از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

 

این مقاله در مورد هم ضرب در دسته ها است. برای "هم ضرب" به معنای ضرب، به هم جبر مراجعه کنید 

در نظریه رسته ها از هم ضرب ، یا مجموع طبقه ، ساخت و ساز است که به عنوان نمونه شامل است مجزای از مجموعه و از فضاهای توپولوژیک از ضرب آزاد از گروه و جمع مستقیم از مدول و فضاهای برداری . همضرب یک خانواده از اشیاء اساساً شیء "کمترین خاص" است که هر شیء در خانواده به آن یک همریختی را می پذیرد . این مفهوم دوگانه مقوله-نظری به ضرب مقوله ای است، به این معنی که تعریف همان ضرب است اما همه فلش ها برعکس است. علیرغم این تغییر ظاهراً بی ضرر در نام و نماد، هم ضرب می توانند به طور چشمگیری با ضرب متفاوت باشند و معمولاً متفاوت هستند.

 

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

اجازه دهید سییک دسته باشد و بگذارX_{1} و X_{2} اشیاء باشد {\displaystyle C.} به یک شیء همضرب می گویند X_{1} و {\displaystyle X_{2}،} نوشته شده است {\displaystyle X_{1}\coprod X_{2}،} یا {\displaystyle X_{1}\plus X_{2}،} یا گاهی اوقات به سادگی {\displaystyle X_{1}+X_{2}،} در صورت وجود همریختی {\displaystyle i_{1}:X_{1}\to X_{1}\coprod X_{2}} و {\displaystyle i_{2}:X_{2}\to X_{1}\coprod X_{2}}ارضای ویژگی جهانی زیر : برای هر شیY و هرگونه همریختی {\displaystyle f_{1}:X_{1}\to Y} و {\displaystyle f_{2}:X_{2}\to Y,} یک همریختی منحصر به فرد وجود دارد {\displaystyle f:X_{1}\coprod X_{2}\to Y} به طوری که {\displaystyle f_{1}=f\circ i_{1}} و {\displaystyle f_{2}=f\circ i_{2}.}یعنی نمودار زیر رفت و آمد می کند :

Coproduct-03.svg

پیکان بی نظیر f ساخت این نمودار رفت و آمد ممکن است نشان داده شود {\displaystyle f_{1}\coprod f_{2},} {\displaystyle f_{1}\plus f_{2},} {\displaystyle f_{1}+f_{2}،} یا {\displaystyle \left[f_{1},f_{2}\right].} همریختی ها i_{1} و i_{2}تزریقات متعارف نامیده می شوند ، اگرچه نیازی به تزریق یا حتی مونیک ندارند .

تعریف یک همضرب را می توان به یک خانواده دلخواه از اشیاء که توسط یک مجموعه نمایه می شود، تعمیم داد{\displaystyle J.} همضرب خانواده {\displaystyle \left\{X_{j}:j\in J\right\}} یک شی است ایکسهمراه با مجموعه ای از همریختی ها {\displaystyle i_{j}:X_{j}\to X} به طوری که برای هر شی Y و هر مجموعه ای از همریختی ها {\displaystyle f_{j}:X_{j}\to Y} یک همریختی منحصر به فرد وجود دارد f:X\ به Y به طوری که {\displaystyle f_{j}=f\circ i_{j}.}یعنی نمودار زیر برای هر کدام رفت و آمد داردj\in J:

Coproduct-01.svg

همضرب ایکس از خانواده {\displaystyle \left\{X_{j}\right\}} اغلب نشان داده می شود {\displaystyle \coprod _{j\in J}X_{j}} یا {\displaystyle \bigoplus _{j\in J}X_{j}.}

گاهی همریختی f:X\ به Y ممکن است نشان داده شود {\displaystyle \coprod _{j\in J}f_{j}} برای نشان دادن وابستگی آن به فرد f_{j}س

مثالها [ ویرایش ]

هم ضرب در دسته از مجموعه است که به سادگی مجزای با همریختی من J بودن همریختی گنجاندن . برخلاف ضرب مستقیم ، هم ضرب در سایر دسته ها به وضوح مبتنی بر مفهوم مجموعه نیستند، زیرا اتحادیه ها در رابطه با حفظ عملیات رفتار خوبی ندارند (مثلاً اتحادیه دو گروه نیازی به یک گروه نداشته باشد)، و بنابراین هم ضرب در موارد مختلف دسته بندی ها می توانند به طور چشمگیری با یکدیگر متفاوت باشند. به عنوان مثال، همضرب در دسته گروه ها ، به نام ضرب آزاد ، بسیار پیچیده است. از سوی دیگر، در دسته گروه های آبلی (و به طور مساوی برای فضاهای برداریحاصلضرب، که مجموع مستقیم نامیده می شود ، از عناصر حاصلضرب مستقیم تشکیل شده است که فقط تعداد متناهی بسیاری از جمله های غیر صفر دارند. (بنابراین در مورد عوامل بسیار محدود دقیقاً با ضرب مستقیم منطبق است.)

با توجه به حلقه جابجایی R از هم ضرب در دسته از جابجایی R جبری است ضرب تانسور . در دسته از (غیر مبادلهای) R جبری از هم ضرب خارج قسمت جبر تانسور ببینید ( ضرب آزاد جبری انجمنی ).

در مورد فضاهای توپولوژیکی، هم ضرب اتحادیه‌های منفصل با توپولوژی‌های اتحاد ناهمگون آنها هستند . به این معنا که این یک اتحاد ناپیوسته از مجموعه های زیرین است و مجموعه های باز مجموعه های باز در هر یک از فضاها هستند ، به معنای نسبتاً آشکار. در مقوله فضاهای نوک تیز ، که در نظریه هموتوپی اساسی است ، همضرب حاصل جمع گوه است (که معادل به هم پیوستن مجموعه ای از فضاها با نقاط پایه در یک نقطه پایه مشترک است).

علیرغم تمام این تفاوت ها، هنوز در دل همه چیز، یک اتحاد ناهمگون وجود دارد: مجموع مستقیم گروه های آبلی، گروهی است که توسط اتحادیه "تقریبا" ناهمگون (اتحاد ناهمگون همه عناصر غیر صفر، همراه با یک مشترک مشترک ایجاد می شود. صفر)، به طور مشابه برای فضاهای برداری: فضایی که توسط اتحادیه متمایز "تقریبا" پوشانده شده است. ضرب آزاد برای گروه‌ها توسط مجموعه تمام حروف از یک اتحادیه مشابه «تقریباً غیرمجاز» تولید می‌شود که در آن هیچ دو عنصر از مجموعه‌های مختلف اجازه جابجایی ندارند.

همضرب یک دسته هم مجموعه عملیات اتصال است.

بحث [ ویرایش ]

ساختار هم ضرب ارائه شده در بالا در واقع یک مورد خاص از یک هم حد در نظریه دسته بندی است. همضرب در یک دستهسیمی تواند به عنوان هم حد هر تعریف عمل کننده از یک دسته گسسته جی به سی. نه هر خانواده ای{\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace } به طور کلی یک همضرب خواهد داشت، اما اگر داشته باشد، پس همضرب به معنای قوی منحصر به فرد است: اگر {\displaystyle i_{j}:X_{j}\rightarrow X} و {\displaystyle k_{j}:X_{j}\arrow Y} دو همضرب خانواده هستند {\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }، پس (با تعریف هم ضرب) یک هم ریختی منحصر به فرد وجود دارد f:X\فلش راست Y به طوری که {\displaystyle f\circ i_{j}=k_{j}} برای هر j\in J.

مانند هر ویژگی جهانی ، همضرب را می توان به عنوان یک همریختی جهانی درک کرد. اجازه دهید{\displaystyle \Delta :C\right arrow C\times C}تابع قطری باشد که به هر شی اختصاص می دهدایکسزوج مرتب {\displaystyle \left(X,X\right)} و به هر همریختی f : X\ فلش راست Y جفت {\displaystyle \left(f,f\right)}. سپس همضربX+Y که در سی توسط یک همریختی جهانی به تابع داده می شود \ دلتا  از شی {\displaystyle \left(X,Y\right)} که در {\displaystyle C\times C}.

همضرب نمایه شده توسط مجموعه خالی (یعنی یک همضرب خالی ) مانند یک شی اولیه درسی.

اگر جی مجموعه ای است به گونه ای که تمام هم ضرب برای خانواده ها نمایه می شود جی وجود داشته باشد، پس می توان ضرب را به شیوه ای سازگار انتخاب کرد تا همضرب به یک تابع تبدیل شود {\displaystyle C^{J}\right arrow C}. همضرب خانواده{\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace } سپس اغلب با نشان داده می شود

{\displaystyle \coprod _{j\in J}X_{j}}

و همریختی ها i_jبه عنوان تزریق طبیعی شناخته می شوند .

اجازه دادن {\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(U,V\right)} مجموعه ای از تمام همریختی ها را نشان می دهد U به V که در سی(یعنی یک هوم ست درسی) یک ایزوهمریختی طبیعی داریم

\operatorname{Hom}_C\left(\coprod_{j\in J}X_j,Y\right) \cong \prod_{j\in J}\operatorname{Hom}_C(X_j,Y)

داده شده توسط پوشا و یکبهیک که همریختی هر تاپل از همریختی ها

(f_j)_{j\in J} \in \prod_{j \in J}\operatorname{Hom}(X_j,Y)

(ضرب در مجموعه ، مقوله مجموعه ها ، که حاصلضرب دکارتی است ، پس چند شکلی است) به همریختی

\coprod_{j\in J} f_j \in \operatorname{Hom}\left(\coprod_{j\in J}X_j,Y\راست).

این که این همریختی یک پیش‌بینی است، از جابه‌جایی نمودار نتیجه می‌شود: هر شکل‌سازیf همضرب تاپل است

(f\circ i_j)_{j \in J}.

اینکه این یک تزریق است، از ساختار جهانی که منحصر به فرد بودن چنین همریختی هایی را مشخص می کند، ناشی می شود. طبیعی بودن ایزوهمریختی نیز از پیامدهای نمودار است. بنابراین هوم فانککتور متضاد، هم ضرب را به ضرب تغییر می دهد. روش دیگری بیان شد، هم کارکرد، که به عنوان عاملی از دسته مقابل در نظر گرفته می شود {\displaystyle C^{\operatorname {op} }}به تنظیم پیوسته است. محدودیت ها را حفظ می کند (یک همضرب درسی ضربی است در {\displaystyle C^{\operatorname {op} }}).

اگر جییک مجموعه متناهی است ، بگویید{\displaystyle J=\lbrace 1,\ldots,n\rbrace }، سپس همضرب اشیاء X_{1}،\ldots،X_{n} اغلب با نشان داده می شود {\displaystyle X_{1}\oplus \ldots \oplus X_{n}}. فرض کنید همه هم ضربs محدود در وجود C ، تابعگر ها هم ضرب اند همانطور که در بالا انتخاب شده است، و 0 نشان دهنده جسم اولیه از C مربوط به هم ضرب خالی است. پس ما یکریخت طبیعی داریم

X\oplus (Y \oplus Z)\cong (X\plus Y)\plus Z\cong X\oplus Y\plus Z

X\plus 0 \cong 0\plus X \cong X

X\oplus Y \cong Y\plus X.

این ویژگی ها به طور رسمی شبیه به ویژگی های یک مونوئید جابجایی هستند . یک دسته با هم ضرب محدود نمونه ای از یک دسته متقارن متقارن است .

اگر دسته دارای یک شی صفر باشد ز، سپس ما یک همریختی منحصر به فرد داریم {\displaystyle X\arrow Z} (از آنجا که زاست ترمینال ) و بدین ترتیب همریختی {\displaystyle X\oplus Y\right arrow Z\plus Y}. از آنجا کهز همچنین اولیه است، ما یک یکریختی متعارف داریم{\displaystyle Z\oplus Y\cong Y}مانند پاراگراف قبل بنابراین ما همریختی داریم{\displaystyle X\plus Y\راست فلش X} و {\displaystyle X\plus Y\arrow Y}، که توسط آن یک همریختی متعارف را استنباط می کنیم {\displaystyle X\oplus Y\راست فلش X\times Y}. این ممکن است با القاء به یک همریختی متعارف از هر همضرب محدود به ضرب مربوطه گسترش یابد. این همریختی به طور کلی لازم نیست یک یکریختی باشد. در دورهای آن مناسب است بروریختی در حالی که در مجموعه * (این دسته از مجموعه اشاره کرد ) آن مناسب است تکریختی . در هر مقوله پيشافزاينده اي ، اين مورفيسم يك یکریختی است و جسم مربوطه به عنوان دو ضرب شناخته مي شود . دسته ای با همه دو ضرب محدود به عنوان دسته نیمه افزودنی شناخته می شود .

اگر همه

خانواده‌های اشیاء توسط جی هم ضرب در سی، سپس همضرب از یک تابع تشکیل شده است {\displaystyle C^{J}\right arrow C}. توجه داشته باشید که مانند ضرب، این تابع نیز کوواریانت است .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

​

​

  •