​

 ورودی های تعاملی  >  گیف های متحرک  >

مشارکت کنندگان MathWorld  >  بودنی  >

مشارکت کنندگان MathWorld  >  رولند، تاد  >

گروه هموتوپی

گروه‌های هموتوپی، گروه بنیادی را به نگاشت‌هایی از کره‌های ابعاد بالاتر، به جای دایره، تعمیم می‌دهند . گروه هوموتوپی ام یک فضای توپولوژیک  مجموعه ای از است کلاس های هموتوپی از نگاشت از کره چند-کره به ، با یک گروه ساختار و نشان داده است . گروه اساسی است ، و به عنوان در مورد ، نگاشت باید از طریق یک پاس نقطه پایه  . زیرا گروه هموتوپی یک گروه آبلی است .

عملیات گروه به عنوان ساده به عنوان کسانی که برای نه گروه اساسی . دو نگاشت و را در نظر بگیرید که از آن عبور می کنند . حاصلضرب با نگاشت استوا به نقطه مبنا به دست می آید  . سپس نیمکره شمالی با فروریختن خط استوا به یک نقطه به کره نگاشت می شود و سپس با نگاشت به کره نگاشت می شود . نیمکره جنوبی نیز به طور مشابه توسط . نمودار بالا حاصل ضرب دو کره را نشان می دهد.

عنصر همانی با نگاشت ثابت نشان داده می شود . انتخاب جهت یک حلقه در گروه اساسی مربوط به یک جهت گیری چند برابر از در یک گروه هوموتوپی. بنابراین معکوس یک نگاشت با تغییر جهت برای کره به دست می آید. با توصیف کره در مختصات، تغییر مختصات اول و دوم جهت کره را تغییر می دهد. یا به عنوان یک ابرسطح ، جهت سوئیچینگ نقش های درون و بیرون را معکوس می کند. نمودار بالا نشان می‌دهد که نسبت به نگاشت ثابت، یعنی همانی، هموتوپیک است. با گسترش استوا به داخل شروع می شود و سپس نگاشت حاصل به نقطه پایه منقبض می شود .

همانند گروه بنیادی , گروه های هموتوپی به انتخاب نقطه پایه بستگی ندارند . اما گروه های هموتوپی بالاتر همیشه آبلی هستند . نمودار بالا نمونه ای از . نقطه پایه ثابت است، و از آنجا که نگاشت را می توان چرخش داد. هنگامی که ، به عنوان مثال، گروه بنیادی ، غیرممکن است که نگاشت را با ثابت نگه داشتن نقطه پایه بچرخانید .

فضایی با برای هر همبند- نامیده می شود . اگر است متصل، ، پس از آن همریخت هرویکز  از گروه TH-هموتوپی به گروه TH-همسانی یک IS ریخت .

هنگامی که یک نگاشت پیوسته است ، سپس با گرفتن تصاویر زیر کره ها  در تعریف می شود . فشار فوروارد طبیعی است، یعنی هر زمان که ترکیب دو نگاشت تعریف شود. در واقع، با توجه به فیبراسیون ،

جایی که در مسیر متصل است ، یک توالی دقیق طولانی از گروه های هموتوپی وجود دارد

منبع

https://mathworld.wolfram.com/HomotopyGroup.html

​