در جبر مجرد ، گروه متقارن تعریف شده بر روی هر مجموعه ، گروهی است که عناصر آن همه انقباضات مجموعه به خودش هستند و عملیات گروهی آن ترکیب توابع است . به ویژه، گروه متقارن متناهی\mathrm {S} _{n}تعریف شده بر روی یک مجموعه متناهی ازnنمادها شامل جایگشت هایی است که می توان روی آن انجام دادnنمادها [1] از آنجایی که وجود داردn (n فاکتوریل ) چنین عملیات جایگشتی، ترتیب (تعداد عناصر) گروه متقارن\mathrm {S} _{n} است n.

اگرچه گروه‌های متقارن را می‌توان بر روی مجموعه‌های نامتناهی تعریف کرد ، این مقاله بر روی گروه‌های متقارن متناهی تمرکز دارد: کاربردهای آنها، عناصر آنها ، کلاس‌های مزدوج آنها ، یک نمایش متناهی ، زیر گروه‌های آنها ، گروه‌های خودربختی آنها ، و نظریه بازنمایی آنها . در ادامه این مقاله، "گروه متقارن" به معنای یک گروه متقارن در یک مجموعه متناهی است.

گروه متقارن برای حوزه‌های مختلف ریاضیات مانند نظریه گالوا ، نظریه ثابت ، نظریه بازنمایی گروه‌های لی و ترکیبیات مهم است . قضیه کیلی بیان می کند که هر گروهجیاست متناظر به یک زیر گروه از گروه متقارن در (به مجموعه اساسی از)جی.

 

فهرست

تعریف و اولین خصوصیات [ ویرایش ]

گروه متقارن در یک مجموعه متناهی ایکس گروهی است که همه عناصر آن از توابع دوگانه هستند ایکس به ایکسو عملیات گروهی آن ترکیب تابع است . [1] برای مجموعه های متناهی، "جایگشت" و "توابع دوگانه" به همان عملیات، یعنی بازآرایی اشاره دارد. گروه متقارن درجه n گروه متقارن روی مجموعه است {\displaystyle X=\{1,2,\ldots ,n\}}.

گروه متقارن روی یک مجموعه ایکس به طرق مختلف نشان داده می شود، از جمله {\displaystyle \mathrm {S} _{X}}، {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{X}}، \سیگما _{X}، {\displaystyle X!}، و {\displaystyle \operatorname {Sym} (X)}. [1] اگرایکس مجموعه است \{1، 2، \ldots، n\} سپس نام ممکن است به اختصار باشد \mathrm {S} _{n}، {\mathfrak {S}}_{n}، \سیگما _{n}، یا {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}. [1]

گروه های متقارن در مجموعه های نامتناهی کاملاً متفاوت از گروه های متقارن در مجموعه های متناهی رفتار می کنند و در ( اسکات 1987 ، فصل 11)، ( دیکسون و مورتیمر 1996 ، فصل 8)، و ( کامرون 1999 ) مورد بحث قرار می گیرند.

گروه متقارن در مجموعه ای از nعناصر نظم دارد n( فاکتوریل ازn). [2] اگر و فقط اگر آبلی استnکمتر یا مساوی 2 است. [3] برایn=0 و n=1( مجموعه خالی و مجموعه تک تن )، گروه های متقارن بی اهمیت هستند (ترتیب دارند{\displaystyle 0!=1!=1}). گروه S N است قابل حل اگر و تنها اگر{\displaystyle n\leq 4}. این بخش اساسی از اثبات قضیه آبل-روفینی است که نشان می دهد که برای هر یکn> 4وجود دارد چند جمله ای از درجهn که با رادیکال قابل حل نیستند، یعنی با انجام تعداد متناهیی از عملیات جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و استخراج ریشه روی ضرایب چند جمله ای نمی توان جواب ها را بیان کرد.

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

گروه متقارن در مجموعه ای از اندازه N است گروه گالوا به طور کلی چند جمله ای از درجه n را و نقش مهمی را ایفا می کند در تئوری گالوا . در تئوری ثابت ، گروه متقارن بر روی متغیرهای یک تابع چند متغیره عمل می کند و توابع ثابت مانده به اصطلاح توابع متقارن هستند . در نظریه بازنمایی گروه‌های لی ، نظریه بازنمایی گروه متقارن از طریق ایده‌های تابع‌های شور نقش اساسی دارد . در تئوری گروه های کاکستر ، گروه متقارن، گروه کوکستر از نوع A استn و به عنوان گروه Weyl از گروه خطی عمومی رخ می دهد. در ترکیبیات ، گروه متقارن، عوامل آنها ( جایگشت )، و خود را بازنمایی ارائه یک منبع غنی از مشکلات مربوط به تابلو جوان ، monoids plactic و سفارش بروهات . گروه ها گروه های متقارن نامیده می شوند جایگشت گروه و به طور گسترده ای به دلیل اهمیت آنها در درک مورد مطالعه اقدامات گروه ، فضاهای همگن ، و گروه های خودریختی از نمودار ، مانندگروه سیمز هیگمن و نمودار هیگمن-سیمز .

عناصر [ ویرایش ]

عناصر گروه متقارن در یک مجموعه X هستند جایگشت از X .

ضرب [ ویرایش ]

عملیات گروهی در یک گروه متقارن، ترکیب تابعی است که با نماد ∘ یا صرفاً با کنار هم قرار دادن جایگشت ها نشان داده می شود. ترکیب f ∘ g جایگشت های f و g که " f از g " تلفظ می شود ، هر عنصر x از X را به f ( g ( x )) ترسیم می کند . بطور مشخص، اجازه دهید ( برای توضیح نمادگذاری به جایگشت مراجعه کنید ):

f=(1\ 3)(4\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&1&5&4\end{pmatrix}}

g=(1\ 2\ 5)(3\ 4)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}}.

اعمال f بعد از g نقشه های 1 به 2 و سپس 2 برای خودش. 2 به 5 و سپس به 4. 3 به 4 و سپس به 5 و غیره. بنابراین آهنگسازی f و g می دهد

fg=f\circ g=(1\ 2\ 4)(3\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{pmatrix}}.

یک دور به طول L = k · m که به توان k در نظر گرفته می شود، به k دور با طول m تجزیه می شود : به عنوان مثال، ( k = 2 ، m = 3 )،

(1~2~3~4~5~6)^{2}=(1~3~5)(2~4~6).

تأیید بدیهیات گروه [ ویرایش ]

برای بررسی اینکه آیا گروه متقارن در مجموعه X واقعاً یک گروه است ، لازم است که بدیهیات گروه بسته شدن، تداعی، هویت و معکوس بررسی شود. [4]

  1. عملیات ترکیب تابع در مجموعه جایگشت های مجموعه داده شده X بسته است .
  2. ترکیب تابع همیشه تداعی کننده است.
  3. تقسیم بی اهمیتی که هر عنصر X را به خود اختصاص می دهد به عنوان یک هویت برای گروه عمل می کند.
  4. هر بیجکشن تابعی معکوس دارد که عمل آن را خنثی می کند، و بنابراین هر عنصر از یک گروه متقارن دارای یک معکوس است که یک جایگشت نیز می باشد.

جابجایی، علامت و گروه متناوب [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: جابجایی (ریاضیات)

جابجایی یک جایگشت که مبادلات دو عنصر نگه می دارد و از همه دیگران ثابت است؛ برای مثال (1 3) یک جابجایی است. هر جایگشتی را می توان به عنوان ضرب جابجایی ها نوشت. به عنوان مثال، جایگشت g از بالا را می توان به صورت g = (1 2) (2 5) (3 4) نوشت . از آنجایی که g را می توان به عنوان حاصل ضرب تعداد فرد جابجایی نوشت، آن را جایگشت فرد می نامند ، در حالی که f یک جایگشت زوج است.

نمایش یک جایگشت به عنوان ضرب جابجایی ها منحصر به فرد نیست. با این حال، تعداد جابجایی های مورد نیاز برای نشان دادن یک جایگشت داده شده همیشه زوج یا همیشه فرد است. چندین دلیل کوتاه برای تغییر ناپذیری این برابری یک جایگشت وجود دارد.

حاصل ضرب دو جایگشت زوج زوج است، حاصلضرب دو جایگشت فرد زوج است و همه حاصل‌های دیگر فرد هستند. بنابراین می توانیم علامت جایگشت را تعریف کنیم :

\operatorname {sgn} f={\begin{cases}+1,&{\text{if }}f{\mbox{ زوج است}}\\-1,&{\text{if }}f{\text { فرد است}}.\end{موارد}}

با این تعریف،

\operatorname {sgn} \colon \mathrm {S} _{n}\rightarrow \{+1,-1\}\

یک هممورفیسم گروهی است ({+1, –1} گروهی در ضرب است که +1 e، عنصر خنثی است ). هسته این همریخت، این است که، مجموعه ای از تمام جایگشت حتی، است به نام گروه متناوب N . این یک زیرگروه عادی از S n است و برای n ≥ 2 دارای n !/2 عنصر است. گروه S N است کالا semidirect از A N و هر زیر گروه تولید شده توسط یک جابجایی است.

علاوه بر این، هر جایگشت می تواند به عنوان یک ضرب از نوشته transpositions مجاور ، این است که، ترانهش از فرم ( 1) . به عنوان مثال، جایگشت g از بالا را می توان به صورت g = (4 5) (3 4) (4 5) (1 2) (2 3) (3 4) (4 5) نیز نوشت . الگوریتم مرتب سازی مرتب سازی حبابی کاربرد این واقعیت است. نمایش یک جایگشت به عنوان ضرب جابجایی های مجاور نیز منحصر به فرد نیست.

دور ها [ ویرایش ]

دور از طول K یک جایگشت است F که وجود دارد این عنصر وجود دارد X در {1، ...، N } به طوری که X ، F ( X )، ج 2 ( X )، ...، ج ک ( X ) = x تنها عناصری هستند که توسط f جابجا می شوند . لازم است k ≥ 2 باشد زیرا با k = 1 خود عنصر x نیز جابه جا نمی شود. جایگشت h تعریف شده توسط

h={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&1&3&5\end{pmatrix}}

دور ای به طول سه است، زیرا h (1) = 4 ، h (4) = 3 و h (3) = 1 ، و 2 و 5 را دست نخورده باقی می گذارد. ما چنین دور‌ای را با (1 4 3) نشان می‌دهیم ، اما می‌توان آن را با شروع از نقطه‌ای دیگر (4 3 1) یا (3 1 4) نوشت . ترتیب یک دور برابر است با طول آن. دور های طول دو جابجایی هستند. دو دور ها متلاشی اگر آنها زیر مجموعه مجزا از عناصر است. رفت و آمد دور های ناهمگون : برای مثال، در S 6 برابری (4 1 3) (2 5 6) = (2 5 6) (4 1 3) وجود دارد . هر عنصر S nرا می توان به عنوان حاصل ضرب دور های متمایز نوشت. این نمایش تا ترتیب عوامل و آزادی موجود در نمایش هر دور فردی با انتخاب نقطه شروع آن منحصر به فرد است.

دور ها خاصیت صرف زیر را با هر جایگشتی می پذیرند  \سیگما ، این ویژگی اغلب برای به دست آوردن مولدها و روابط آن استفاده می شود .

\sigma {\begin{pmatrix}a&b&c&\ldots \end{pmatrix}}\sigma ^{-1}={\begin{pmatrix}\sigma (a)&\sigma (b)&\sigma (c)&\ ldots \end{pmatrix}}

عناصر ویژه [ ویرایش ]

عناصر معینی از گروه متقارن {1، 2، ...، n } مورد توجه خاص هستند (اینها را می توان به گروه متقارن هر مجموعه کاملاً منظم متناهی تعمیم داد، اما نه به مجموعه نامرتب).

در جایگشت معکوس ترتیبی است که توسط:

{\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\n&n-1&\cdots &1\end{pmatrix}}.

این عنصر حداکثر منحصر به فرد با توجه به نظم بروات و طولانی ترین عنصر در گروه متقارن با توجه به مجموعه تولید کننده متشکل از جابجایی های مجاور ( i i +1) ، 1 ≤ i ≤ n - 1 است .

این یک دگرگونی است و شامل \lطبقه n/2\rطبقه  جابجایی (غیر مجاور).

(1\,n)(2\,n-1)\cdots ,{\text{ یا }}\sum _{k=1}^{n-1}k={\frac {n(n-1) {2}}{\text{ جابه‌جایی‌های مجاور: }}

(n\,n-1)(n-1\,n-2)\cdots (2\,1)(n-1\,n-2)(n-2\,n-3)\cdots ,

بنابراین علامت دارد:

\mathrm {sgn} (\rho _{n})=(-1)^{\lfloor n/2\rfloor }=(-1)^{n(n-1)/2}={\begin{موارد }+1&n\equiv 0,1{\pmod {4}}\\-1&n\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{موارد}}

که 4 تناوبی در n است .

در S 2 n ، جابجایی کامل جایگشتی است که مجموعه را به 2 شمع تقسیم می‌کند و آنها را به هم می‌پیچاند. علامتش هم هست (-1)^{.}(-1)^{\lfloor n/2\rfloor }.

توجه داشته باشید که معکوس بر روی n عنصر و ترکیب کامل روی 2 n عنصر علامت یکسانی دارند. اینها برای طبقه بندی جبرهای کلیفورد که 8 دوره ای هستند مهم هستند .

کلاس های مزدوج [ ویرایش ]

کلاسهای conjugacy از S N به ساختار دور جایگشت مربوط؛ یعنی دو عنصر S n در S n مزدوج هستند اگر و فقط در صورتی که از تعداد یکسانی از دور های متمایز با طول های یکسان تشکیل شده باشند. به عنوان مثال، در S 5 ، (1 2 3) (4 5) و (1 4 3) (2 5) مزدوج هستند. (1 2 3) (4 5) و (1 2) (4 5) نیستند. عنصر conjugating از S N را می توان در "دو نماد خط" با قرار دادن "نمادهای دور" از دو جایگشت مزدوج در بالای یک دیگر ساخته شده است. ادامه مثال قبل:

k={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&3&2&5\end{pmatrix}}

که می توان آن را حاصل ضرب دور ها نوشت، یعنی: (2 4).

سپس این جایگشت (1 2 3) (4 5) و (1 4 3) (2 5) از طریق صرف، یعنی

{\displaystyle (2~4)\circ (1~2~3)(4~5)\circ (2~4)=(1~4~3)(2~5).}

واضح است که چنین تغییری منحصر به فرد نیست.