ریاضیات

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۰ | 2:43

انواع اعمال [ ویرایش ]

عمل G بر روی X نامیده می شود:

متعدی اگرXاستغیر خالیو اگر برای هر جفتX،YدرXوجود دارد وجود داردgدرGبه طوری که g ⋅ X = Y . به عنوان مثال، عمل گروه متقارنXمتعدی است، عملگروه خطی عمومی یا گروه خطی ویژهیک فضای برداریVروی V ∖ {0}متعدی است، اما عملگروه متعامدیک اقلیدسی فضایEروی E گذرا نیست∖ {0} (آن متعدی در است واحد حوزه از E ، هر چند).
وفادار (یامؤثر ) اگر برای هر دوgمتمایز،hدرGیکxدرXوجود داشته باشد به طوری که g ⋅ x ≠ h ⋅ x ; یا به طور معادل، اگر برای هر g ≠ e درGیکxدرXوجود داشته باشد به طوری که g ⋅ x ≠ x . به عبارت دیگر، در یک کنش گروهی وفادار، عناصر مختلفGجایگشت های متفاوتX راالقا می کنند. [a] در اصطلاح جبری، یک گروهG صادقانه روی X عمل می کند اگر و فقط اگر هم شکلی متناظر با گروه متقارن G → Sym( X ) دارای یک هسته بی اهمیت باشد . بنابراین، برای یک عمل وفادار، G تعبیه به یک گروه جایگشت در X ؛ به طور خاص، G با تصویر خود در Sym( X ) هم شکل است. اگر G صادقانه روی X عمل نکند ، می‌توانیم به راحتی گروه را تغییر دهیم تا یک عمل وفادار به دست آوریم. اگر N = { g را در G تعریف کنیم : g ⋅ x = xبرای همه ایکس در X } ، و سپس N است زیر گروه نرمال از G ؛ در واقع، آن هسته هممورفیسم G → Sym( X ) است . گروه عامل G / N عمل می کند صادقانه در X است با تنظیم ( GN ) ⋅ X = g ⋅ X . عمل اصلی G روی X وفادار است اگر و فقط اگر N = { e }. کوچک‌ترین مجموعه‌ای که می‌توان روی آن یک عمل وفادار تعریف کرد، می‌تواند برای گروه‌های هم اندازه بسیار متفاوت باشد. مثلا:
- سه گروه با اندازه 120 عبارتند از گروه متقارن S 5 ، گروه ایکوسادرال و گروه چرخه ای $\mathbb {Z} /120\mathbb {Z}$ . کوچک‌ترین مجموعه‌هایی که می‌توان روی آن‌ها اعمال وفادار تعریف کرد به ترتیب در اندازه‌های 5، 12 و 16 هستند.
- گروه های abelian با اندازه 2 نفر شامل یک گروه دوری $\mathbb {Z} /2^{n}\mathbb {Z}$ همچنین $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}$ (به ضرب مستقیم از N نسخه از $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ) اما دومی روی مجموعه ای با اندازه 2 n صادقانه عمل می کند، در حالی که اولی نمی تواند روی مجموعه ای کوچکتر از خودش صادقانه عمل کند.
آزاد (یانیمه منظمیاآزاد نقطه ثابت) اگر با توجه بهg,hدرG، وجودxدرXبا g ⋅ x = h ⋅ x دلالت بر g = h دارد . به طور معادل: اگرgیک عنصر گروه باشد و یکxدرXبا g ⋅ x = x وجود داشته باشد (یعنی اگرgحداقل یک نقطه ثابت داشته باشد)، آنگاهgهویت است توجه داشته باشید که یک عمل آزاد در مجموعه غیر خالی وفادار است.
منظم (یابه سادگی گذرا یابه شدت گذرا) اگر هم متعدی و هم آزاد باشد. این معادل این است که بگوییم برای هر دوx،yدرXدقیقاً یکgدرGوجود داردبه طوری که g ⋅ x = y . در این مورد،Xیکفضای همگن اصلیبرایGیا یکG-torsor نامیده می شود. عمل هر گروهGبر روی خودش با ضرب چپ منظم و در نتیجه وفادار است. بنابراین، هر گروه می تواند در گروه متقارن بر روی عناصر خود، Sym (G)تعبیه شود.). این نتیجه به عنوان قضیه Cayley شناخته می شود .
n - گذرا اگر X حداقل n عنصر داشته باشد، و برای همه x 1 ، ...، x n و همه متمایز y 1 ، ...، y n ، یک g در G وجود دارد به طوری که g ⋅ x k = y k برای 1 ≤ k ≤ n . یک عمل 2 انتقالی نیز نامیده می شودمضاعف گذرا ، یک عمل گذرا 3 نیزسه گذرانامیده می شود، و غیره. چنین اقداماتی کلاس های جالبی از زیر گروه ها را در گروه های متقارن تعریف می کند: گروه های2-گذراو به طور کلی گروه های متعدی ضربی. عمل گروه متقارن روی مجموعه ای باnعنصر همیشهn -گذرا است. عملگروه متناوب(n -2) - گذرا است.
اگر دقیقاً یکی از اینgوجود داشته باشد، به شدت n - گذرا است.
ابتدایی اگر گذرا باشد و هیچ پارتیشن غیر ضروریX را حفظ کند. برای جزئیات بیشتر به گروه جایگشت اولیه مراجعه کنید.
به صورت محلی آزاد اگر G یک گروه توپولوژیک است، و وجود دارد محله U از در G به طوری که محدودیت اقدام به U آزاد است؛ یعنی اگر g ⋅ x = x برای مقداری x و مقداری g در U آنگاه g = e .

علاوه بر این، اگر G روی فضای توپولوژیکی X عمل کند، عمل به صورت زیر است:

سرگردان اگر هر نقطه x در X دارای یک همسایگی U باشد به طوری که $\{g\in G:g\cdot U\cap U\neq \emptyset \}$ محدود است [3] به عنوان مثال، عمل از ${\mathbb Z}^{n}$ بر $\mathbb {R} ^{n}$ توسط ترجمه ها سرگردان است. عمل گروه مدولار در نیم صفحه پوانکاره نیز سرگردان است.
اگر X یک فضای فشرده محلی باشد و برای هر زیر مجموعه فشرده K ⊂ X مجموعه باشد، به درستی ناپیوسته است. $\{g\in G:gK\cap K\neq \emptyset \}$ محدود است اقدامات سرگردان ارائه شده در بالا نیز به درستی ناپیوسته هستند. از سوی دیگر، عمل از $\mathbb {Z}$ بر $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ داده شده توسط $n\cdot (x,y)=(2^{n}x,2^{-n}y)$ سرگردان و آزاد است اما به درستی ناپیوسته نیست. [4]
مناسب اگرGیک گروه توپولوژیک و نقشه از است $G\times X\right arrow X\times X:(g,x)\mapsto (g\cdot x,x)$ است مناسب . [5] اگر G است گسسته properness سپس معادل ناپیوستگی مناسب برای G -actions.
اگر مدار هر x در X تحت عمل G در X گسسته باشد گفته می شود که دارای مدارهای گسسته است . [3]
عمل فضا را پوشش اگر هر نقطه X در X یک محله U به طوری که $\{g\in G:g\cdot U\cap U\neq \emptyset \}=\{e\}$ . [6]

اگر X یک غیر صفر ماژول بیش از یک حلقه R و عمل G است R -Linear سپس آن گفته می شود

غیر قابل تقلیل اگر هیچ زیر مدول ثابت غیر صفر مناسب وجود دارد.

مدارها و پایدار ساز ها [ ویرایش ]

در ترکیب پنج تتراهدرا ، گروه تقارن (به دوری) گروه بیست وجهی است من از مرتبه 60، در حالی که پایدار ساز از چهار ضلعی تنها انتخاب (دوری) است چهار ضلعی گروه T از مرتبه 12 و فضا در مدار من / T ( از مرتبه 60/12 = 5) به طور طبیعی با 5 چهار وجهی مشخص می شود - coset gT مربوط به چهار ضلعی است که g چهار وجهی انتخابی را به آن می فرستد.

گروه G را در نظر بگیرید که بر روی یک مجموعه X عمل می کند . درمدار یک عنصرxدرXمجموعه ای از عناصر درX است کهx رامی توان با عناصرG بهآنها منتقل کرد. مدارxبا نشان داده می شود $G\cdot x$ :

$G\cdot x=\{g\cdot x:g\in G\}.$

خواص تعریف تضمین گروه که مجموعه ای از مدار (نقاط X در) X تحت عمل G به صورت یک پارتیشن از X . رابطه هم ارزی مرتبط با گفتن تعریف می شود $x\sim y$ اگر و فقط اگر g در G وجود داشته باشد با $g\cdot x=y.$ سپس مدارها طبقات هم ارزی تحت این رابطه هستند. دو عنصر x و y معادل هستند اگر و فقط در صورتی که مدار آنها یکسان باشد، یعنی $G\cdot x=G\cdot y.$

عمل گروهی گذرا است اگر و فقط اگر دقیقاً یک مدار داشته باشد، یعنی اگر x در X وجود داشته باشد با $G\cdot x=X.$ اگر و فقط اگر چنین است $G\cdot x=X$ برای تمام x در X (با توجه به اینکه X خالی نیست).

مجموعه تمام مدارهای X تحت عمل G به صورت X / G (یا کمتر: G \ X ) نوشته می شود و به نام ضریب عمل در موقعیت های هندسی ممکن است به آن گفته شودفضای مداری ، در حالی که در موقعیت های جبری ممکن است فضای مدار نامیده شودمتغیرها و نوشته شده است $X_{G}،$ بر خلاف متغیرها (نقاط ثابت) که X G نشان داده می شود : متغیرهای متغیر یک ضریب هستند در حالی که متغیرها یک زیر مجموعه هستند . اصطلاحات و نمادهای متغیر به ویژه در هم‌ شناسی گروهی و همسانی گروهی استفاده می‌شود که از قرارداد فوق‌نویس/زیرنویس استفاده می‌کنند.

زیر مجموعه های ثابت [ ویرایش ]

اگر Y است زیر مجموعه از X ، پس از آن $G\cdot Y$ مجموعه را نشان می دهد $\{g\cdot y:g\in G{\text{ و }}y\in Y\}.$ زیر مجموعه Y است گفته می شود ثابت تحت G اگر $G\cdot Y=Y$ (که معادل است $G\cdot Y\subsetq Y$ ). در آن صورت، G نیز با محدود کردن عمل به Y روی Y عمل می‌کند . زیر مجموعه Y تحت G ثابت نامیده می شود اگر $g\cdot y=y$ برای همه g در G و Y در Y . هر زیر مجموعه که در زیر ثابت G است ثابت تحت G ، اما نه برعکس.

هر مدار یک زیرمجموعه ثابت از X است که G به صورت گذرا بر روی آن عمل می کند . برعکس، هر زیرمجموعه ثابت X ، اتحادیه ای از مدارها است. عمل G در X است متعدی اگر و تنها اگر تمام عناصر با هم معادل هستند، به این معنی است که تنها یک مدار وجود دارد.

یک عنصر G-ناهمورد X است $x\در X$ به طوری که $g\cdot x=x$ برای همه $g\in G.$ مجموعه همه x نشان داده می شود $X_{G}$ و به نام G-ویژگیهای از X . هنگامی که X است G -مدول ، X G صفر است های کوهومولوؤی گروه از G با ضرایب در X ، و گروه های کوهومولوؤی بالاتر هستند تابعگر مشتق شده از عمل کننده از G -ناهموردها.

نقاط ثابت و زیرگروه های پایدار ساز [ ویرایش ]

با توجه به g در G و X در X با $g\cdot x=x,$ گفته می شود که " X یک نقطه ثابت از g " یا این که " g رفع X ". برای هر x در X ،زیر گروه پایدار ساز ازGبا توجه بهX(همچنین به نامگروه همسانی و یاگروه کوچک [7] ) مجموعه ای از تمام عناصر در استGکه ثابتX:

$G_{x}=\{g\in G:g\cdot x=x\}.$

این یک زیر گروه از G است ، اگرچه معمولاً یک گروه عادی نیست. عمل G در X است آزاد اگر و تنها اگر تمام پایدار ساز و بی اهمیت. هسته N هممورفیسم با گروه متقارن، $G\to \operatorname {Sym} (X)،$ با اشتراک پایدار ساز ها G x برای همه x در X داده می شود . اگر N بی اهمیت باشد، گفته می شود که عمل وفادار (یا مؤثر) است.

اجازه دهید x و y دو عنصر در X باشند ، و اجازه دهید $g$ یک عنصر گروهی باشد به طوری که $y=g\cdot x.$ سپس دو گروه پایدار ساز $G_{x}$ و $G_y$ مرتبط هستند توسط $G_{y}=gG_{x}g^{-1}.$ اثبات: طبق تعریف، $h\in G_{y}$ اگر و تنها اگر $h\cdot (g\cdot x)=g\cdot x.$ اعمال کردن $g^{-1}$ به هر دو طرف این برابری بازده $\left(g^{-1}hg\right)\cdot x=x;$ به این معنا که، $g^{-1}hg\in G_{x}.$ یک شمول متضاد به طور مشابه با گرفتن دنبال می شود $h\in G_{x}$ و با فرض $x=g^{-1}\cdot y.$

موارد فوق می گوید که پایدار ساز های عناصر در یک مدار با یکدیگر مزدوج هستند . بنابراین، به هر مدار، ما می توانیم یک ارتباط کلاس مزدوج از یک زیر گروه از G (این است که، مجموعه ای از تمام ترکیبات از زیر گروه). اجازه دهید $(H)$ کلاس مزدوج H را نشان می دهد . سپس مدار O دارای نوع است $(H)$ اگر پایدار ساز $G_{x}$ از برخی/هر x در O متعلق به $(H)$ . یک نوع مدار حداکثر اغلب یک نوع مدار اصلی نامیده می شود .

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

انواع اعمال [ ویرایش ]

مدارها و پایدار ساز ها [ ویرایش ]

زیر مجموعه های ثابت [ ویرایش ]

نقاط ثابت و زیرگروه های پایدار ساز [ ویرایش ]

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین