$ یا $X_{1}\plus X_{2}،$ یا گاهی اوقات به سادگی $X_{1}+X_{2}،$ در صورت وجود همریختی $i_{1}:X_{1}\to X_{1}\coprod X_{2}$ و $i_{2}:X_{2}\to X_{1}\coprod X_{2}$ ارضای ویژگی جهانی زیر : برای هر شی $Y$ و هرگونه همریختی $f_{1}:X_{1}\to Y$ و $f_{2}:X_{2}\to Y,$ یک همریختی منحصر به فرد وجود دارد $f:X_{1}\coprod X_{2}\to Y$ به طوری که $f_{1}=f\circ i_{1}$ و $f_{2}=f\circ i_{2}.$ یعنی نمودار زیر رفت و آمد می کند :

پیکان بی نظیر $f$ ساخت این نمودار رفت و آمد ممکن است نشان داده شود $f_{1}\coprod f_{2},$ $f_{1}\plus f_{2},$ $f_{1}+f_{2}،$ یا $\left[f_{1},f_{2}\right].$ همریختی ها $i_{1}$ و $i_{2}$ تزریقات متعارف نامیده می شوند ، اگرچه نیازی به تزریق یا حتی مونیک ندارند .

تعریف یک همضرب را می توان به یک خانواده دلخواه از اشیاء که توسط یک مجموعه نمایه می شود، تعمیم داد $J.$ همضرب خانواده $\left\{X_{j}:j\in J\right\}$ یک شی است $ایکس$ همراه با مجموعه ای از همریختی ها $i_{j}:X_{j}\to X$ به طوری که برای هر شی $Y$ و هر مجموعه ای از همریختی ها $f_{j}:X_{j}\to Y$ یک همریختی منحصر به فرد وجود دارد $f:X\ به Y$ به طوری که $f_{j}=f\circ i_{j}.$ یعنی نمودار زیر برای هر کدام رفت و آمد دارد $j\in J$ :

همضرب $ایکس$ از خانواده $\left\{X_{j}\right\}$ اغلب نشان داده می شود $\coprod _{j\in J}X_{j}$ یا $\bigoplus _{j\in J}X_{j}.$

گاهی همریختی $f:X\ به Y$ ممکن است نشان داده شود $\coprod _{j\in J}f_{j}$ برای نشان دادن وابستگی آن به فرد $f_{j}$ س

مثالها [ ویرایش ]

هم ضرب در دسته از مجموعه است که به سادگی مجزای با همریختی من J بودن همریختی گنجاندن . برخلاف ضرب مستقیم ، هم ضرب در سایر دسته ها به وضوح مبتنی بر مفهوم مجموعه نیستند، زیرا اتحادیه ها در رابطه با حفظ عملیات رفتار خوبی ندارند (مثلاً اتحادیه دو گروه نیازی به یک گروه نداشته باشد)، و بنابراین هم ضرب در موارد مختلف دسته بندی ها می توانند به طور چشمگیری با یکدیگر متفاوت باشند. به عنوان مثال، همضرب در دسته گروه ها ، به نام ضرب آزاد ، بسیار پیچیده است. از سوی دیگر، در دسته گروه های آبلی (و به طور مساوی برای فضاهای برداریحاصلضرب، که مجموع مستقیم نامیده می شود ، از عناصر حاصلضرب مستقیم تشکیل شده است که فقط تعداد متناهی بسیاری از جمله های غیر صفر دارند. (بنابراین در مورد عوامل بسیار محدود دقیقاً با ضرب مستقیم منطبق است.)

با توجه به حلقه جابجایی R از هم ضرب در دسته از جابجایی R جبری است ضرب تانسور . در دسته از (غیر مبادلهای) R جبری از هم ضرب خارج قسمت جبر تانسور ببینید ( ضرب آزاد جبری انجمنی ).

در مورد فضاهای توپولوژیکی، هم ضرب اتحادیه‌های منفصل با توپولوژی‌های اتحاد ناهمگون آنها هستند . به این معنا که این یک اتحاد ناپیوسته از مجموعه های زیرین است و مجموعه های باز مجموعه های باز در هر یک از فضاها هستند ، به معنای نسبتاً آشکار. در مقوله فضاهای نوک تیز ، که در نظریه هموتوپی اساسی است ، همضرب حاصل جمع گوه است (که معادل به هم پیوستن مجموعه ای از فضاها با نقاط پایه در یک نقطه پایه مشترک است).

علیرغم تمام این تفاوت ها، هنوز در دل همه چیز، یک اتحاد ناهمگون وجود دارد: مجموع مستقیم گروه های آبلی، گروهی است که توسط اتحادیه "تقریبا" ناهمگون (اتحاد ناهمگون همه عناصر غیر صفر، همراه با یک مشترک مشترک ایجاد می شود. صفر)، به طور مشابه برای فضاهای برداری: فضایی که توسط اتحادیه متمایز "تقریبا" پوشانده شده است. ضرب آزاد برای گروه‌ها توسط مجموعه تمام حروف از یک اتحادیه مشابه «تقریباً غیرمجاز» تولید می‌شود که در آن هیچ دو عنصر از مجموعه‌های مختلف اجازه جابجایی ندارند.

همضرب یک دسته هم مجموعه عملیات اتصال است.

بحث [ ویرایش ]

ساختار هم ضرب ارائه شده در بالا در واقع یک مورد خاص از یک هم حد در نظریه دسته بندی است. همضرب در یک دسته $سی$ می تواند به عنوان هم حد هر تعریف عمل کننده از یک دسته گسسته $جی$ به $سی$ . نه هر خانواده ای $\lbrace X_{j}\rbrace$ به طور کلی یک همضرب خواهد داشت، اما اگر داشته باشد، پس همضرب به معنای قوی منحصر به فرد است: اگر $i_{j}:X_{j}\rightarrow X$ و $k_{j}:X_{j}\arrow Y$ دو همضرب خانواده هستند $\lbrace X_{j}\rbrace$ ، پس (با تعریف هم ضرب) یک هم ریختی منحصر به فرد وجود دارد $f:X\فلش راست Y$ به طوری که $f\circ i_{j}=k_{j}$ برای هر $j\in J$ .

مانند هر ویژگی جهانی ، همضرب را می توان به عنوان یک همریختی جهانی درک کرد. اجازه دهید $\Delta :C\right arrow C\times C$ تابع قطری باشد که به هر شی اختصاص می دهد $ایکس$ زوج مرتب $\left(X,X\right)$ و به هر همریختی $f : X\ فلش راست Y$ جفت $\left(f,f\right)$ . سپس همضرب $X+Y$ که در $سی$ توسط یک همریختی جهانی به تابع داده می شود $\ دلتا$ از شی $\left(X,Y\right)$ که در $C\times C$ .

همضرب نمایه شده توسط مجموعه خالی (یعنی یک همضرب خالی ) مانند یک شی اولیه در $سی$ .

اگر $جی$ مجموعه ای است به گونه ای که تمام هم ضرب برای خانواده ها نمایه می شود $جی$ وجود داشته باشد، پس می توان ضرب را به شیوه ای سازگار انتخاب کرد تا همضرب به یک تابع تبدیل شود $C^{J}\right arrow C$ . همضرب خانواده $\lbrace X_{j}\rbrace$ سپس اغلب با نشان داده می شود

$\coprod _{j\in J}X_{j}$

و همریختی ها $i_j$ به عنوان تزریق طبیعی شناخته می شوند .

اجازه دادن $\operatorname {Hom} _{C}\left(U,V\right)$ مجموعه ای از تمام همریختی ها را نشان می دهد $U$ به $V$ که در $سی$ (یعنی یک هوم ست در $سی$ ) یک ایزوهمریختی طبیعی داریم

$\operatorname{Hom}_C\left(\coprod_{j\in J}X_j,Y\right) \cong \prod_{j\in J}\operatorname{Hom}_C(X_j,Y)$

داده شده توسط پوشا و یکبهیک که همریختی هر تاپل از همریختی ها

$(f_j)_{j\in J} \in \prod_{j \in J}\operatorname{Hom}(X_j,Y)$

(ضرب در مجموعه ، مقوله مجموعه ها ، که حاصلضرب دکارتی است ، پس چند شکلی است) به همریختی

$\coprod_{j\in J} f_j \in \operatorname{Hom}\left(\coprod_{j\in J}X_j,Y\راست).$

این که این همریختی یک پیش‌بینی است، از جابه‌جایی نمودار نتیجه می‌شود: هر شکل‌سازی $f$ همضرب تاپل است

$(f\circ i_j)_{j \in J}.$

اینکه این یک تزریق است، از ساختار جهانی که منحصر به فرد بودن چنین همریختی هایی را مشخص می کند، ناشی می شود. طبیعی بودن ایزوهمریختی نیز از پیامدهای نمودار است. بنابراین هوم فانککتور متضاد، هم ضرب را به ضرب تغییر می دهد. روش دیگری بیان شد، هم کارکرد، که به عنوان عاملی از دسته مقابل در نظر گرفته می شود $C^{\operatorname {op} }$ به تنظیم پیوسته است. محدودیت ها را حفظ می کند (یک همضرب در $سی$ ضربی است در $C^{\operatorname {op} }$ ).

اگر $جی$ یک مجموعه متناهی است ، بگویید $J=\lbrace 1,\ldots,n\rbrace$ ، سپس همضرب اشیاء $X_{1}،\ldots،X_{n}$ اغلب با نشان داده می شود $X_{1}\oplus \ldots \oplus X_{n}$ . فرض کنید همه هم ضربs محدود در وجود C ، تابعگر ها هم ضرب اند همانطور که در بالا انتخاب شده است، و 0 نشان دهنده جسم اولیه از C مربوط به هم ضرب خالی است. پس ما یکریخت طبیعی داریم

$X\oplus (Y \oplus Z)\cong (X\plus Y)\plus Z\cong X\oplus Y\plus Z$

$X\plus 0 \cong 0\plus X \cong X$

$X\oplus Y \cong Y\plus X.$

این ویژگی ها به طور رسمی شبیه به ویژگی های یک مونوئید جابجایی هستند . یک دسته با هم ضرب محدود نمونه ای از یک دسته متقارن متقارن است .

اگر دسته دارای یک شی صفر باشد $ز$ ، سپس ما یک همریختی منحصر به فرد داریم $X\arrow Z$ (از آنجا که $ز$ است ترمینال ) و بدین ترتیب همریختی $X\oplus Y\right arrow Z\plus Y$ . از آنجا که $ز$ همچنین اولیه است، ما یک یکریختی متعارف داریم $Z\oplus Y\cong Y$ مانند پاراگراف قبل بنابراین ما همریختی داریم $X\plus Y\راست فلش X$ و $X\plus Y\arrow Y$ ، که توسط آن یک همریختی متعارف را استنباط می کنیم $X\oplus Y\راست فلش X\times Y$ . این ممکن است با القاء به یک همریختی متعارف از هر همضرب محدود به ضرب مربوطه گسترش یابد. این همریختی به طور کلی لازم نیست یک یکریختی باشد. در دورهای آن مناسب است بروریختی در حالی که در مجموعه * (این دسته از مجموعه اشاره کرد ) آن مناسب است تکریختی . در هر مقوله پيشافزاينده اي ، اين مورفيسم يك یکریختی است و جسم مربوطه به عنوان دو ضرب شناخته مي شود . دسته ای با همه دو ضرب محدود به عنوان دسته نیمه افزودنی شناخته می شود .

اگر همه

خانواده‌های اشیاء توسط $جی$ هم ضرب در $سی$ ، سپس همضرب از یک تابع تشکیل شده است $C^{J}\right arrow C$ . توجه داشته باشید که مانند ضرب، این تابع نیز کوواریانت است .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

+ نوشته شده در پنجشنبه بیست و هفتم آبان ۱۴۰۰ ساعت 2:26 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ضرب مستقیم

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، اغلب می توان یک ضرب مستقیم از اشیاء از قبل شناخته شده را تعریف کرد و یک ضرب جدید ارائه داد. این امر، حاصلضرب دکارتی مجموعه‌های زیربنایی را به همراه ساختاری که به طور مناسب تعریف شده روی مجموعه ضرب تعمیم می‌دهد . به طور انتزاعی تر، در مورد ضرب در نظریه دسته صحبت می شود که این مفاهیم را رسمیت می بخشد.

به عنوان مثال، حاصل ضرب مجموعه ها، گروه ها (توضیح داده شده در زیر)، حلقه ها و دیگر ساختارهای جبری هستند . ضرب از فضاهای توپولوژیک به عنوان مثال دیگری است. [ مشکوک - بحث ]

جمع مستقیم نیز وجود دارد - در برخی مناطق این به جای یکدیگر استفاده می شود، در حالی که در برخی دیگر مفهوم متفاوتی است.

فهرست

مثالها [ ویرایش ]

اگر فکر کنیم $\mathbb {R}$ به عنوان مجموعه اعداد حقیقی، سپس حاصلضرب مستقیم $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ فقط ضرب دکارتی است $\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}$ .
اگر فکر کنیم $\mathbb {R}$ به عنوان گروه اعداد حقیقی تحت جمع، سپس حاصلضرب مستقیم $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ هنوز دارد $\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}$ به عنوان مجموعه زیربنایی آن تفاوت بین این و مثال قبل در این است $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ اکنون یک گروه است، و بنابراین باید نحوه اضافه کردن عناصر آنها را نیز بگوییم. این کار با تعریف انجام می شود $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ .
اگر فکر کنیم $\mathbb {R}$ به عنوان حلقه اعداد حقیقی، سپس حاصلضرب مستقیم $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ دوباره دارد $\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}$ به عنوان مجموعه زیربنایی آن حلقه ساختار حلقه شامل اضافه تعریف شده توسط $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ و ضرب تعریف شده توسط $(a,b)(c,d)=(ac,bd)$ .
با این حال، اگر فکر کنیم $\mathbb {R}$ به عنوان میدان اعداد حقیقی، سپس حاصلضرب مستقیم $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ وجود ندارد - تعریف ساده و ساده جمع و ضرب در مولفه مانند مثال بالا منجر به ایجاد یک فیلد نمی شود زیرا عنصر $(1,0)$ یک ندارد وارون ضربی .

به روشی مشابه، ما می توانیم در مورد حاصلضرب مستقیم ساختارهای جبری بسیار متناهی صحبت کنیم، به عنوان مثال $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ . این به این حقیقیت بستگی دارد که ضرب مستقیم تا یکریختی تداعی کننده است . به این معنا که، ${\splaystyle (A\times B)\times C\cong A\times (B\ بار C)}$ برای هر ساختار جبری $آ$ ، $ب$ ، و $سی$ از همان نوع ضرب مستقیم نیز جابجایی تا یکریختی، یعنی $A\times B\cong B\times A$ برای هر ساختار جبری $آ$ و $ب$ از همان نوع ما حتی می توانیم در مورد حاصل ضرب مستقیم ساختارهای جبری بی نهایت صحبت کنیم. برای مثال می‌توانیم ضرب مستقیم تعداد زیادی کپی از آن را در نظر بگیریم $\mathbb {R}$ ، که به صورت می نویسیم $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dotsb$ .

ضرب مستقیم گروه [ ویرایش ]

مقاله اصلی: ضرب مستقیم گروه ها

در تئوری گروه می توان حاصل ضرب مستقیم دو گروه ( G , ∘) و ( H , ∙) را که با G × H نشان داده می شود تعریف کرد . برای گروه های آبلی که به صورت جمعی نوشته می شوند، می توان آن را مجموع مستقیم دو گروه نیز نامید که با نشان داده می شود. $G\plus H$ .

به صورت زیر تعریف می شود:

مجموعه ای از عناصر این گروه جدید است ضرب دکارتی از مجموعه ای از عناصر از G و H ، این است که {( g ، h ): g ∈ G ، h ∈ H }؛
روی این عناصر عملیاتی را که از نظر عنصر تعریف شده است قرار دهید:
( g , h ) × ( g ' , h ' ) = ( g ∘ g ' , h ∙ h ' )

(توجه داشته باشید که ( G ، ∘) ممکن است با ( H ، ∙) یکسان باشد )

این ساخت و ساز یک گروه جدید می دهد. دارای یک زیرگروه نرمال یکریخت به G (که توسط عناصر شکل ( g ، 1) داده می شود)، و یک یکریخت به H (شامل عناصر (1، h )).

عکس این قضیه نیز صادق است، قضیه تشخیص زیر وجود دارد: اگر یک گروه K شامل دو زیرگروه نرمال G و H باشد ، به طوری که K = GH و اشتراک G و H فقط شامل هویت باشد، K به G × H یکریخت است . آرام شدن این شرایط، که نیاز به نرمال بودن تنها یک زیرگروه دارد، ضرب نیمه مستقیم را می دهد .

به عنوان مثال، دو نسخه از گروه منحصر به فرد (تا یکریختی ها) مرتبه 2، C 2 را به عنوان G و H در نظر بگیرید : مثلاً {1, a } و {1, b }. سپس C 2 × C 2 = {(1,1), (1, b ), ( a ,1), ( a , b )} با عنصر عملیات عنصر به عنصر. به عنوان مثال، (1، b )*( a ،1) = (1* a ، b *1) = ( a ، b )، و (1، b )*(1، b ) = (1، b 2) = (1،1).

با یک ضرب مستقیم، ما برخی از همریختی‌های گروهی طبیعی را به صورت آزاد دریافت می‌کنیم : نقشه‌های طرح‌ریزی که توسط تعریف می‌شوند

${\begin{aligned}\pi _{1}:G\times H\to G,\ \ \pi _{1}(g,h)&=g\\\pi _{2}:G \بار H\ به H،\ \ \pi _{2}(g,h)&=h\end{تراز شده}}$

توابع مختصات نامیده می شود .

همچنین، هر همریختی f نسبت به ضرب مستقیم کاملاً توسط توابع مؤلفه آن تعیین می شود $f_{i}=\pi _{i}\circ f$ .

برای هر گروه ( G ، ∘) و هر عدد صحیح N ≥ 0، استفاده مکرر از ضرب مستقیم این گروه از همه می دهد N - تاپل G N (برای N = 0 ما از گروه بدیهی )، برای مثال Z N و R N .

ضرب مستقیم مدول ها [ ویرایش ]

حاصلضرب مستقیم برای مدول ها (نباید با حاصل ضرب تانسور اشتباه شود ) بسیار شبیه به چیزی است که برای گروه های بالا تعریف شده است، با استفاده از حاصلضرب دکارتی با عمل جمع به صورت مؤلفه، و ضرب اسکالر فقط بر روی همه مؤلفه ها توزیع می شود. با شروع از R، فضای اقلیدسی R n را می گیریم ، مثال اولیه یک فضای برداری n بعدی حقیقی . ضرب مستقیم R m و R N است R m + N .

توجه داشته باشید که یک ضرب مستقیم برای یک اندیس متناهی $\prod _{i=1}^{n}X_{i}$ متعارف به مجموع مستقیم یکریخت است $\bigoplus _{i=1}^{n}X_{i}$ . مجموع مستقیم و حاصلضرب مستقیم برای اندیس های نامتناهی یکریخت نیستند، جایی که عناصر یک مجموع مستقیم برای همه صفر هستند اما برای تعداد متناهی از ورودی ها. آنها در مفهوم نظریه مقوله دوگانه هستند : مجموع مستقیم ضرب مشترک است ، در حالی که ضرب مستقیم حاصلضرب است.

برای مثال در نظر بگیرید $X=\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {R}$ و $Y=\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {R}$ ، حاصلضرب مستقیم بی نهایت و مجموع مستقیم اعداد حقیقی. فقط دنباله هایی با تعداد متناهی از عناصر غیر صفر در Y هستند . به عنوان مثال، (1،0،0،0،...) در Y است اما (1،1،1،1،...) نیست. هر دوی این دنباله ها در ضرب مستقیم X هستند . در واقع، Y یک زیر مجموعه مناسب از X است (یعنی Y ⊂ X ). [1] [2]

ضرب مستقیم فضای توپولوژیکی [ ویرایش ]

ضرب مستقیم برای مجموعه ای از فضاهای توپولوژیکی X i برای i در I ، یک مجموعه اندیس، یک بار دیگر از ضرب دکارتی استفاده می کند.

$\prod _{i\در I}X_{i}.$

تعریف توپولوژی کمی مشکل است. برای فاکتورهای متناهی، این امر بدیهی و طبیعی است: به سادگی مجموعه‌های باز را مجموعه‌ای از ضرب دکارتی زیرمجموعه‌های باز از هر عامل به‌عنوان پایه در نظر بگیرید:

${\mathcal {B}}=\{U_{1}\times \cdots \times U_{n}\ |\ U_{i}\ \mathrm {open\ in} \ X_{i}\}.$

این توپولوژی توپولوژی ضرب نامیده می شود . به عنوان مثال، به طور مستقیم تعریف توپولوژی ضرب در R 2 توسط مجموعه باز از R (اتحادیه های مجزا از فواصل باز)، پایه و اساس این توپولوژی به همه اتحادیه های مجزا از مستطیل باز در فضا (شامل عنوان آن می رسد، آن همزمان با توپولوژی mیک معمول ).

توپولوژی ضرب برای ضرب نامتناهی دارای پیچ و تاب است، و این به این مربوط می شود که بتوانیم تمام نقشه های طرح ریزی را پیوسته کنیم و همه توابع را به ضرب پیوسته تبدیل کنیم، اگر و تنها در صورتی که همه توابع اجزای آن پیوسته باشند (یعنی برای ارضای مقوله ها). تعریف ضرب: همریختی‌ها در اینجا توابع پیوسته هستند: ما به عنوان مبنای مجموعه‌های باز مجموعه‌ای از تمام ضرب دکارتی زیرمجموعه‌های باز از هر عامل را در نظر می‌گیریم، مانند قبل، با این قید که همه زیرمجموعه‌های باز، به جز تعداد متناهی، کل عامل هستند:

${\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\ {\Big |}\ (\exists j_{1},\ldots ,j_{n})(U_ {j_{i}}\ \mathrm {open\ in} \ X_{j_{i}})\ \mathrm {and} \ (\forall i\neq j_{1},\ldots ,j_{n})( U_{i}=X_{i})\right\}.$

توپولوژی با توپولوژی طبیعی تر، در این مورد، در نظر گرفتن ضرب بی نهایت زیر مجموعه های باز مانند قبل است، و این یک توپولوژی تا حدودی جالب، توپولوژی جعبه را به دست می دهد . با این حال، یافتن نمونه‌ای از توابع اجزای پیوسته که تابع ضرب آن‌ها پیوسته نیست، چندان دشوار نیست (برای مثال و موارد دیگر، توپولوژی جعبه ورودی جداگانه را ببینید). مشکلی که پیچش را ضروری می‌کند، در نهایت ریشه در این حقیقیت دارد که اشتراک مجموعه‌های باز تنها برای مجموعه‌های متناهی در تعریف توپولوژی باز است.

ضرب (با توپولوژی ضرب) با توجه به حفظ خواص عوامل خود خوب هستند. برای مثال، حاصلضرب فضاهای هاسدورف هاوسدورف است. حاصلضرب فضاهای ّ همبند است و حاصلضرب فضاهای فشرده فشرده است. آخرین مورد که قضیه تیخنوف نامیده می شود ، معادل دیگری برای اصل انتخاب است .

برای خواص بیشتر و فرمول‌بندی‌های معادل، توپولوژی ضرب ورودی جداگانه را ببینید .

ضرب مستقیم روابط دودویی [ ویرایش ]

در ضرب دکارتی دو مجموعه با رابطه دوتایی R و S، تعریف ( ، ب ) T ( ج ، د ) به عنوان R ج و ب S د . اگر R و S هر دو انعکاسی ، غیربازتابی ، متعدی ، متقارن یا ضد متقارن باشند ، T نیز خواهد بود. [3] به طور مشابه، seriality از T از ارث برده R و S . از ترکیب ویژگی ها نتیجه می شود که این برای a بودن نیز صدق می کند پیش سفارش و بودن یک رابطه هم ارزی . با این حال، اگر R و S روابط متصل هستند ، T نیازی به اتصال ندارد. برای مثال، حاصلضرب مستقیم ≤ $\mathbb {N}$ با خودش ارتباطی ندارد (1،2) و (2،1).

ضرب مستقیم در جبر جهانی [ ویرایش ]

اگر Σ یک امضای ثابت است ، I یک مجموعه اندیس دلخواه (احتمالا نامتناهی) است، و ( A i ) i ∈ I یک خانواده نمایه شده از جبرهای Σ است، حاصلضرب مستقیم A = Π i ∈ I A i یک جبر Σ تعریف شده است. به شرح زیر است:

مجموعه جهان A از A حاصل ضرب دکارتی مجموعه های جهان A i از A i است ، به طور رسمی: A = Π i ∈ I A i ;
برای هر n و هر نماد عملیات n- ary f ∈ Σ , تفسیر آن f A در A به طور رسمی به صورت جزء تعریف می شود: برای همه a 1 , ..., a n ∈ A و هر i ∈ I , i امین جزء f A ( a 1 , ..., a n ) به صورت f A i ( a 1 ( i ), ..., a n (من )) .

برای هر i ∈ I , i امین طرح π i : A → A i با π i ( a ) = a ( i ) تعریف می شود . این یک همریختی سورژکتیو بین جبرهای Σ A و A i است . [4]

به عنوان یک حالت خاص، اگر مجموعه اندیس I = { 1, 2 } باشد، حاصل ضرب مستقیم دو جبر Σ A 1 و A 2 به دست می آید که به صورت A = A 1 × A 2 نوشته می شود . اگر Σ فقط شامل یک عملیات باینری f باشد ، تعریف فوق از حاصلضرب مستقیم گروه ها با استفاده از نماد A 1 = G ، A 2 = H ، f A 1 = ∘ ، f A 2 = ∙ و f به دست می آید.A = ×. به طور مشابه، تعریف ضرب مستقیم مدول ها در اینجا خلاصه می شود.

ضرب دسته بندی شده [ ویرایش ]

مقاله اصلی: ضرب (نظریه طبقه بندی)

ضرب مستقیم را می توان به یک دسته دلخواه انتزاع کرد . در یک دسته بندی کلی، با توجه به مجموعه ای از اشیاء A i و مجموعه ای از همریختی های p i از A تا A i [ توضیح لازم است ] با i در متناهی ه ای از مجموعه اندیس I ، یک شی A یک ضرب طبقه بندی شده در این دسته گفته می شود. اگر برای هر شی B و هر مجموعه ای از همریختی های f i از B به A i، یک همریختی منحصر به فرد f از B به A وجود دارد به طوری که f i = p i f و این شی A منحصر به فرد است. این نه تنها برای دو عامل، بلکه به طور دلخواه (حتی بی نهایت) برای بسیاری کار می کند.

برای گروه‌ها به طور مشابه ضرب مستقیم مجموعه‌ای عمومی‌تر و دلخواه از گروه‌های G i را برای i در I ، I یک مجموعه اندیس تعریف می‌کنیم. با نشان دادن حاصل ضرب دکارتی گروه ها با G ، ضرب در G را با عمل ضرب مؤلفه تعریف می کنیم . و متناظر با p i در تعریف بالا نقشه های طرح ریزی هستند

$\pi _{i}\colon G\to G_{i}\quad \mathrm {by} \quad \pi _{i}(g)=g_{i}$ ،

توابعی که می گیرند $(g_{j})_{j\in I}$ به i ام جزء آن g i .

ضرب مستقیم داخلی و خارجی [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: مجموع مستقیم داخلی

برخی از نویسندگان بین یک ضرب مستقیم داخلی و یک ضرب مستقیم خارجی تمایز قائل می شوند. اگر $A، B\ زیر مجموعه X$ و $A\ بار B\cong X$ ، می گوییم X یک ضرب مستقیم داخلی A و B است ، در حالی که اگر A و B فرعی نباشند، می گوییم که این یک ضرب مستقیم خارجی است.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Direct_product

+ نوشته شده در پنجشنبه بیست و هفتم آبان ۱۴۰۰ ساعت 1:19 توسط علی رضا نقش نیلچی |

تمرین :گروه بنیادی n -صفحه تصویری را بدست آورید

Sn~z/2k kEZ

x~y اگر و فقط اگر x=y یا x,y متقاطر باشند

Pn =Sn/F

P : Sn----->Pn =Sn/~

x------>[x]

Sn یک n-کره و Pn یک n -صفحه تصویری است.

n-کره دارای توپولوژی زیر فضایی از n-فضای اقلیدسی است

Pn یک n -صفحه تصویری که دارای توپولوژی خارج قسمتی است پس p یک نگاشت است . از طرفی

[x]={x , -x}

پس

Sn~z/2k kEZ

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و ششم آبان ۱۴۰۰ ساعت 17:31 توسط علی رضا نقش نیلچی |

a ,b,c,d را چنان تعیین کنید تا f جایگشت در مجموعه {1و2و3و4و5و6} باشد.

$Inverse Functions$

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و ششم آبان ۱۴۰۰ ساعت 2:52 توسط علی رضا نقش نیلچی |

توابع زیر را در صورت امکان به شکل جایگشت نشان دهید

One to one function – Explanation & Examples

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و ششم آبان ۱۴۰۰ ساعت 2:46 توسط علی رضا نقش نیلچی |

طوقه در گراف

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و ششم آبان ۱۴۰۰ ساعت 2:33 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مسئله :وارون جابگشت های زیر را در S7 بدست آورید

(1 3 4)

(1 2 3 4 5 6 )

(1 2 )(3 4 )

(1 2 3 4 5 6 7)

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و ششم آبان ۱۴۰۰ ساعت 1:55 توسط علی رضا نقش نیلچی |

تمرین :جایگشت مربع زیر را بنویسید.

Square Calculator

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و ششم آبان ۱۴۰۰ ساعت 1:52 توسط علی رضا نقش نیلچی |

کدام جایگشت عضو مرکز گروه S4 است؟

( 3 4)

(1 2 3 4)

(4 3 )(1 2)

(1 2 3)

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و ششم آبان ۱۴۰۰ ساعت 1:46 توسط علی رضا نقش نیلچی |

کدام جایگشت در گروه متقارن S5با جایگشت (1 2 3 4) جابجا می شود

( 1 3 4 2)

(1 3)

(1 3 5 2)

(1 2)(1 3)(1 4)(1 5)

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و ششم آبان ۱۴۰۰ ساعت 1:42 توسط علی رضا نقش نیلچی |

کدام جایگشت زوج و کدام فرد است؟

(1 2 3 ............... 18)

(1 2 3 4 5)

(2 3 5 7)

(1 2 3)(1 2 4 5)( 5 6 7)

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و ششم آبان ۱۴۰۰ ساعت 1:36 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مسئله : کدام از جایگشت های زیر را می توان به شکل (r 2 1) در S9 نوشت؟

(1 3 2)
(2 3 4)
(2 7 8)

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و پنجم آبان ۱۴۰۰ ساعت 17:9 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مسئله:; کدام ضرب جایگشت ها صحیح است؟

(1 r)(1 k)=(1 k r)
(1 2 r)(1 2 k)=(1 k )(2 r) (r 2)=(1 k)
(1 r s)=(1 r)(1 s)
( 1 r s k)=(1 r)(1 s)(1 k)
(1 2 r)(1 2 s)=(1 2)(1 r)(1 2) (1 s)=(2 r)(1 s)=(1 s )(2 r) (r 2) (s 1)

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و پنجم آبان ۱۴۰۰ ساعت 17:7 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مدل دیسک پوانکاره

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

پرش به ناوبری پرش به جستجو

دیسک پوانکاره با خطوط موازی هذلولی

مدل دیسک پوانکاره از کاشی کاری سه ضلعی کوتاه شده .

در هندسه، مدل دیسک پوانکاره ، که به آن مدل دیسک منسجم نیز می‌گویند، مدلی از هندسه هذلولی دو بعدی است که در آن نقاط هندسه در داخل دیسک واحد قرار دارند و خطوط مستقیم شامل تمام کمان‌های دایره‌ای موجود در آن دیسک است. که بر روی مرز دیسک متعامد هستند ، به اضافه تمام قطرهای دیسک.

گروه ایزومتریک های حفظ جهت گیری مدل دیسک توسط گروه واحد ویژه SU(1,1) داده شده است .

همراه با مدل کلاین و مدل نیمه فضای پوانکاره ، توسط یوجنیو بلترامی پیشنهاد شد که از این مدل ها برای نشان دادن اینکه هندسه هذلولی با هندسه اقلیدسی همخوانی دارد، استفاده کرد . این نام به افتخار هانری پوانکاره گرفته شده است ، زیرا کشف مجدد این نمایش چهارده سال بعد بیشتر از اثر اصلی بلترامی شناخته شد. [1]

مدل توپ پوانکاره مدل مشابه است 3 یا N هندسه هذلولی بعدی که در آن نقطه از هندسه در می N بعدی واحد توپ .

فهرست

خواص [ ویرایش ]

خطوط [ ویرایش ]

دیسک پوانکاره با 3 خط مستقیم فوق موازی (هذلولی).

خطوط مستقیم هذلولی شامل تمام کمان‌های دایره‌های اقلیدسی است که در داخل دیسک قرار دارند و با مرز دیسک متعامد هستند ، به اضافه تمام قطرهای دیسک.

قطب نما و ساخت و ساز مستقیم [ ویرایش ]

خط هذلولی منحصر به فرد از طریق دو نقطه P و Q که روی قطر دایره مرزی نیستند را می توان به صورت زیر ساخت :

اجازه دهید P' وارونگی در دایره مرزی نقطه P باشد
بگذارید Q' وارونگی در دایره مرزی نقطه Q باشد
بگذارید M نقطه وسط قطعه PP باشد
بگذارید N نقطه وسط قطعه QQ باشد
رسم خط m تا M عمود بر قطعه PP'
رسم خط n تا N عمود بر بخش QQ'
اجازه دهید C جایی باشد که خط m و خط n قطع می شوند.
دایره c را با مرکز C و عبور از P (و Q) رسم کنید.
قسمتی از دایره c که داخل دیسک است خط هذلولی است.

اگر P و Q روی قطر دایره مرزی باشند، آن قطر خط هذلولی است.

راه دیگر این است:

بگذارید M نقطه وسط قطعه PQ باشد
خط m تا M را عمود بر قطعه PQ رسم کنید
اجازه دهید P' وارونگی در دایره مرزی نقطه P باشد
اجازه دهید N نقطه وسط قطعه PP باشد
رسم خط n تا N عمود بر بخش PP'
اجازه دهید C جایی باشد که خط m و خط n قطع می شوند.
دایره c را با مرکز C و عبور از P (و Q) رسم کنید.
قسمتی از دایره c که داخل دیسک است خط هذلولی است.

فاصله [ ویرایش ]

فاصله ها در این مدل معیارهای Cayley-Klein هستند . با توجه به دو نقطه مجزا ص و س در داخل دیسک، خط هذلولی منحصر به فرد اتصال آنها قطع مرز در دو نقطه ایده آل ، و ب ، آنها برچسب به طوری که نقاط هستند، به منظور، ، ص ، س ، ب و | ق | > | ap | و | pb | > | qb | .

فاصله هذلولی بین p و q پس از آن است $d(p,q)=\ln {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right| }}$ .

میله های عمودی نشان دهنده طول اقلیدسی پاره خطی است که نقاط بین آنها را در مدل به هم متصل می کند (نه در امتداد کمان دایره)، ln لگاریتم طبیعی است .

$\operatorname {arcosh} \left(1+{\frac {2|pq|^{2}|r|^{2}}{(|r|^{2}-|op|^{2} )(|r|^{2}-|oq|^{2})}}\راست)$

جایی که $|op|$ و $|oq|$ فاصله p مربوط به q تا مرکز دیسک است، $|pq|$ فاصله بین ص و س ، $|r|$ شعاع دایره مرزی دیسک و $\operatorname {arcosh}$ است تابع وارون هذلولوی از کسینوس هایپربولیک .

هنگامی که دیسک مورد استفاده دیسک واحد باز باشد و یکی از نقاط مبدا باشد و فاصله اقلیدسی بین نقاط r باشد، فاصله هذلولی برابر است با: $\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=2\operatorname {artanh} r$ جایی که $\operatorname {artanh}$ است تابع وارون هذلولوی از تانژانت هایپربولیک .

هنگامی که دیسک استفاده می شود دیسک واحد باز و نقطه است $x'=(r',\theta )$ بین مبدا و نقطه قرار دارد $x=(r,\theta )$ (یعنی دو نقطه در یک شعاع هستند، زاویه قطبی یکسانی دارند و $1>r>r'>0$ ، فاصله هذلولی آنها است $\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\cdot {\frac {1-r'}{1+r'}}\right)=2(\operatorname {artanh } r-\operatorname {artanh} r')$ . این به فرمول قبلی کاهش می یابد اگر $r'=0$ .

حلقه ها [ ویرایش ]

دایره (مجموعه ای از تمام نقاط در یک هواپیما که در یک فاصله معین از یک نقطه داده شده، مرکز آن) یک دایره را به طور کامل در داخل دیسک لمس کردن و یا متقاطع مرز آن است. مرکز هذلولی دایره در مدل به طور کلی با مرکز اقلیدسی دایره مطابقت ندارد، اما آنها در همان شعاع دایره مرزی هستند.

ابر چرخه ها [ ویرایش ]

hypercycle (مجموعه ای از تمام نقاط در یک هواپیما که در یک طرف و در یک فاصله معین از یک خط داده شده، محور خود هستند) قوس دایره اقلیدسی یا وتر دایره مرز این است که از فاصله دایره مرزی در یک غیر حق زاویه . محور آن خط هذلولی است که در دو نقطه ایده آل مشترک است . این منحنی با فاصله همسان نیز شناخته می شود.

طالع بینی [ ویرایش ]

horocycle (یک منحنی که طبیعی و یا عمود بر ژئودزیک همگی مجانبی در همان جهت)، یک دایره در داخل دیسک که از لمس دایره حاشیه قرص است. نقطه ای که دایره مرزی را لمس می کند، بخشی از چرخه طالع بینی نیست. این یک نقطه ایده آل است و مرکز هذلولی هوروسیکلت است.

خلاصه اقلیدسی [ ویرایش ]

دایره اقلیدسی:

که به طور کامل در داخل دیسک است یک دایره هذلولی است .

(زمانی که مرکز دیسک داخل دایره نباشد، مرکز اقلیدسی همیشه به مرکز دیسک نزدیکتر از مرکز هذلولی است، یعنی $t_{e}<t_{h}$ دارای.)

که داخل دیسک است و مرز را لمس می کند، یک هوروسیکل است .
که مرز را به صورت متعامد قطع می کند یک خط هذلولی است . و
که مرز را به صورت غیر متعامد قطع می کند یک ابر چرخه است .

وتر اقلیدسی دایره مرزی:

که از مرکز می گذرد یک خط هذلولی است. و
که از مرکز نمی گذرد یک هایپرسیکل است.

متریک و انحنا [ ویرایش ]

نمای مدل « توپ » پوانکاره از لانه زنبوری منتظم هذلولی ، {3،5،3}

اگر u و v دو بردار در فضای برداری n بعدی واقعی R n با هنجار اقلیدسی معمولی باشند، که هر دو هنجار کمتر از 1 دارند، ممکن است یک متغیر ایزومتریک را با

$\delta (u,v)=2{\frac {\lVert uv\rVert ^{2}}{(1-\lVert u\rVert ^{2})(1-\lVert v\rVert ^{ 2})}\,,$

جایی که $\lVert \cdot \rVert$ نشان دهنده هنجار اقلیدسی معمول است. سپس تابع فاصله است

${\begin{aligned}d(u,v)&=\operatorname {arcosh} (1+\delta (u,v))\\&=2\operatorname {arsinh} {\sqrt {\frac { \delta (u,v)}{2}}}\\\,&=2\ln {\frac {\lVert uv\rVert +{\sqrt {\lVert u\rVert ^{2}\lVert v\rVert ^{2}-2u\cdot v+1}}}{\sqrt {(1-\lVert u\rVert ^{2})(1-\lVert v\rVert ^{2})}}}.\end {هم راستا}}$

چنین تابع فاصله ای برای هر دو بردار هنجار کمتر از یک تعریف می شود و مجموعه این بردارها را به فضای متریک تبدیل می کند که مدلی از فضای هذلولی با انحنای ثابت -1 است. این مدل دارای خاصیت همسانی است که زاویه بین دو منحنی متقاطع در فضای هذلولی با زاویه مدل یکسان است.

مرتبط تانسور متریک از مدل دیسک پوانکاره داده شده است [2]

$ds^{2}=4{\frac {\sum _{i}dx_{i}^{2}}{\left(1-\sum _{i}x_{i}^{2}\ راست)^{2}}}={\frac {4\lVert d\mathbf {x} \rVert ^{2}}{{\bigl (}1-\lVert \mathbf {x} \rVert ^{2} {\bigr )}^{2}}}$

که در آن x i مختصات دکارتی فضای اقلیدسی محیطی است. ژئودزیک از مدل دیسک محافل عمود بر حوزه مرز S N -1 .

یک قاب متعارف با توجه به این متریک ریمانی توسط

$e_{i}={\frac {1}{2}}\left(1-|\mathbf {x} |^{2}\right){\frac {\partial }{\partial x^{ من}}}،$

با قاب دوگانه 1-فرم

$\theta ^{i}={\frac {2}{1-|\mathbf {x} |^{2}}}\,dx^{i}.$

در دو بعد [ ویرایش ]

مقاله اصلی: متریک پوانکاره

در دو بعد، با توجه به این قاب ها و اتصال Levi-Civita، فرم های اتصال توسط ماتریس متقارن متقارن 1 شکل منحصر به فرد ارائه شده است. $\ امگا$ که بدون پیچش است، یعنی معادله ماتریس را برآورده می کند $0=d\theta +\omega \wedge \theta$ . حل این معادله برای $\ امگا$ بازده - محصول

$\omega ={\frac {2(y\,dx-x\,dy)}{1-|\mathbf {x} |^{2}}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0 \end{pmatrix}}،$

که در آن ماتریس انحنا قرار دارد

$\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega =d\omega +0={\frac {-4\,dx\wedge dy}{(1-|\mathbf {x} |^{2 })^{2}}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.$

بنابراین، انحنای دیسک هیپربولیک است

$K=\Omega _{2}^{1}(e_{1},e_{2})=-1.$

ارتباط با مدل های دیگر هندسه هذلولی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: هندسه هایپربولیک § اتصال بین مدل ها

مدل دیسک پوانکاره (خط P )، و روابط آنها با مدل های دیگر

ارتباط با مدل دیسک کلاین [ ویرایش ]

مدل کلاین دیسک (همچنین به عنوان مدل بلترامی-کلین شناخته می شود) و مدل دیسک پوانکاره هر دو مدل که پروژه طیف هواپیما اغراقی در یک هستند دیسک . این دو مدل از طریق یک طرح ریزی روی یا از مدل نیمکره به هم مرتبط هستند . مدل دیسک کلاین یک پیش بینی املایی به مدل نیمکره است در حالی که مدل دیسک پوانکاره یک طرح ریزی استریوگرافی است .

مزیت مدل دیسک کلاین این است که خطوط در این مدل آکوردهای مستقیم اقلیدسی هستند . اشکال آن این است که مدل دیسک کلاین است منسجم (دایره و زاویه ها تحریف شده).

هنگامی که خطوط یکسان در هر دو مدل بر روی یک دیسک نمایش داده می شود، هر دو خط از دو نقطه ایده آل مشابه عبور می کنند . (نقاط ایده آل در همان نقطه باقی می مانند) همچنین قطب وتر در مدل دیسک کلاین مرکز دایره ای است که در مدل دیسک پوانکاره حاوی قوس است.

یک نقطه ( x , y ) در مدل دیسک پوانکاره به نگاشت می شود $\left({\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}}\ ,\ {\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2 }}}\درست)$ در مدل کلاین

یک نقطه ( x , y ) در مدل کلاین به{ $\left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}}\ ,\ \ {\frac {y}{1+{ \sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}}\right)$ در مدل دیسک پوانکاره

برای امتیاز ایده آل $x^2 + y^2 = 1$ و فرمول ها تبدیل می شوند $x=x\ ,\ y=y$ بنابراین نقاط ثابت هستند.

اگر $تو$ یک بردار هنجار کوچکتر از یک است که نقطه ای از مدل دیسک پوانکاره را نشان می دهد، سپس نقطه متناظر مدل دیسک کلاین با:

$s={\frac {2u}{1+u\cdot u}}.$

برعکس، از یک بردار $س$ هنجار کمتر از یک نشان دهنده نقطه ای از مدل بلترامی-کلاین است، نقطه متناظر مدل دیسک پوانکاره به صورت زیر به دست می آید:

$u={\frac {s}{1+{\sqrt {1-s\cdot s}}}}={\frac {\left(1-{\sqrt {1-s\cdot s}}\راست) s}{s\cdot s}}.$

رابطه با مدل نیم صفحه پوانکاره [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: تبدیل Cayley § Conformal map

مدل دیسک پوانکاره و مدل نیم صفحه پوانکاره هر دو به نام هانری پوانکاره نامگذاری شده اند .

اگر $تو$ بردار هنجار کوچکتر از یک است که نقطه ای از مدل دیسک پوانکاره را نشان می دهد، سپس نقطه متناظر مدل نیم صفحه به صورت زیر به دست می آید:

$s={\frac {u+i}{iu+1}}.$

یک نقطه (x,y) در مدل دیسک به $\left({\frac {2x}{x^{2}+(1-y)^{2}}}\ ,\ {\frac {1-x^{2}-y^{2} {x^{2}+(1-y)^{2}}}\right)\,$ در مدل نیمه هواپیما [3]

یک نقطه (x,y) در مدل نیم صفحه به نگاشت می شود $\left({\frac {2x}{x^{2}+(1+y)^{2}}}\ ,\ {\frac {x^{2}+y^{2}-1 {x^{2}+(1+y)^{2}}}\right)\,$ در مدل دیسک

ارتباط با مدل هایپربولوئید [ ویرایش ]

مدل hyperboloid می تواند به عنوان تی معادله نشان 2 = X 1 2 + X 2 2 1، تی> 1. می توان از آن برای ساخت یک مدل دیسک پوانکاره به عنوان یک طرح مشاهده شده از (t=-1, x 1 =0, x 2 =0) استفاده کرد و نیمه هایپربولوئید بالایی را روی دیسک واحد در t=0 نمایش داد. ژئودزیک قرمز در مدل دیسک پوانکاره به ژئودزیک قهوه‌ای روی هیپربولوئید سبز نشان می‌دهد.

انیمیشن یک کاشی کاری هذلولی جزئی {7،3} از هایپربولوئید که در چشم انداز پوانکر چرخیده است.

مدل دیسک پوانکاره و همچنین مدل کلاین به صورت تصویری به مدل هایپربولوئید مربوط می شوند . اگر یک نقطه [ t , x 1 , ..., x n ] در صفحه بالای هیپربولوئید مدل هایپربولوئید داشته باشیم، بدین ترتیب یک نقطه در مدل هایپربولوئید تعریف می کنیم، ممکن است آن را بر روی صفحه t = 0 قرار دهیم. تقاطع آن با یک خط کشیده شده از [-1، 0، ...، 0]. نتیجه نقطه متناظر مدل دیسک پوانکاره است.

برای مختصات دکارتی ( t , x i ) در هیپربولوئید و ( y i ) در صفحه، فرمول های تبدیل عبارتند از:

$y_{i}={\frac {x_{i}}{1+t}}$

$(t,x_{i})={\frac {\left(1+\sum {y_{i}^{2}},\,2y_{i}\right)}{1-\sum {y_{i }^{2}}}}\,.$

فرمول های نمایش استریوگرافیک بین کره و صفحه را مقایسه کنید.

ساختارهای هندسه تحلیلی در صفحه هذلولی [ ویرایش ]

ساختار اصلی هندسه تحلیلی یافتن خطی از دو نقطه داده شده است. در مدل دیسک پوانکاره، خطوط در صفحه توسط بخش‌هایی از دایره‌هایی که معادلات شکلی دارند، تعریف می‌شوند.

$x^{2}+y^{2}+ax+by+1=0\,,$

که شکل کلی یک دایره متعامد به دایره واحد یا بر اساس قطر است. با توجه به دو نقطه u و v در دیسک که روی قطر قرار ندارند، می توانیم دایره این شکل را که از هر دو نقطه می گذرد حل کنیم و به دست آوریم.

${\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&{}+{\frac {v_{1}(u_{2}^{2}+v_{2}^{2} +1)-v_{2}(u_{1}^{2}+v_{1}^{2}+1)}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}} x\\[8pt]&{}+{\frac {u_{2}(u_{1}^{2}+v_{1}^{2}+1)-u_{1}(u_{2}^ {2}+v_{2}^{2}+1)}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0\,.\end{تراز شده}}$

اگر نقاط u و v نقاطی در مرز دیسک هستند که در نقاط انتهایی قطر قرار ندارند، موارد فوق ساده می شود

$x^{2}+y^{2}+{\frac {2(v_{1}-v_{2})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1} }}x-{\frac {2(u_{2}-u_{1})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0\,.$

زوایا [ ویرایش ]

می‌توانیم زاویه بین قوس دایره‌ای را که نقاط انتهایی آن ( نقاط ایده‌آل ) با بردارهای واحد u و v داده شده‌اند ، و کمانی که نقاط انتهایی آن s و t هستند را با استفاده از یک فرمول محاسبه کنیم. از آنجایی که نقاط ایده آل در مدل کلاین و مدل دیسک پوانکاره یکسان است، فرمول ها برای هر مدل یکسان است.

اگر خطوط هر دو مدل دارای قطر باشند، به طوری که v = − u و t = − s ، آنگاه ما فقط زاویه بین دو بردار واحد را پیدا می کنیم و فرمول زاویه θ است.

$\cos(\theta)=u\cdot s\,.$

اگر v = - u اما t = - s نباشد ، فرمول بر حسب حاصلضرب گوه تبدیل می شود ( $\ گوه$ )

$\cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}}،$

جایی که

$P=u\cdot (st)\,,$

$Q=u\cdot u\,,$

$R=(st)\cdot (st)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t)\,.$

اگر هر دو آکورد قطر نباشند، فرمول کلی به دست می آید

$\cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}}\,,$

جایی که

$P=(uv)\cdot (st)-(u\wedge v)\cdot (s\wedge t)\,,$

$Q=(uv)\cdot (uv)-(u\wedge v)\cdot (u\wedge v)\,,$

$R=(st)\cdot (st)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t)\,.$

با استفاده از هویت بینه-کوشی و این واقعیت که این بردار واحد ما ممکن است بالاتر از عبارت صرفا از نظر بازنویسی هستند محصول از نقطه ، به عنوان

$P=(uv)\cdot (st)+(u\cdot t)(v\cdot s)-(u\cdot s)(v\cdot t)\,.$

$Q=(1-u\cdot v)^{2}\,,$

$R=(1-s\cdot t)^{2}\,.$

تحقق هنری [ ویرایش ]

کاشی کاری هذلولی مثلثی (6،4،2) که الهام بخش MC Escher بود

همچنین ببینید: MC Escher و Circle Limit III

MC Escher مفهوم نمایش بی نهایت را در یک صفحه دو بعدی بررسی کرد. بحث و گفتگو با HSM Coxeter ریاضیدان کانادایی در حدود سال 1956 باعث الهام بخش علاقه اشر به تسلسل های هذلولی شد ، که کاشی کاری های منظم صفحه هایپربولیک هستند. حکاکی‌های چوبی اشر Circle Limit I–IV این مفهوم را بین سال‌های 1958 و 1960 نشان می‌دهد، آخرین مورد، Circle Limit IV: Heaven and Hell در سال 1960 است. [4] به گفته برونو ارنست، بهترین آنها Circle Limit III است .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_disk_model

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و چهارم آبان ۱۴۰۰ ساعت 19:13 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه استریوگرافی تصویری

برنامه های کاربردی در ریاضیات [ ویرایش ]

تحلیل پیچیده [ ویرایش ]

صفحه پیچیده و کره ریمان بالای آن

اگرچه هر طرح ریزی استریوگرافی یک نقطه از کره (نقطه طرح ریزی) را از دست می دهد، کل کره را می توان با استفاده از دو برجستگی از نقاط برون ریزی مجزا ترسیم کرد. به عبارت دیگر، کره را می توان با دو پارامتر استریوگرافی (معکوس برآمدگی ها) از صفحه پوشش داد. پارامترها را می توان برای القای جهت گیری یکسان در کره انتخاب کرد. آنها با هم، کره را به عنوان یک سطح جهت دار (یا منیفولد دو بعدی ) توصیف می کنند.

این ساختار در تحلیل پیچیده از اهمیت ویژه ای برخوردار است. نقطه ( X , Y ) در صفحه واقعی را می توان با عدد مختلط ζ = X + i Y شناسایی کرد . سپس طرح استریوگرافی از قطب شمال بر روی صفحه استوایی است

${\begin{aligned}\zeta &={\frac {x+iy}{1-z}},\\\\(x,y,z)&=\left({\frac {2\ نام اپراتور {Re} \zeta }{1+{\bar {\zeta }}\zeta }},{\frac {2\operatorname {Im} \zeta }{1+{\bar {\zeta }}\zeta } },{\frac {-1+{\bar {\zeta }}\zeta }{1+{\bar {\zeta }}\zeta }}\right).\end{تراز شده}}$

به طور مشابه، اجازه دهید ξ = X - i Y یک مختصات پیچیده دیگر، توابع باشد

${\begin{aligned}\xi &={\frac {x-iy}{1+z}},\\(x,y,z)&=\left({\frac {2\operatorname { Re} \xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }},{\frac {-2\operatorname {Im} \xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }} ,{\frac {1-{\bar {\xi }}\xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }}\right)\end{تراز شده}}$

یک برجستگی استریوگرافی از قطب جنوب بر روی صفحه استوایی تعریف کنید. سپس نقشه های انتقال بین ز - و ξ - مختصات ز = هستند1/ξو ξ =1/ز، با ز نزدیک به 0 به عنوان ξ به بی نهایت می رود، و بالعکس . این یک مفهوم ظریف و مفید از بی‌نهایت را برای اعداد مختلط و در واقع یک نظریه کامل از توابع مرومورفیک نگاشت به کره ریمان را تسهیل می‌کند . متریک استاندارد در کره واحد با متریک Fubini-Study در کره ریمان مطابقت دارد .

تجسم خطوط و صفحات [ ویرایش ]

انیمیشن خطوط کیکوچی از چهار منطقه از هشت منطقه <111> در یک کریستال fcc. صفحات لبه روی (خطوط نواری) در زوایای ثابت قطع می شوند.

مجموعه تمام خطوطی که از مبدأ در فضای سه بعدی عبور می کنند، فضایی را تشکیل می دهند که به آن صفحه نمایش واقعی می گویند . تجسم این هواپیما دشوار است، زیرا نمی توان آن را در فضای سه بعدی جاسازی کرد.

با این حال، می توان آن را به عنوان یک دیسک، به صورت زیر تجسم کرد. هر خطی که از مبدأ می گذرد، نیمکره جنوبی z ≤ 0 را در یک نقطه قطع می کند، که سپس می توان آن را به صورت استریوگرافی به نقطه ای روی یک دیسک در صفحه XY نشان داد. خطوط افقی از طریق مبدا، نیمکره جنوبی را در دو نقطه پادپای در امتداد استوا، که تا مرز دیسک پیش می‌روند، قطع می‌کنند. هر یک از دو نقطه پیش بینی شده را می توان بخشی از دیسک در نظر گرفت. قابل درک است که نقاط پادپای روی استوا نشان دهنده یک خط واحد در 3 فضا و یک نقطه واحد در مرز دیسک پیش بینی شده است (به توپولوژی ضریب مراجعه کنید.). بنابراین هر مجموعه ای از خطوط از طریق مبدا را می توان به عنوان مجموعه ای از نقاط در دیسک پیش بینی شده تصویر کرد. اما نقاط مرزی رفتار متفاوتی با نقاط مرزی یک دیسک دو بعدی معمولی دارند، به این صورت که هر یک از آنها به طور همزمان به نقاط داخلی در طرف مقابل دیسک نزدیک است (همانطور که دو خط تقریبا افقی از طریق مبدا می توانند به نقاطی بروند. در طرف مقابل دیسک).

همچنین، هر صفحه ای که از مبدا می گذرد، کره واحد را در یک دایره بزرگ، که رد صفحه نامیده می شود، قطع می کند . این دایره به یک دایره تحت طرح ریزی استریوگرافی نگاشت می شود. بنابراین طرح ریزی به ما اجازه می دهد صفحات را به صورت کمان های دایره ای در دیسک تجسم کنیم. قبل از در دسترس بودن رایانه‌ها، پیش‌بینی‌های استریوگرافی با دایره‌های بزرگ اغلب شامل ترسیم کمان‌هایی با شعاع بزرگ بود که نیاز به استفاده از قطب‌نمای پرتو داشت . اکنون رایانه ها این کار را بسیار آسان تر می کنند.

علاوه بر این با هر صفحه یک خط منحصر به فرد به نام قطب هواپیما وجود دارد که از مبدا می گذرد و عمود بر صفحه است. این خط را می توان به عنوان یک نقطه روی دیسک ترسیم کرد، همانطور که هر خطی که از مبدا می گذرد می تواند. بنابراین طرح ریزی استریوگرافی به ما امکان می دهد صفحات را به عنوان نقاطی در دیسک تجسم کنیم. برای نقشه هایی که شامل بسیاری از هواپیماها می شود، ترسیم قطب های آنها تصویری کمتر به هم ریخته نسبت به ترسیم ردپای آنها ایجاد می کند.

این ساختار برای تجسم داده های جهت در کریستالوگرافی و زمین شناسی، همانطور که در زیر توضیح داده شده است، استفاده می شود.

تجسم دیگر [ ویرایش ]

طرح ریزی استریوگرافی نیز برای تجسم پلی توپ ها اعمال می شود . در یک نمودار شلگل ، یک نفر چندبر بعدی در R N 1 است بر روی یک بینی N حوزه بعدی، که پس از stereographically بر روی بینی R N . کاهش از R N 1 به R N می توانید چندبر آسان تر برای تجسم و درک است.

هندسه حسابی [ ویرایش ]

نقاط گویا در متناظر دایره، تحت طرح stereographic، به نقاط گویا از خط.

در هندسه محاسباتی ابتدایی , طرح ریزی استریوگرافی از دایره واحد وسیله ای برای توصیف تمام سه گانه های اولیه فیثاغورثی فراهم می کند . به طور خاص، طرح ریزی استریوگرافی از قطب شمال (0،1) بر روی محور x یک مطابقت یک به یک بین نقاط عدد گویا ( x , y ) روی دایره واحد (با y ≠ 1 ) و نقاط گویا می دهد. از محور x اگر (متر/n، 0) یک نقطه گویا در محور x است ، سپس طرح تصویری معکوس آن نقطه است.

$\left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+ n^{2}}}\راست)$

که فرمول اقلیدس را برای سه گانه فیثاغورثی به دست می دهد.

تعویض نیم زاویه مماس [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: تعویض نیم‌زاویه مماس

جفت توابع مثلثاتی (sin x , cos x ) را می توان به عنوان پارامتری کردن دایره واحد در نظر گرفت. طرح ریزی استریوگرافی یک پارامتر جایگزینی از دایره واحد می دهد:

$\cos x = \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1}،\quad \sin x = \frac{2 t}{t^2 + 1}.$

تحت این پارامترسازی مجدد، طول عنصر dx دایره واحد به آن می رود

$dx = \frac{2 \, dt}{t^2 + 1}.$

این جایگزینی گاهی اوقات می تواند انتگرال هایی را که شامل توابع مثلثاتی هستند، ساده کند.

کاربرد در سایر رشته ها [ ویرایش ]

نقشه کشی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: طرح ریزی نقشه استریوگرافی

مشکل اساسی کارتوگرافی این است که هیچ نقشه ای از کره به صفحه نمی تواند به طور دقیق هم زوایا و هم مناطق را نشان دهد. به طور کلی، پیش‌بینی‌های نقشه با حفظ منطقه برای کاربردهای آماری ترجیح داده می‌شوند ، در حالی که پیش‌بینی‌های نقشه با حفظ زاویه (هم‌نوع) برای ناوبری ترجیح داده می‌شوند .

طرح ریزی استریوگرافی در دسته دوم قرار می گیرد. هنگامی که برجستگی در قطب شمال یا جنوب زمین متمرکز می‌شود، ویژگی‌های مطلوب دیگری نیز دارد: نصف النهارها را به پرتوهایی که از مبدأ می‌آیند و به موازات دایره‌هایی که در مرکز مبدا قرار دارند، می‌فرستد .

پیش بینی استریوگرافی از جهان در شمال 30 درجه جنوبی. گرتیکول 15 درجه.
طرح ریزی استریوگرافی با شاخص تغییر شکل تیسوت .

علوم سیاره ای [ ویرایش ]

تصویری استریوگرافی از ماه ، که مناطقی را در سمت قطب 60 درجه شمالی نشان می دهد. دهانه‌هایی که دایره‌هایی روی کره هستند، بدون توجه به نزدیک بودن به قطب یا لبه نقشه، در این برجستگی دایره‌ای به نظر می‌رسند.

استریوگرافی تنها طرح ریزی است که همه دایره های یک کره را به دایره های روی صفحه ترسیم می کند . این ویژگی در نقشه برداری سیاره ای که در آن دهانه ها ویژگی های معمولی هستند، ارزشمند است. مجموعه ای از محافل عبور از نقطه طرح به شعاع نا محدود، و در نتیجه انحطاط به خطوط.

کریستالوگرافی [ ویرایش ]

شکل قطب کریستالوگرافی برای شبکه الماس در جهت [111]

نوشتار اصلی: شکل قطبی

در کریستالوگرافی ، جهت‌گیری محورها و چهره‌های کریستال در فضای سه‌بعدی یک نگرانی هندسی مرکزی است، به عنوان مثال در تفسیر الگوهای پراش پرتو ایکس و الکترون . این جهت‌گیری‌ها را می‌توان مانند بخش تجسم خطوط و سطوح بالا تجسم کرد . به این معنا که محورهای بلوری و قطب ها به صفحات کریستالی با نیمکره شمالی قطع می شوند و سپس با استفاده از طرح ریزی استریوگرافی ترسیم می شوند. به طرح قطب ها شکل قطبی می گویند .

در پراش الکترونی ، جفت‌های خط کیکوچی به‌عنوان نوارهایی ظاهر می‌شوند که تقاطع بین خطوط صفحه شبکه و کره اوالد را تزئین می‌کنند و بنابراین دسترسی تجربی به برجستگی استریوگرافی یک کریستال را فراهم می‌کنند. نقشه های مدل کیکوچی در فضای متقابل، [12] و نقشه های دید حاشیه ای برای استفاده با خطوط خمشی در فضای مستقیم، [13] بنابراین به عنوان نقشه راه برای کاوش فضای جهت گیری با کریستال ها در میکروسکوپ الکترونی عبوری عمل می کنند .

زمین شناسی [ ویرایش ]

استفاده از برجستگی استریوگرافی نیمکره زیرین برای رسم داده های مسطح و خطی در زمین شناسی ساختاری، با استفاده از مثال صفحه گسل با خط کشی سمت راست

محققان در زمین شناسی ساختاری به دلایل متعددی به جهت گیری صفحات و خطوط توجه دارند. تورق یک سنگ یکی از ویژگی های مسطح که اغلب شامل یکی از ویژگی های خطی به نام خطواره . به طور مشابه، صفحه خطا یک ویژگی مسطح است که ممکن است دارای ویژگی های خطی مانند slickensides باشد.

این جهت‌گیری‌های خطوط و سطوح در مقیاس‌های مختلف را می‌توان با استفاده از روش‌های بخش تجسم خطوط و سطوح بالا ترسیم کرد . مانند کریستالوگرافی، هواپیماها معمولاً توسط قطب های خود ترسیم می شوند. برخلاف کریستالوگرافی، از نیمکره جنوبی به جای نیمکره شمالی استفاده می شود (زیرا ویژگی های زمین شناسی مورد بحث در زیر سطح زمین قرار دارند). در این زمینه، طرح ریزی استریوگرافی اغلب به عنوان برآمدگی نیمکره پایین با زاویه مساوی شناخته می شود . برجستگی نیمکره پایین‌تر با مساحت مساوی که توسط پیش‌بینی سطح مساوی آزیموتال لامبرت تعریف شده است نیز استفاده می‌شود، به‌ویژه زمانی که طرح قرار است در معرض تحلیل‌های آماری بعدی مانند کانتورینگ چگالی قرار گیرد .

عکاسی [ ویرایش ]

طرح استریوگرافی پانورامای کروی مجسمه شام آخر اثر میکل ودانی در اسینو لاریو ، لمباردی، ایتالیا در طول ویکیمانیا 2016

"Vue circulaire des montagnes qu'on découvre du sommet du glacier de buet"، هوراس بندیکت دو سوسور، Voyage dans les Alpes، precédés d'un essai sur l'histoire naturelle des environs de geneve . نوشاتل، 1779–96، pl. 8.

برخی از لنزهای چشم ماهی از یک برجستگی استریوگرافی برای گرفتن نمایی با زاویه باز استفاده می کنند. [14] در مقایسه با لنزهای سنتی‌تر چشم ماهی که از برجستگی با مساحت مساوی استفاده می‌کنند، نواحی نزدیک به لبه شکل خود را حفظ می‌کنند و خطوط مستقیم خمیدگی کمتری دارند. با این حال، لنزهای چشم ماهی استریوگرافی معمولاً گران‌تر هستند. [15] نرم‌افزار نقشه‌برداری مجدد تصویر، مانند Panotools ، امکان نقشه‌برداری مجدد خودکار عکس‌ها را از یک چشم ماهی با ناحیه مساوی به یک طرح استریوگرافی می‌دهد.

طرح استریوگرافی برای نقشه برداری پانورامای کروی استفاده شده است ، که با هوراس بندیکت دو سوسور در سال 1779 شروع شد. این منجر به افکت هایی می شود که به عنوان یک سیاره کوچک (زمانی که مرکز طرح ریزی نادر است ) و یک لوله (زمانی که مرکز طرح ریزی است) شناخته می شود. است اوج ). [16]

محبوبیت استفاده از پیش‌بینی‌های استریوگرافی برای نگاشت پانوراما نسبت به سایر پیش‌بینی‌های آزیموتال به حفظ شکلی که از تطابق تصویر ناشی می‌شود نسبت داده می‌شود. [16]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Stereographic_projection

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و چهارم آبان ۱۴۰۰ ساعت 17:51 توسط علی رضا نقش نیلچی |

استریوگرافی تصویری

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

تصویر سه بعدی از طرح ریزی استریوگرافی از قطب شمال بر روی صفحه زیر کره

طرح ریزی گرافیکی
بخشی از یک سریال در

نشان دادن مسطح
نشان دادن بازدیدها
نشان دادن موضوعات
v تی ه

در هندسه ، طرح ریزی استریوگرافی یک نقشه برداری ( تابع ) خاص است که یک کره را روی یک صفحه نمایش می دهد . برجستگی بر روی کل کره تعریف شده است، به جز در یک نقطه: نقطه طرح. در جایی که تعریف شده است، نقشه برداری صاف و دوطرفه است . این منسجم ، به این معنی است که آن را حفظ زاویه که در آن منحنی دیدار خواهد کرد. نه ایزومتریک است و نه مساحت را حفظ می کند: یعنی نه فواصل را حفظ می کند و نه مساحت شکل ها را.

بنابراین، به طور شهودی، طرح ریزی استریوگرافی راهی برای به تصویر کشیدن کره به عنوان صفحه، با برخی مصالحه های اجتناب ناپذیر است. از آنجایی که کره و صفحه در بسیاری از زمینه‌های ریاضیات و کاربردهای آن ظاهر می‌شوند، پیش‌بینی استریوگرافیک نیز ظاهر می‌شود. در زمینه های مختلفی از جمله تحلیل پیچیده ، نقشه برداری ، زمین شناسی و عکاسی استفاده می شود . در عمل، طرح ریزی توسط کامپیوتر یا با دست و با استفاده از نوع خاصی از کاغذ گراف به نام شبکه استریوگرافی ، کوتاه شده به استریونت یا شبکه Wulff انجام می شود .

فهرست

تاریخچه [ ویرایش ]

تصویری از روبنس برای "Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles" توسط فرانسوا دآگیلون . این اصل یک طرح چشم انداز کلی را نشان می دهد که طرح ریزی استریوگرافی یک مورد خاص از آن است.

برجستگی استریوگرافی برای هیپارخوس ، بطلمیوس و احتمالاً پیش از آن برای مصریان شناخته شده بود . در ابتدا به عنوان طرح ریزی صفحه کره شناخته می شد. [1] Planisphaerium اثر بطلمیوس قدیمی ترین سند باقی مانده است که آن را توصیف می کند. یکی از مهمترین کاربردهای آن نمایش نمودارهای آسمانی بود . [1] اصطلاح planisphere هنوز برای اشاره به چنین نمودارهایی استفاده می شود.

در قرن 16 و 17، جنبه استوایی تصویر استریوگرافی معمولاً برای نقشه‌های نیمکره شرقی و غربی استفاده می‌شد . اعتقاد بر این است که قبلاً نقشه ای که در سال 1507 توسط گوالتریوس لود [2] ایجاد شد، مانند نقشه های ژان رز (1542)، رومولد مرکاتور (1595)، و بسیاری دیگر ، در طرح ریزی استریوگرافی قرار داشت . [3] در نمودارهای ستاره ای، حتی این جنبه استوایی قبلاً توسط ستاره شناسان باستانی مانند بطلمیوس استفاده شده بود . [4]

فرانسوا دآگیلون در اثر خود در سال 1613 Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles (شش کتاب اپتیک که برای فیلسوفان و ریاضیدانان مفید است) نام فعلی خود را به تصویر استریوگرافی داد . [5]

در سال 1695، ادموند هالی ، با انگیزه علاقه‌اش به نمودارهای ستاره‌ای ، اولین اثبات ریاضی را مبنی بر مطابقت این نقشه منتشر کرد . [6] او از ابزار حساب دیفرانسیل و انتگرال که به تازگی توسط دوستش اسحاق نیوتن اختراع شده است، استفاده کرد .

تعریف [ ویرایش ]

فرمول اول [ ویرایش ]

طرح ریزی استریوگرافیک کره واحد از قطب شمال بر روی صفحه z = 0 ، در اینجا در مقطع نشان داده شده است.

حوزه واحد S 2 در سه بعدی فضای R 3 مجموعه ای از نقاط است ( X ، Y ، Z ) به طوری که ایکس 2 + Y 2 + Z 2 = 1 . اجازه دهید N = (0، 0، 1) "قطب شمال" باشد و M بقیه کره باشد. صفحه z = 0 از مرکز کره می گذرد. "استوا" محل تلاقی کره با این صفحه است.

برای هر نقطه P در M ، یک خط منحصر به فرد از N و P وجود دارد ، و این خط صفحه z = 0 را دقیقاً در یک نقطه P' قطع می کند . تعریف طرح stereographic از P به این نقطه P ' در هواپیما.

در مختصات دکارتی ( x , y , z ) روی کره و ( X , Y ) در صفحه، برآمدگی و معکوس آن با فرمول به دست می آید.

${\begin{aligned}(X,Y)&=\left({\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right),\\ (x,y,z)&=\left({\frac {2X}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {2Y}{1+X^{2}+ Y^{2}}}،{\frac {-1+X^{2}+Y^{2}}{1+X^{2}+Y^{2}}}\right).\end{ هم راستا}}$

در مختصات کروی ( φ ، θ ) در حوزه (با φ زاویه اوج ، 0 ≤ φ ≤ پی ، و تتا زاویه ، 0 ≤ θ ≤ 2π ) و مختصات قطبی ( R ، Θ ) در هواپیما، طرح و معکوس آن هستند

${\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left({\frac {\sin \varphi }{1-\cos \varphi }},\theta \right)=\left(\cot {\frac {\varphi }{2}},\theta \right),\\(\varphi ,\theta )&=\left(2\arctan {\frac {1}{R}},\Theta \right ).\end{تراز شده}}$

در اینجا، زمانی که R = 0 ، φ دارای مقدار π است. همچنین، راه‌های زیادی برای بازنویسی این فرمول‌ها با استفاده از هویت‌های مثلثاتی وجود دارد . در مختصات استوانه ای ( r , θ , z ) روی کره و مختصات قطبی ( R , Θ ) روی صفحه، برآمدگی و معکوس آن عبارتند از

${\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left({\frac {r}{1-z}},\theta \right),\\(r,\theta ,z)& =\left({\frac {2R}{1+R^{2}}},\Theta ,{\frac {R^{2}-1}{R^{2}+1}}\right). \end{تراز شده}}$

سایر کنوانسیون ها [ ویرایش ]

طرح ریزی استریوگرافیک کره واحد از قطب شمال بر روی صفحه z = -1 ، در اینجا در مقطع نشان داده شده است.

برخی از نویسندگان [7] طرح ریزی استریوگرافیک را از قطب شمال (0، 0، 1) روی صفحه z = -1 تعریف می کنند ، که مماس بر واحد کره در قطب جنوب است (0، 0، -1). مقادیر X و Y تولید شده توسط این برجستگی دقیقاً دو برابر مقادیر تولید شده توسط برجستگی استوایی است که در بخش قبل توضیح داده شد. به عنوان مثال، این طرح استوا را به دایره شعاع 2 که در مرکز مبدا قرار دارد می فرستد. در حالی که برجستگی استوایی هیچ اعوجاج ناحیه بینهایت کوچکی را در امتداد استوا ایجاد نمی کند، این برجستگی مماس قطب در عوض هیچ اعوجاج ناحیه بی نهایت کوچکی در قطب جنوب ایجاد نمی کند.

سایر نویسندگان [8] از کره ای با شعاع استفاده می کنند1/2و صفحه z = −1/2. در این حالت فرمول ها تبدیل می شوند

${\begin{aligned}(x,y,z)\arrow (\xi ,\eta )&=\left({\frac {x}{{\frac {1}{2}}-z} },{\frac {y}{{\frac {1}{2}}-z}}\right),\\(\xi ,\eta )\right arrow (x,y,z)&=\left( {\frac {\xi }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {\eta }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}} },{\frac {-1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}{2+2\xi ^{2}+2\eta ^{2}}}\right).\end{ هم راستا}}$

طرح ریزی استریوگرافی یک کره از نقطه Q به صفحه E که در اینجا به صورت مقطعی نشان داده شده است

به طور کلی، می توان از هر نقطه Q در کره بر روی هر صفحه E یک تصویر استریوگرافی تعریف کرد به طوری که

E عمود بر قطر از طریق Q است ، و
E حاوی Q نیست .

تا زمانی که E این شرایط را داشته باشد، برای هر نقطه P غیر از Q ، خط عبوری از P و Q دقیقاً در یک نقطه P' به E برخورد می کنند ، که به عنوان پیش بینی استریوگرافی P به E تعریف می شود . [9]

کلیات [ ویرایش ]

به طور کلی تر، طرح ریزی استریوگرافی ممکن است به واحد n - کره S n در فضای اقلیدسی -بعدی ( n + 1) E n +1 اعمال شود . اگر Q یک نقطه از S n و E یک ابرصفحه در E n +1 باشد ، آنگاه طرح تصویری یک نقطه P ∈ S n - { Q } نقطه P' تقاطع خط QP با E است . در مختصات دکارتی ( X من ، من از 0 تا N ) در S N و ( X من ، من از 1 تا N ) در E ، طرح ریزی از Q = (1، 0، 0، ...، 0) ∈ S N است با

$X_{i}={\frac {x_{i}}{1-x_{0}}}\quad (i{\text{ از }}1{\text{ تا }}n)$ .

تعریف کردن

$s^{2}=\sum _{j=1}^{n}X_{j}^{2}={\frac {1+x_{0}}{1-x_{0}}}$ ،

معکوس با داده می شود

$x_{0}={\frac {s^{2}-1}{s^{2}+1}}\quad {\text{and}}\quad x_{i}={\frac { 2X_{i}}{s^{2}+1}}\quad (i{\text{ از }}1{\text{ تا }}n)$ .

به طور کلی تر، فرض کنید که S یک ابرسطح چهارگانه (غیر منفرد) در فضای تصویری P n +1 است . به عبارت دیگر، S جایگاه صفرهای یک فرم درجه دوم غیر مفرد f ( x 0 , ..., x n +1 ) در مختصات همگن x i است . هر نقطه Q را در S و ابر صفحه E را در P n + 1 که حاوی Q نیست ثابت کنید . سپس طرح ریزی استریوگرافی یک نقطه Pدر S - { Q } نقطه تلاقی منحصر به فرد QP با E است . مانند قبل، طرح ریزی استریوگرافی خارج از یک مجموعه "کوچک" مطابق و معکوس است. طرح ریزی استریوگرافی، ابرسطح چهارگانه را به عنوان یک ابرسطح منطقی نشان می دهد . [10] این ساخت و ساز نقش مهمی در بازی می کند هندسه جبری و هندسه conformal .

خواص [ ویرایش ]

اولین تصویر استریوگرافی تعریف شده در بخش قبل، "قطب جنوب" (0، 0، -1) واحد کره را به (0، 0)، استوا را به دایره واحد ، نیمکره جنوبی را به ناحیه داخل دایره می فرستد. ، و نیمکره شمالی به منطقه خارج از دایره.

طرح ریزی در نقطه طرح N = (0، 0، 1) تعریف نشده است. محله های کوچک این نقطه به زیر مجموعه های هواپیما دور از (0، 0) فرستاده می شوند. هرچه P به (0، 0، 1) نزدیکتر باشد ، تصویر آن از (0، 0) در صفحه فاصله بیشتری دارد. به همین دلیل رایج است که از (0، 0، 1) به عنوان نگاشت به "بی نهایت" در صفحه صحبت می شود، و کره به عنوان تکمیل صفحه با افزودن یک نقطه در بی نهایت . این مفهوم در هندسه تصویری و تحلیل پیچیده کاربرد دارد. در صرفا توپولوژیک سطح، آن را نشان میدهد که چگونه کره است homeomorphic به فشرده نقطه از هواپیما.

در مختصات دکارتی یک نقطه P ( x , y , z ) روی کره و تصویر آن P' ( X , Y ) در صفحه یا هر دو نقطه گویا هستند یا هیچکدام از آنها:

$P\in \mathbb {Q} ^{3}\iff P'\in \mathbb {Q} ^{2}$

یک شبکه دکارتی در هواپیما به نظر می رسد که بر روی کره منحرف شده است. خطوط شبکه همچنان عمود هستند، اما مناطق مربع های شبکه با نزدیک شدن به قطب شمال کوچک می شوند.

یک شبکه قطبی در هواپیما به نظر می رسد که بر روی کره منحرف شده است. منحنی‌های شبکه همچنان عمود هستند، اما نواحی بخش‌های شبکه با نزدیک شدن به قطب شمال کوچک می‌شوند.

طرح ریزی استریوگرافی مطابق است، به این معنی که زوایایی را که منحنی ها از یکدیگر عبور می کنند حفظ می کند (شکل ها را ببینید). از سوی دیگر، طرح ریزی استریوگرافیک منطقه را حفظ نمی کند. به طور کلی، مساحت ناحیه ای از کره با مساحت برآمدگی آن بر روی صفحه برابر نیست. عنصر مساحت در مختصات ( X , Y ) توسط داده شده است

$dA = \frac{4}{(1 + X^2 + Y^2)^2} \; dX \; dY.$

در امتداد دایره واحد، جایی که X 2 + Y 2 = 1 ، هیچ تورمی سطح در حد وجود ندارد، که ضریب مقیاس 1 را به دست می‌دهد. نواحی نزدیک (0، 0) با ضریب 4 متورم می‌شوند و نواحی نزدیک به بی‌نهایت. توسط عوامل خودسرانه کوچک متورم می شوند.

متریک در مختصات ( X , Y ) توسط داده شده است

$\frac{4}{(1 + X^2 + Y^2)^2} \; (dX^2 + dY^2)،$

و فرمول منحصر به فرد در پیدا برنهارد ریمان را Habilitationsschrift بر روی پایه های هندسه، در گوتینگن در سال 1854 تحویل داده و تحت عنوان جان Über Hypothesen welche DER هندسه زو Grunde liegen .

هیچ نقشه ای از کره به صفحه نمی تواند هم منسجم و هم منطقه را حفظ کند. اگر چنین بود، یک ایزومتریک محلی بود و انحنای گاوسی را حفظ می کرد . کره و صفحه دارای انحنای گاوسی متفاوتی هستند، بنابراین این غیرممکن است.

دایره‌های روی کره که از نقطه‌ی برآمدگی عبور نمی‌کنند به دایره‌هایی روی صفحه نمایش داده می‌شوند. از کجا مخرب در حوزه که انجام عبور از نقطه طرح به خطوط مستقیم در بینی هواپیما. گاهی اوقات این خطوط به صورت دایره هایی در نقطه بینهایت یا دایره هایی با شعاع بی نهایت در نظر گرفته می شوند.

همه خطوط در صفحه، هنگامی که برعکس برآمدگی استریوگرافی به دایره‌هایی روی کره تبدیل می‌شوند، در نقطه طرح‌ریزی به هم می‌رسند. خطوط موازی که در صفحه تلاقی نمی کنند، به دایره های مماس در نقطه طرح تبدیل می شوند. خطوط متقاطع به دایره هایی تبدیل می شوند که به صورت عرضی در دو نقطه از کره که یکی از آنها نقطه طرح است، قطع می شوند. (اظهارات مشابهی در مورد صفحه نمایش واقعی وجود دارد ، اما روابط تقاطع در آنجا متفاوت است.)

کره، با لوکسودروم های مختلف که با رنگ های مشخص نشان داده شده است

loxodromes از حوزه نقشه به منحنی در هواپیما از فرم

$R=e^{\Theta /a},\,$

که در آن پارامتر a "سفتی" لوکسودروم را اندازه گیری می کند. بنابراین لوکسودروم ها با مارپیچ های لگاریتمی مطابقت دارند . این مارپیچ ها خطوط شعاعی را در صفحه در زوایای مساوی قطع می کنند، درست همانطور که لوکسودروم ها نصف النهارهای کره را در زوایای مساوی قطع می کنند.

طرح ریزی استریوگرافی به روشی ساده به وارونگی صفحه مربوط می شود. فرض کنید P و Q دو نقطه روی کره با برآمدگی های P' و Q' روی صفحه باشند. سپس P' و Q' تصاویر معکوس یکدیگر در تصویر دایره استوایی هستند اگر و فقط اگر P و Q بازتابی از یکدیگر در صفحه استوایی باشند.

به عبارت دیگر، اگر:

P یک نقطه روی کره است، اما نه یک "قطب شمال" N و نه پادپای آن، "قطب جنوب" S ،
P' تصویر P در یک برآمدگی استریوگرافی با نقطه طرح N و است
P″ تصویر P در یک برجستگی استریوگرافی با نقطه طرح S است .

سپس P' و P″ تصاویر وارونه از یکدیگر در دایره واحد هستند.

$\triangle NOP^\prime \sim \triangle P^{\prime\prime}OS \implies OP^\prime:ON = OS : OP^{\prime\prime} \implies OP^\prime \cdot OP^{\ prime\prime} = r^2$

Wulff net [ ویرایش ]

شبکه Wulff یا استریونت، برای ساختن طرح‌های برآمدگی استریوگرافی با دست استفاده می‌شود

تولید یک شبکه Wulff (شبکه دایره ای در دایره قرمز) توسط یک برجستگی استریوگرافی با مرکز C و صفحه پیش بینی $\pi$

نمودارهای طرح ریزی استریوگرافی را می توان توسط یک کامپیوتر با استفاده از فرمول های صریح ارائه شده در بالا انجام داد. با این حال، برای ترسیم نمودار با دست، این فرمول‌ها سخت هستند. در عوض، استفاده از کاغذ گراف که به طور خاص برای این کار طراحی شده است، رایج است. این کاغذ گراف مخصوص به نام کانی شناس روسی جورج (یوری ویکتورویچ) وولف ، شبکه استریونت یا ولف شبکه نامیده می شود . [11]

شبکه Wulff که در اینجا نشان داده شده است، طرح استریوگرافی شبکه موازی ها و نصف النهارهای یک نیمکره است که در نقطه ای از خط استوا (مانند نیمکره شرقی یا غربی یک سیاره) متمرکز شده است .

در شکل، خاصیت انحراف سطح تصویر استریوگرافی را می توان با مقایسه یک بخش شبکه در نزدیکی مرکز شبکه با یک بخش در سمت راست یا چپ مشاهده کرد. دو بخش دارای مناطق مساوی در کره هستند. روی دیسک، دومی تقریباً چهار برابر مساحت اولی دارد. اگر شبکه ریزتر ساخته شود، این نسبت دقیقاً به 4 نزدیک می شود.

در شبکه Wulff، تصاویر موازی ها و نصف النهارها در زوایای قائم قطع می شوند. این خاصیت متعامد نتیجه خاصیت حفظ زاویه پروجکشن استریوسکوپی است. (با این حال، ویژگی حفظ زاویه قوی تر از این ویژگی است. تمام برجستگی هایی که متعامد بودن موازی ها و نصف النهارها را حفظ می کنند، حفظ زاویه نیستند.)

تصویر مراحل 1 تا 4 برای ترسیم یک نقطه بر روی شبکه Wulff

برای مثالی از استفاده از شبکه Wulff، دو نسخه از آن را روی کاغذ نازک تصور کنید، یکی روی دیگری، تراز شده و در مرکز متقابل آنها چسبانده شده است. فرض کنید P نقطه روی نیمکره واحد پایینی باشد که مختصات کروی آن (140 درجه، 60 درجه) و مختصات دکارتی آن (0.321، 0.557، -0.766) است. این نقطه روی خطی قرار دارد که 60 درجه خلاف جهت عقربه های ساعت از محور x مثبت (یا 30 درجه در جهت عقربه های ساعت از محور مثبت y ) و 50 درجه زیر صفحه افقی z = 0 قرار دارد . وقتی این زوایا مشخص شد، چهار مرحله برای رسم P وجود دارد :

با استفاده از خطوط شبکه ای که در شکل های اینجا 10 درجه از هم فاصله دارند، نقطه روی لبه توری را که 60 درجه خلاف جهت عقربه های ساعت از نقطه (1، 0) (یا 30 درجه در جهت عقربه های ساعت از نقطه (0، 1) است علامت بزنید. )).
تور بالایی را بچرخانید تا این نقطه با (1، 0) در شبکه پایین تراز شود.
با استفاده از خطوط شبکه روی شبکه پایین، نقطه ای را که 50 درجه به سمت مرکز است از آن نقطه علامت بزنید.
توری بالایی را برخلاف جهت قبلی بچرخانید تا با تور پایینی هم تراز شود. نقطه مشخص شده در مرحله 3 سپس طرح مورد نظر ما است.

برای ترسیم نقاط دیگر که زوایای آنها اعداد گردی مانند 60 درجه و 50 درجه نیستند، باید بین نزدیکترین خطوط شبکه به صورت بصری درون یابی کرد. داشتن توری با فاصله کمتر از 10 درجه مفید است. فاصله های 2 درجه رایج است.

برای یافتن زاویه مرکزی بین دو نقطه روی کره بر اساس نمودار استریوگرافی آنها، طرح را روی یک شبکه Wulff قرار دهید و نمودار را حول مرکز بچرخانید تا دو نقطه روی یا نزدیک یک نصف النهار قرار گیرند. سپس زاویه بین آنها را با شمارش خطوط شبکه در امتداد آن نصف النهار اندازه گیری کنید.

دو نقطه P 1 و P 2 بر روی یک ورق شفاف که در مبدا تور Wulff چسبانده شده است، کشیده شده است.
ورق شفاف چرخانده می شود و زاویه مرکزی در امتداد نصف النهار مشترک به هر دو نقطه P 1 و P 2 خوانده می شود .

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و چهارم آبان ۱۴۰۰ ساعت 17:47 توسط علی رضا نقش نیلچی |

گنجنگاری تصویری

+ نوشته شده در دوشنبه بیست و چهارم آبان ۱۴۰۰ ساعت 17:42 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه گروه متقارن 3

گروه های درجه پایین [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: نظریه بازنمایی گروه متقارن § موارد خاص

گروه‌های متقارن درجه پایین ساختار ساده‌تر و استثنایی‌تری دارند و اغلب باید جداگانه مورد بررسی قرار گیرند.

S 0 و S 1

گروه های متقارن در مجموعه خالی و مجموعه تکی بی اهمیت هستند که با 0 مطابقت دارد ! = 1! = 1 . در این مورد، گروه متناوب با گروه متقارن موافق است، نه اینکه زیرگروه شاخص 2 باشد، و نقشه نشانه بی اهمیت است. در مورد S 0 ، تنها عضو آن تابع خالی است .

S 2

این گروه دقیقاً از دو عنصر تشکیل شده است: هویت و جایگشت مبادله دو نقطه. این یک گروه حلقوی است و بنابراین آبلی است . در تئوری گالوا ، این با این واقعیت مطابقت دارد که فرمول درجه دوم یک راه حل مستقیم برای چند جمله ای درجه دوم پس از استخراج تنها یک ریشه می دهد. در تئوری ثابت ، نظریه نمایش گروه متقارن در دو نقطه بسیار ساده است و به صورت نوشتن تابعی از دو متغیر به عنوان مجموع اجزای متقارن و ضد متقارن آن دیده می شود: تنظیم f s ( x , y ) = f ( X ،y ) + f ( y ، x ) ، و f a ( x ، y ) = f ( x ، y ) − f ( y ، x ) ، می توان دریافت که 2⋅ f = f s + f a . این فرآیند به عنوان تقارن شناخته می شود.

S 3

S 3 اولین گروه متقارن غیرآبلی است. این گروه نسبت به گروه دو وجهی مرتبه 6 ، گروه تقارن انعکاس و چرخش یک مثلث متساوی الاضلاع ، هم شکل است، زیرا این تقارن ها سه رأس مثلث را تغییر می دهند. دور های طول دو با بازتاب ها مطابقت دارند و دور های طول سه چرخش هستند. در تئوری گالوا، نقشه علامت از S 3 به S 2 مربوط به درجه دوم حل برای یک چند جمله ای مکعب ، به عنوان کشف جرلامو کاردانو ، در حالی که از A 3 مربوط کرنل استفاده از تبدیل فوریه گسسته از سفارش 3 در راه حل، در قالبresolvents لاگرانژ . [ نیازمند منبع ]

S 4

گروه S 4 به گروه چرخش های مناسب حول وجوه مخالف، مورب های مخالف و لبه های مخالف، جایگشت های 9، 8 و 6 مکعب هم شکل است . [5] فراتر از گروه A 4 ، S 4 دارای یک V چهار گروهی کلاین به عنوان یک زیرگروه نرمال مناسب است ، یعنی جابه‌جایی‌های زوج {(1)، (1 2) (3 4)، (1 3) (2 4) ، (1 4) (2 3)}، با ضریب S 3 . در تئوری گالوا ، این نقشه مربوط به تفکیک مکعب به یک چند جمله‌ای کوارتیک است ، که اجازه می‌دهد کوارتیک توسط رادیکال‌ها حل شود، همانطور که توسطاز لودوویک . گروه کلاین را می توان بر حسب حلال های لاگرانژ کوارتیک درک کرد. نقشه از S 4 تا S 3 همچنین یک نمایش تقلیل ناپذیر 2 بعدی به دست می دهد، که نمایشی غیرقابل تقلیل از یک گروه متقارن درجه n از بعد زیر n - 1 است که فقط برای n = 4 رخ می دهد .

S 5

S 5 اولین گروه متقارن غیر قابل حل است. همراه با گروه خطی ویژه SL(2, 5) و گروه ایکو وجهی A 5 × S 2 ، S 5 یکی از سه گروه غیرقابل حل از مرتبه 120 تا ایزومورفیسم است. S 5 است گروه گالوا به طور کلی معادله quintic ، و این واقعیت که S 5 نیست گروه قابل حل ترجمه را به عدم وجود یک فرمول کلی برای حل چند جمله ای های quintic توسط رادیکالهای. یک نقشه گنجاندن عجیب و غریب S 5 → S 6 به عنوان یک وجود داردزیر گروه متعدی ; نقشه گنجاندن آشکار S n → S n +1 یک نقطه را ثابت می کند و بنابراین انتقالی نیست. این منجر به های خودریختی بیرونی S 6 ، در زیر مورد بحث، و مربوط به sextic حل یک های quintic.

S 6

بر خلاف سایر گروه های متقارن، S 6 دارای یک خودریختی بیرونی است . با استفاده از زبان تئوری گالوا ، این را می توان بر حسب حلال های لاگرانژ نیز فهمید . حل یک های quintic است از درجه 6-این مربوط به یک نقشه گنجاندن عجیب و غریب S 5 → S 6 به عنوان یک زیر گروه متعدی (نقشه گنجاندن آشکار S N → S N 1 رفع یک نقطه و در نتیجه متعدی نیست) و، در حالی که این نقشه، پنجاه کلی را قابل حل نمی کند، بلکه خودریختی بیرونی عجیب و غریب S 6 را به دست می دهد - برای جزئیات، به خودریختیs از گروه های متقارن و متناوب مراجعه کنید.

توجه داشته باشید که در حالی که A 6 و A 7 دارای ضریب Schur استثنایی (یک پوشش سه گانه ) هستند و اینها به پوشش های سه گانه S 6 و S 7 گسترش می یابند ، اینها با ضرب کننده های Schur استثنایی گروه متقارن مطابقت ندارند.

نقشه های بین گروه های متقارن [ ویرایش ]

به غیر از نقشه ساده S n → C 1 ≅ S 0 ≅ S 1 و نقشه نشانه S n → S 2 ، قابل توجه ترین هممورفیسم های بین گروه های متقارن به ترتیب بعد نسبی عبارتند از:

S 4 → S 3 مربوط به زیرگروه عادی استثنایی V
S 6 → S 6 (یا بهتر است بگوییم، یک کلاس از این نقشه ها تا خودریختی داخلی) مربوط به خودریختی بیرونی S 6 است .
S 5 → S 6 به عنوان یک زیر گروه گذرا، که خودریختی بیرونی S 6 را همانطور که در بالا مورد بحث قرار گرفت را ایجاد می کند.

همچنین یک میزبان از دیگر همریختی وجود دارد S m → S N که در آن m < N .

ارتباط با گروه متناوب [ ویرایش ]

برای N ≥ 5 از گروه متناوب N است ساده ، و خارج قسمت ناشی نقشه علامت است: N → S N → S 2 است که تقسیم با در نظر گرفتن تقدم و تاخر از دو عنصر. بنابراین S n حاصلضرب نیمه مستقیم A n ⋊ S 2 است و هیچ زیرگروه نرمال مناسب دیگری ندارد، زیرا آنها A n را در هر یک از این هویت ها قطع می کنند (و بنابراین خود هویت یا یک گروه 2 عنصری هستند که نرمال نیست) ، یا در A n (و بنابراین خودشان A n یا S n هستند ).

S N عمل می کند در زیر گروه آن N توسط صرف، و برای N ≠ 6 ، S N گروه خودریختی کامل از A است N : AUT (A N ) ≅ S N . صرف توسط عناصر زوج، خودریختی درونی A n هستند در حالی که خودریختی بیرونی A n درجه 2 مربوط به صرف توسط یک عنصر فرد است. برای n = 6 , یک خودریختی بیرونی استثنایی A n وجود دارد بنابراین S n گروه خودریختی کامل A n نیست .

برعکس، برای n ≠ 6 ، S n هیچ خودریختی بیرونی ندارد، و برای n ≠ 2 مرکز ندارد، بنابراین برای n ≠ 2، 6 یک گروه کامل است ، همانطور که در گروه خودریختی در زیر مورد بحث قرار گرفته است .

برای n ≥ 5 ، S n یک گروه تقریباً ساده است ، زیرا بین گروه ساده A n و گروه خودربختی آن قرار دارد.

S N را می توان به تعبیه شده N 2 با اضافه جابجایی ( N + 1، N + 2) به تمام جایگشت های عجیب و غریب، در حالی که تعبیه به A N 1 غیر ممکن است N > 1 .

مولدها و روابط [ ویرایش ]

گروه متقارن روی n حرف توسط جابجایی های مجاور ایجاد می شود $\sigma _{i}=(i,i+1)$ که i و i + 1 را با هم عوض کنید . [6] مجموعه $\sigma _{1}،\ldots،\sigma _{n-1}$ تولید S N به روابط زیر است: [7]

$\sigma _{i}^{2}=1,$
$\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}$ برای |ij|>1} $|ij|>1$ ، و
$(\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3}=1،$

که در آن 1 نشان دهنده جایگشت هویت است. این نمایش به گروه متقارن ساختار یک گروه کوکستر (و همچنین یک گروه بازتابی ) را می بخشد .

دیگر مجموعه های تولید امکان پذیر شامل مجموعه ای از ترانهش که مبادله 1 و من برای 2 ≤ من ≤ N ، [ نیازمند منبع ] و مجموعه ای شامل هر نفر دور و یک 2 دور عناصر مجاور در N دور. [8]

ساختار زیر گروه [ ویرایش ]

زیر گروه یک گروه متقارن است که به نام گروه جایگشت .

زیر گروه های معمولی [ ویرایش ]

زیر گروه نرمال از گروه متقارن متناهی به خوبی درک. اگر n ≤ 2 باشد ، S n حداکثر دارای 2 عنصر است و بنابراین هیچ زیرگروه مناسبی ندارد. گروه متناوب از درجه n را همیشه یک زیر گروه نرمال، یک مناسب برای N ≥ 2 و کوچک اما با اهمیت برای N ≥ 3 ؛ برای n ≥ 3 در واقع تنها زیرگروه نرمال غیر پیش پا افتاده S n است ، به جز زمانی که n = 4 است که در آن یک زیرگروه نرمال اضافی وجود دارد که هم شکل با گروه چهار کلاین است .

گروه متقارن روی یک مجموعه نامتناهی زیرگروهی از شاخص 2 ندارد، زیرا ویتالی (1915 [9] ) ثابت کرد که هر جایگشت را می توان به صورت حاصل ضرب سه مربع نوشت. با این حال، شامل زیرگروه S معمولی جایگشت است که همه عناصر به جز تعداد متناهیی را ثابت می کند، که توسط جابجایی ها ایجاد می شود. آن دسته از عناصر S که حاصل تعداد زوج جابجایی هستند، زیر گروهی از شاخص 2 در S را تشکیل می دهند که زیرگروه متناوب A نامیده می شود . از آنجایی که A حتی یک زیر گروه مشخصه از S است ، همچنین یک زیرگروه عادی از گروه متقارن کامل مجموعه نامتناهی است. گروه های Aو S تنها زیرگروه‌های نرمال غیر پیش پا افتاده از گروه متقارن در یک مجموعه نامتناهی قابل شمارش هستند. این اولین بار توسط اونوفری (1929 [10] ) و مستقلاً شرایر – اولام (1934 [11] ) اثبات شد . برای جزئیات بیشتر به ( Scott 1987 , Ch. 11.3) یا ( Dixon & Mortimer 1996 , Ch. 8.1) مراجعه کنید.

حداکثر زیر گروه ها [ ویرایش ]

این بخش نیاز به گسترش دارد . شما می توانید با اضافه کردن به آن کمک کنید . ( سپتامبر 2009 )

زیر گروه حداکثر فعل لازم است، imprimitive و ابتدایی: از گروه متقارن متناهی به سه دسته تقسیم می شوند زیرگروه‌های ماکزیمم غیرقابل انتقال دقیقاً به شکل Sym( k ) × Sym( n − k ) برای 1≤ k < n /2 هستند . زیرگروه‌های حداکثر ابتدایی دقیقاً آنهایی هستند که به شکل Sym( k ) wr Sym( n / k ) هستند که در آن 2 ≤ k ≤ n /2 مقسوم‌کننده مناسب n است و "wr" نشان‌دهنده حاصلضرب تاج گل است.بداهه عمل می کند شناسایی زیرگروه‌های حداکثر اولیه دشوارتر است، اما با کمک قضیه O'Nan-Scott و طبقه‌بندی گروه‌های ساده متناهی ، ( Liebeck, Praeger & Saxl 1988 ) توصیف نسبتاً رضایت‌بخشی از زیرگروه‌های حداکثر از این نوع ارائه کردند. با توجه به ( Dixon & Mortimer 1996 , p. 268).

زیر گروه های سیلو [ ویرایش ]

زیر گروه سیلو را از گروه های متقارن از نمونه های مهم هستند ص -groups . ابتدا در موارد خاص ساده تر توضیح داده می شوند:

زیرگروه های سیلو p از گروه متقارن درجه p فقط زیرگروه های حلقوی تولید شده توسط دور های p هستند. وجود دارد ( p − 1)!/( p − 1) = ( p − 2)! چنین زیرگروه هایی به سادگی با شمارش مولدها. معمول در نتیجه دارای سفارش ص ⋅ ( ص - 1) و به عنوان یک شناخته شده Frobenius به گروه F ص ( ص -1) (به خصوص برای ص = 5 ) است، و گروه affine به خطی عمومی ، AGL (1، ص ) .

زیرگروه های سیلو p از گروه متقارن درجه p 2 حاصل ضرب اکلیل دو گروه دور ای مرتبه p هستند . به عنوان مثال، وقتی p = 3 ، یک زیرگروه سیلو 3 از Sym(9) توسط a = (1 4 7) (2 5 8) (3 6 9) و عناصر x = (1 2 3)، y تولید می شود. = (4 5 6)، Z = (7 8 9) ، و هر عنصر از سیلو را 3-زیر گروه به صورت زیر است من X J Y K Z L برای 0 $0\leq i,j,k,l\leq 2$ .

زیرگروه‌های سیلو p از گروه متقارن درجه p n گاهی اوقات با W p ( n ) نشان داده می‌شوند ، و با استفاده از این نماد نشان می‌دهیم که W p ( n + 1) حاصل ضرب تاج W p ( n ) و W p ( 1).

به طور کلی، زیرگروه های سیلو p از گروه متقارن درجه n حاصلضرب مستقیم a i کپی های W p ( i ) هستند، که در آن 0 ≤ a i ≤ p − 1 و n = a 0 + p ⋅ a 1 + ... + p k ⋅ a k ( بسط p پایه n ).

برای مثال، W 2 (1) = C 2 و W 2 (2) = D 8 ، گروه دو وجهی مرتبه 8 ، و بنابراین یک زیر گروه سیلو 2 از گروه متقارن درجه 7 توسط { (1،3) ایجاد می شود. )(2،4)، (1،2)، (3،4)، (5،6) } و هم شکل D 8 × C 2 است .

این محاسبات به ( کالوجنین 1948 ) نسبت داده شده و با جزئیات بیشتر در ( روتمن 1995 , p. 176) توضیح داده شده است . با این حال توجه داشته باشید که ( کربر 1971 ، ص 26) نتیجه را به اثر کوشی در سال 1844 نسبت می دهد ، و ذکر می کند که حتی به صورت کتاب درسی در ( نتو 1882 ، §39-40) پوشش داده شده است.

زیرگروه های گذرا [ ویرایش ]

زیر گروه متعدی از S N یک زیر گروه که عمل در {1، 2،، ...، است N } است متعدی . به عنوان مثال، گروه گالوا از یک پسوند ( متناهی ) گالوا یک زیرگروه متعدی از S n است ، برای برخی n .

قضیه کیلی [ ویرایش ]

قضیه کیلی بیان می‌کند که هر گروه G نسبت به زیر گروهی از یک گروه متقارن هم شکل است. به ویژه، می توان زیر گروهی از گروه متقارن را روی عناصر G در نظر گرفت ، زیرا هر گروه با ضرب (چپ یا راست) صادقانه روی خود عمل می کند.

گروه خودریختی [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: خودریختی های گروه های متقارن و متناوب

n	Aut(S n )	خارج (S n )	Z(S n )
n ≠ 2، 6	S n	ج 1	ج 1
n = 2	ج 1	ج 1	S 2
n = 6	S 6 ⋊ C 2	ج 2	ج 1

برای n ≠ 2، 6 ، S n یک گروه کامل است : مرکز و گروه خودریختی بیرونی آن هر دو بی اهمیت هستند.

برای N = 2 ، گروه خودریختی بی اهمیت است، اما S 2 است و ناچیز نیست: آن ریخت است به C 2 است که آبلی، و از این رو مرکز کل گروه است.

برای n = 6 ، دارای یک خودریختی بیرونی از مرتبه 2 است: Out(S 6 ) = C 2 ، و گروه خودریختی یک ضرب نیمه مستقیم Aut(S 6 ) = S 6 ⋊ C 2 است .

در واقع، برای هر مجموعه X از کاردینالیته غیر از 6، هر خودریختی گروه متقارن در X درونی است، نتیجه ای که ابتدا به دلیل ( Schreier & Ulam 1937 ) مطابق با ( Dixon & Mortimer 1996 , p. 259) است.

همسانی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: گروه متناوب § همسانی گروهی

همسانی گروه از S N کاملا منظم است و تثبیت: اولین همسانی (مشخص است، جابجایی ) است:

$H_{1}(\mathrm {S} _{n}،\mathbf {Z} )={\begin{موارد}0&n<2\\\mathbf {Z} /2&n\geq 2.\end{موارد}}$

گروه همسانی اول جابجایی است، و مربوط به نقشه علامت S N → S 2 است که جابجایی برای N ≥ 2؛ برای n < 2 گروه متقارن بی اهمیت است. این همسانی است که به راحتی به شرح زیر محاسبه می شود: S N است involutions غیر (2-دور، که سفارش 2) تولید شده است، به طوری که نقشه تنها غیر بدیهی S N → C ص به S هستند 2 و involutions غیر هستند مزدوج، از این رو بر روی نقشه به همان عنصر در جابجایی (از آنجایی که صرف در گروه های آبلی بی اهمیت است). بنابراین تنها نقشه های ممکن S n → S 2 ≅ {±1}یک involution به 1 (نقشه بی اهمیت) یا -1 (نقشه علامت) ارسال کنید. همچنین باید نشان داد که نقشه نشانه به خوبی تعریف شده است، اما با فرض این، این اولین همسانی S n را به دست می دهد .

دومین همسانی (به طور مشخص، ضرب کننده Schur ) این است:

$H_{2}(\mathrm {S} _{n},\mathbf {Z} )={\begin{موارد}0&n<4\\\mathbf {Z} /2&n\geq 4.\end{موارد}}$

این در ( Schur 1911 ) محاسبه شد ، و مربوط به پوشش دوگانه گروه متقارن ، 2 · S n است .

توجه داشته باشید که همسانی استثنایی کم بعدی گروه متناوب $H_{1}(\mathrm {A} _{3})\cong H_{1}(\mathrm {A} _{4})\cong \mathrm {C} _{3}،$ مربوط به جابجایی غیر پیش پا افتاده، و $H_{2}(\mathrm {A} _{6})\cong H_{2}(\mathrm {A} _{7})\cong \mathrm {C} _{6}،$ به دلیل پوشش استثنایی 3 برابری) همسانی گروه متقارن را تغییر نمی دهد. پدیده های گروه متناوب پدیده های گروه متقارن را به دست می دهند - نقشه $\mathrm {A} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {C} _{3}$ گسترش می یابد به $\mathrm {S} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {S} _{3}،$ و پوشش های سه گانه A 6 و A 7 به پوشش های سه گانه S 6 و S 7 گسترش می یابند - اما اینها همسان نیستند - نقشه \ $\mathrm {S} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {S} _{3}$ جابجایی S 4 را تغییر نمی دهد و پوشش های سه گانه نیز با همسانی مطابقت ندارند.

همسانی "تثبیت" در مفهوم homotopy پایدار نظریه: یک نقشه گنجاندن وجود دارد S N → S N 1 ، و برای ثابت K ، نقشه ناشی در همسانی H K (S N ) → H K (S N 1 ) یک ایزومورفیسم برای n به اندازه کافی زیاد است . این شبیه به همسانی خانواده‌هایی است که گروه‌های لی تثبیت می‌کنند.

همسانی گروه متقارن نامتناهی در ( ناکائوکا 1961 ) محاسبه می‌شود و جبر هم‌شناسی یک جبر Hopf را تشکیل می‌دهد .

نظریه بازنمایی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه بازنمایی گروه متقارن

تئوری نمایندگی از گروه متقارن یک مورد خاص از است تئوری نمایندگی از گروه های متناهی ، که برای آن بتن و تئوری دقیق می توان بدست آورد. این حوزه کاربردهای بالقوه زیادی دارد، از نظریه تابع متقارن گرفته تا مسائل مکانیک کوانتومی برای تعدادی از ذرات یکسان .

گروه متقارن S n دارای نظم n است . کلاس های مزدوج آن با پارتیشن های n برچسب گذاری می شوند . بنابراین، بر اساس نظریه نمایش یک گروه متناهی، تعداد نمایش‌های کاهش ناپذیر نامتعادل ، بر روی اعداد مختلط ، برابر است با تعداد بخش‌های n . برخلاف وضعیت کلی برای گروه‌های متناهی، در واقع یک راه طبیعی برای پاراmی کردن نمایش غیرقابل تقلیل توسط همان مجموعه‌ای وجود دارد که کلاس‌های مزدوج را پاراmیزه می‌کند، یعنی با افرازهای n یا نمودارهای جوان به اندازه n .

هر یک از این نمایش های تقلیل ناپذیر را می توان بر روی اعداد صحیح (هر جایگشتی که توسط ماتریسی با ضرایب صحیح عمل می کند) تحقق یابد. می توان آن را به صراحت با محاسبه متقارن کننده های یانگ که بر روی فضایی که توسط تابلوهای شکل یانگ ارائه شده توسط نمودار یانگ ایجاد می شود، ساخت.

در زمینه های دیگر ، وضعیت می تواند بسیار پیچیده تر شود. اگر میدان K است مشخصه برابر با صفر یا بزرگتر از N و سپس با قضیه است مشکه به گروه جبر K S N نیم ساده است. در این موارد، نمایش‌های کاهش ناپذیری که روی اعداد صحیح تعریف شده‌اند، مجموعه کاملی از نمایش‌های کاهش ناپذیر را ارائه می‌دهند (در صورت لزوم، پس از مدول کاهش، مشخصه را در صورت لزوم).

با این حال، نمایش‌های کاهش ناپذیر گروه متقارن در ویژگی دلخواه شناخته نمی‌شوند. در این زمینه، استفاده از زبان ماژول‌ها به جای نمایش‌ها معمول‌تر است. نمایش به دست آمده از یک نمایش غیرقابل تقلیل تعریف شده بر روی اعداد صحیح با کاهش مدول مشخصه به طور کلی غیر قابل تقلیل نخواهد بود. ماژول‌هایی که به این ترتیب ساخته می‌شوند ، ماژول‌های Specht نامیده می‌شوند و هر کاهش‌ناپذیری در داخل برخی از این ماژول‌ها ایجاد می‌شود. در حال حاضر موارد کاهش ناپذیر کmی وجود دارد، و اگرچه می توان آنها را طبقه بندی کرد، اما درک آنها بسیار ضعیف است. به عنوان مثال حتی ابعاد آنها به طور کلی مشخص نیست.

تعیین ماژول های تقلیل ناپذیر برای گروه متقارن در یک میدان دلخواه به طور گسترده به عنوان یکی از مهم ترین مسائل باز در نظریه نمایش در نظر گرفته می شود.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_group

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و سوم آبان ۱۴۰۰ ساعت 2:25 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه گروه متقارن 1

نباید با گروه متقارن اشتباه گرفته شود .

گراف کیلی از گروه متقارن S 4

جدول کیلی از گروه متقارن S 3
( جدول ضرب از ماتریس جایگشت )

این مواضع از شش ماتریس عبارتند از: برخی ماتریس به طور متقارن به قطر اصلی مرتب نشده - در نتیجه گروه متقارن است آبلی است.

ساختار جبری ← نظریه
گروه نظریه گروه

نشان دادن

مفاهیم اساسی

پنهان شدن

گروه های محدود

طبقه بندی گروه های ساده محدود

گروه فروبنیوس

ضرب کننده Schur

گروه متقارن S n

نشان دادن

گروه های توپولوژیکی و لی

نشان دادن

گروه های جبری

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و سوم آبان ۱۴۰۰ ساعت 2:12 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ادامه گروه متقارن 2

در جبر مجرد ، گروه متقارن تعریف شده بر روی هر مجموعه ، گروهی است که عناصر آن همه انقباضات مجموعه به خودش هستند و عملیات گروهی آن ترکیب توابع است . به ویژه، گروه متقارن متناهی $\mathrm {S} _{n}$ تعریف شده بر روی یک مجموعه متناهی از $n$ نمادها شامل جایگشت هایی است که می توان روی آن انجام داد $n$ نمادها [1] از آنجایی که وجود دارد $n$ ( $n$ فاکتوریل ) چنین عملیات جایگشتی، ترتیب (تعداد عناصر) گروه متقارن $\mathrm {S} _{n}$ است $n$ .

اگرچه گروه‌های متقارن را می‌توان بر روی مجموعه‌های نامتناهی تعریف کرد ، این مقاله بر روی گروه‌های متقارن متناهی تمرکز دارد: کاربردهای آنها، عناصر آنها ، کلاس‌های مزدوج آنها ، یک نمایش متناهی ، زیر گروه‌های آنها ، گروه‌های خودربختی آنها ، و نظریه بازنمایی آنها . در ادامه این مقاله، "گروه متقارن" به معنای یک گروه متقارن در یک مجموعه متناهی است.

گروه متقارن برای حوزه‌های مختلف ریاضیات مانند نظریه گالوا ، نظریه ثابت ، نظریه بازنمایی گروه‌های لی و ترکیبیات مهم است . قضیه کیلی بیان می کند که هر گروه $جی$ است متناظر به یک زیر گروه از گروه متقارن در (به مجموعه اساسی از) $جی$ .

فهرست

تعریف و اولین خصوصیات [ ویرایش ]

گروه متقارن در یک مجموعه متناهی $ایکس$ گروهی است که همه عناصر آن از توابع دوگانه هستند $ایکس$ به $ایکس$ و عملیات گروهی آن ترکیب تابع است . [1] برای مجموعه های متناهی، "جایگشت" و "توابع دوگانه" به همان عملیات، یعنی بازآرایی اشاره دارد. گروه متقارن درجه $n$ گروه متقارن روی مجموعه است $X=\{1,2,\ldots ,n\}$ .

گروه متقارن روی یک مجموعه $ایکس$ به طرق مختلف نشان داده می شود، از جمله $\mathrm {S} _{X}$ ، ${\mathfrak {S}}_{X}$ ، $\سیگما _{X}$ ، $X!$ ، و $\operatorname {Sym} (X)$ . [1] اگر $ایکس$ مجموعه است $\{1، 2، \ldots، n\}$ سپس نام ممکن است به اختصار باشد $\mathrm {S} _{n}$ ، ${\mathfrak {S}}_{n}$ ، $\سیگما _{n}$ ، یا $\operatorname {Sym} (n)$ . [1]

گروه های متقارن در مجموعه های نامتناهی کاملاً متفاوت از گروه های متقارن در مجموعه های متناهی رفتار می کنند و در ( اسکات 1987 ، فصل 11)، ( دیکسون و مورتیمر 1996 ، فصل 8)، و ( کامرون 1999 ) مورد بحث قرار می گیرند.

گروه متقارن در مجموعه ای از $n$ عناصر نظم دارد $n$ ( فاکتوریل از $n$ ). [2] اگر و فقط اگر آبلی است $n$ کمتر یا مساوی 2 است. [3] برای $n=0$ و $n=1$ ( مجموعه خالی و مجموعه تک تن )، گروه های متقارن بی اهمیت هستند (ترتیب دارند $0!=1!=1$ ). گروه S N است قابل حل اگر و تنها اگر $n\leq 4$ . این بخش اساسی از اثبات قضیه آبل-روفینی است که نشان می دهد که برای هر یک $n> 4$ وجود دارد چند جمله ای از درجه $n$ که با رادیکال قابل حل نیستند، یعنی با انجام تعداد متناهیی از عملیات جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و استخراج ریشه روی ضرایب چند جمله ای نمی توان جواب ها را بیان کرد.

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

گروه متقارن در مجموعه ای از اندازه N است گروه گالوا به طور کلی چند جمله ای از درجه n را و نقش مهمی را ایفا می کند در تئوری گالوا . در تئوری ثابت ، گروه متقارن بر روی متغیرهای یک تابع چند متغیره عمل می کند و توابع ثابت مانده به اصطلاح توابع متقارن هستند . در نظریه بازنمایی گروه‌های لی ، نظریه بازنمایی گروه متقارن از طریق ایده‌های تابع‌های شور نقش اساسی دارد . در تئوری گروه های کاکستر ، گروه متقارن، گروه کوکستر از نوع A استn و به عنوان گروه Weyl از گروه خطی عمومی رخ می دهد. در ترکیبیات ، گروه متقارن، عوامل آنها ( جایگشت )، و خود را بازنمایی ارائه یک منبع غنی از مشکلات مربوط به تابلو جوان ، monoids plactic و سفارش بروهات . گروه ها گروه های متقارن نامیده می شوند جایگشت گروه و به طور گسترده ای به دلیل اهمیت آنها در درک مورد مطالعه اقدامات گروه ، فضاهای همگن ، و گروه های خودریختی از نمودار ، مانندگروه سیمز هیگمن و نمودار هیگمن-سیمز .

عناصر [ ویرایش ]

عناصر گروه متقارن در یک مجموعه X هستند جایگشت از X .

ضرب [ ویرایش ]

عملیات گروهی در یک گروه متقارن، ترکیب تابعی است که با نماد ∘ یا صرفاً با کنار هم قرار دادن جایگشت ها نشان داده می شود. ترکیب f ∘ g جایگشت های f و g که " f از g " تلفظ می شود ، هر عنصر x از X را به f ( g ( x )) ترسیم می کند . بطور مشخص، اجازه دهید ( برای توضیح نمادگذاری به جایگشت مراجعه کنید ):

$f=(1\ 3)(4\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&1&5&4\end{pmatrix}}$

$g=(1\ 2\ 5)(3\ 4)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}}.$

اعمال f بعد از g نقشه های 1 به 2 و سپس 2 برای خودش. 2 به 5 و سپس به 4. 3 به 4 و سپس به 5 و غیره. بنابراین آهنگسازی f و g می دهد

$fg=f\circ g=(1\ 2\ 4)(3\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{pmatrix}}.$

یک دور به طول L = k · m که به توان k در نظر گرفته می شود، به k دور با طول m تجزیه می شود : به عنوان مثال، ( k = 2 ، m = 3 )،

$(1~2~3~4~5~6)^{2}=(1~3~5)(2~4~6).$

تأیید بدیهیات گروه [ ویرایش ]

برای بررسی اینکه آیا گروه متقارن در مجموعه X واقعاً یک گروه است ، لازم است که بدیهیات گروه بسته شدن، تداعی، هویت و معکوس بررسی شود. [4]

عملیات ترکیب تابع در مجموعه جایگشت های مجموعه داده شده X بسته است .
ترکیب تابع همیشه تداعی کننده است.
تقسیم بی اهمیتی که هر عنصر X را به خود اختصاص می دهد به عنوان یک هویت برای گروه عمل می کند.
هر بیجکشن تابعی معکوس دارد که عمل آن را خنثی می کند، و بنابراین هر عنصر از یک گروه متقارن دارای یک معکوس است که یک جایگشت نیز می باشد.

جابجایی، علامت و گروه متناوب [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: جابجایی (ریاضیات)

جابجایی یک جایگشت که مبادلات دو عنصر نگه می دارد و از همه دیگران ثابت است؛ برای مثال (1 3) یک جابجایی است. هر جایگشتی را می توان به عنوان ضرب جابجایی ها نوشت. به عنوان مثال، جایگشت g از بالا را می توان به صورت g = (1 2) (2 5) (3 4) نوشت . از آنجایی که g را می توان به عنوان حاصل ضرب تعداد فرد جابجایی نوشت، آن را جایگشت فرد می نامند ، در حالی که f یک جایگشت زوج است.

نمایش یک جایگشت به عنوان ضرب جابجایی ها منحصر به فرد نیست. با این حال، تعداد جابجایی های مورد نیاز برای نشان دادن یک جایگشت داده شده همیشه زوج یا همیشه فرد است. چندین دلیل کوتاه برای تغییر ناپذیری این برابری یک جایگشت وجود دارد.

حاصل ضرب دو جایگشت زوج زوج است، حاصلضرب دو جایگشت فرد زوج است و همه حاصل‌های دیگر فرد هستند. بنابراین می توانیم علامت جایگشت را تعریف کنیم :

$\operatorname {sgn} f={\begin{cases}+1,&{\text{if }}f{\mbox{ زوج است}}\\-1,&{\text{if }}f{\text { فرد است}}.\end{موارد}}$

با این تعریف،

$\operatorname {sgn} \colon \mathrm {S} _{n}\rightarrow \{+1,-1\}\$

یک هممورفیسم گروهی است ({+1, –1} گروهی در ضرب است که +1 e، عنصر خنثی است ). هسته این همریخت، این است که، مجموعه ای از تمام جایگشت حتی، است به نام گروه متناوب N . این یک زیرگروه عادی از S n است و برای n ≥ 2 دارای n !/2 عنصر است. گروه S N است کالا semidirect از A N و هر زیر گروه تولید شده توسط یک جابجایی است.

علاوه بر این، هر جایگشت می تواند به عنوان یک ضرب از نوشته transpositions مجاور ، این است که، ترانهش از فرم ( 1) . به عنوان مثال، جایگشت g از بالا را می توان به صورت g = (4 5) (3 4) (4 5) (1 2) (2 3) (3 4) (4 5) نیز نوشت . الگوریتم مرتب سازی مرتب سازی حبابی کاربرد این واقعیت است. نمایش یک جایگشت به عنوان ضرب جابجایی های مجاور نیز منحصر به فرد نیست.

دور ها [ ویرایش ]

دور از طول K یک جایگشت است F که وجود دارد این عنصر وجود دارد X در {1، ...، N } به طوری که X ، F ( X )، ج 2 ( X )، ...، ج ک ( X ) = x تنها عناصری هستند که توسط f جابجا می شوند . لازم است k ≥ 2 باشد زیرا با k = 1 خود عنصر x نیز جابه جا نمی شود. جایگشت h تعریف شده توسط

$h={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&1&3&5\end{pmatrix}}$

دور ای به طول سه است، زیرا h (1) = 4 ، h (4) = 3 و h (3) = 1 ، و 2 و 5 را دست نخورده باقی می گذارد. ما چنین دور‌ای را با (1 4 3) نشان می‌دهیم ، اما می‌توان آن را با شروع از نقطه‌ای دیگر (4 3 1) یا (3 1 4) نوشت . ترتیب یک دور برابر است با طول آن. دور های طول دو جابجایی هستند. دو دور ها متلاشی اگر آنها زیر مجموعه مجزا از عناصر است. رفت و آمد دور های ناهمگون : برای مثال، در S 6 برابری (4 1 3) (2 5 6) = (2 5 6) (4 1 3) وجود دارد . هر عنصر S nرا می توان به عنوان حاصل ضرب دور های متمایز نوشت. این نمایش تا ترتیب عوامل و آزادی موجود در نمایش هر دور فردی با انتخاب نقطه شروع آن منحصر به فرد است.

دور ها خاصیت صرف زیر را با هر جایگشتی می پذیرند $\سیگما$ ، این ویژگی اغلب برای به دست آوردن مولدها و روابط آن استفاده می شود .

$\sigma {\begin{pmatrix}a&b&c&\ldots \end{pmatrix}}\sigma ^{-1}={\begin{pmatrix}\sigma (a)&\sigma (b)&\sigma (c)&\ ldots \end{pmatrix}}$

عناصر ویژه [ ویرایش ]

عناصر معینی از گروه متقارن {1، 2، ...، n } مورد توجه خاص هستند (اینها را می توان به گروه متقارن هر مجموعه کاملاً منظم متناهی تعمیم داد، اما نه به مجموعه نامرتب).

در جایگشت معکوس ترتیبی است که توسط:

${\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\n&n-1&\cdots &1\end{pmatrix}}.$

این عنصر حداکثر منحصر به فرد با توجه به نظم بروات و طولانی ترین عنصر در گروه متقارن با توجه به مجموعه تولید کننده متشکل از جابجایی های مجاور ( i i +1) ، 1 ≤ i ≤ n - 1 است .

این یک دگرگونی است و شامل $\lطبقه n/2\rطبقه$ جابجایی (غیر مجاور).

$(1\,n)(2\,n-1)\cdots ,{\text{ یا }}\sum _{k=1}^{n-1}k={\frac {n(n-1) {2}}{\text{ جابه‌جایی‌های مجاور: }}$

$(n\,n-1)(n-1\,n-2)\cdots (2\,1)(n-1\,n-2)(n-2\,n-3)\cdots ,$

بنابراین علامت دارد:

$\mathrm {sgn} (\rho _{n})=(-1)^{\lfloor n/2\rfloor }=(-1)^{n(n-1)/2}={\begin{موارد }+1&n\equiv 0,1{\pmod {4}}\\-1&n\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{موارد}}$

که 4 تناوبی در n است .

در S 2 n ، جابجایی کامل جایگشتی است که مجموعه را به 2 شمع تقسیم می‌کند و آنها را به هم می‌پیچاند. علامتش هم هست (-1)^{.} $(-1)^{\lfloor n/2\rfloor }.$

توجه داشته باشید که معکوس بر روی n عنصر و ترکیب کامل روی 2 n عنصر علامت یکسانی دارند. اینها برای طبقه بندی جبرهای کلیفورد که 8 دوره ای هستند مهم هستند .

کلاس های مزدوج [ ویرایش ]

کلاسهای conjugacy از S N به ساختار دور جایگشت مربوط؛ یعنی دو عنصر S n در S n مزدوج هستند اگر و فقط در صورتی که از تعداد یکسانی از دور های متمایز با طول های یکسان تشکیل شده باشند. به عنوان مثال، در S 5 ، (1 2 3) (4 5) و (1 4 3) (2 5) مزدوج هستند. (1 2 3) (4 5) و (1 2) (4 5) نیستند. عنصر conjugating از S N را می توان در "دو نماد خط" با قرار دادن "نمادهای دور" از دو جایگشت مزدوج در بالای یک دیگر ساخته شده است. ادامه مثال قبل:

$k={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&3&2&5\end{pmatrix}}$

که می توان آن را حاصل ضرب دور ها نوشت، یعنی: (2 4).

سپس این جایگشت (1 2 3) (4 5) و (1 4 3) (2 5) از طریق صرف، یعنی

$(2~4)\circ (1~2~3)(4~5)\circ (2~4)=(1~4~3)(2~5).$

واضح است که چنین تغییری منحصر به فرد نیست.

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و سوم آبان ۱۴۰۰ ساعت 2:12 توسط علی رضا نقش نیلچی |

گروه متقارن

نباید با گروه متقارن اشتباه گرفته شود .

گراف کیلی از گروه متقارن S 4

ساختار جبری ← نظریه
گروه نظریه گروه

نشان دادن

مفاهیم اساسی

پنهان شدن

گروه های محدود

طبقه بندی گروه های ساده محدود

گروه فروبنیوس

ضرب کننده Schur

گروه متقارن S n

نشان دادن

گروه های توپولوژیکی و لی

نشان دادن

گروه های جبری

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و سوم آبان ۱۴۰۰ ساعت 1:55 توسط علی رضا نقش نیلچی |

همومورفیسم جهانی

در هندسه جبری ، همومورفیسم جهانی ، شکلی از طرح ها است. $f:X\ به Y$ به طوری که برای هر مورفیسم $به ی$ ، تغییر پایه $X\times _{Y}Y'\to Y'$ یک همسانریختی از فضاهای توپولوژیک.

مورفیسم طرح‌واره‌ها یک همومورفیسم جهانی است اگر و فقط در صورتی که یکپارچه ، ریشه‌ای و سوجکتیو باشد. [1] به طور خاص، یک مورفیسم محلی از نوع محدود، یک هومئومورفیسم جهانی است اگر و تنها در صورتی که محدود ، ریشه ای و سطحی باشد.

برای مثال، یک مورفیسم فروبنیوس مطلق ، یک همومورفیسم جهانی است.

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_homeomorphism

+ نوشته شده در شنبه بیست و دوم آبان ۱۴۰۰ ساعت 3:32 توسط علی رضا نقش نیلچی |

مطالب قدیمی‌تر

آموزش ریاضی

قضیه ثابت ساز مدار و لم برونساید [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

اقدامات گروهی و گروپوئیدها [ ویرایش ]

انواع اعمال [ ویرایش ]

مدارها و پایدار ساز ها [ ویرایش ]

زیر مجموعه های ثابت [ ویرایش ]

نقاط ثابت و زیرگروه های پایدار ساز [ ویرایش ]

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

عملکرد گروه چپ [ ویرایش ]

عمل گروهی درست [ ویرایش ]

گروه هموتوپی

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

بحث [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

فهرست

مثالها [ ویرایش ]

ضرب مستقیم گروه [ ویرایش ]

ضرب مستقیم مدول ها [ ویرایش ]

ضرب مستقیم فضای توپولوژیکی [ ویرایش ]

ضرب مستقیم روابط دودویی [ ویرایش ]

ضرب مستقیم در جبر جهانی [ ویرایش ]

ضرب دسته بندی شده [ ویرایش ]

ضرب مستقیم داخلی و خارجی [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

فهرست

خواص [ ویرایش ]

خطوط [ ویرایش ]

فاصله [ ویرایش ]

حلقه ها [ ویرایش ]

ابر چرخه ها [ ویرایش ]

طالع بینی [ ویرایش ]

خلاصه اقلیدسی [ ویرایش ]

متریک و انحنا [ ویرایش ]

در دو بعد [ ویرایش ]

ارتباط با مدل های دیگر هندسه هذلولی [ ویرایش ]

ارتباط با مدل دیسک کلاین [ ویرایش ]

رابطه با مدل نیم صفحه پوانکاره [ ویرایش ]

ارتباط با مدل هایپربولوئید [ ویرایش ]

ساختارهای هندسه تحلیلی در صفحه هذلولی [ ویرایش ]

زوایا [ ویرایش ]

تحقق هنری [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

برنامه های کاربردی در ریاضیات [ ویرایش ]

تحلیل پیچیده [ ویرایش ]

تجسم خطوط و صفحات [ ویرایش ]

تجسم دیگر [ ویرایش ]

هندسه حسابی [ ویرایش ]

تعویض نیم زاویه مماس [ ویرایش ]

کاربرد در سایر رشته ها [ ویرایش ]

نقشه کشی [ ویرایش ]

علوم سیاره ای [ ویرایش ]

کریستالوگرافی [ ویرایش ]

زمین شناسی [ ویرایش ]

عکاسی [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

فهرست

تاریخچه [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

فرمول اول [ ویرایش ]

سایر کنوانسیون ها [ ویرایش ]

کلیات [ ویرایش ]

خواص [ ویرایش ]

Wulff net [ ویرایش ]

گروه های درجه پایین [ ویرایش ]

نقشه های بین گروه های متقارن [ ویرایش ]

ارتباط با گروه متناوب [ ویرایش ]

مولدها و روابط [ ویرایش ]

ساختار زیر گروه [ ویرایش ]

زیر گروه های معمولی [ ویرایش ]

حداکثر زیر گروه ها [ ویرایش ]

زیر گروه های سیلو [ ویرایش ]

زیرگروه های گذرا [ ویرایش ]

قضیه کیلی [ ویرایش ]

گروه خودریختی [ ویرایش ]

همسانی [ ویرایش ]