​

بیانیه [ ویرایش ]

اجازه دهید{\displaystyle (X,L)}یک سیستم مکانیکی باnدرجه آزادی. اینجاایکسفضای پیکربندی و{\displaystyle L=L(t,{\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {v}})}لاگرانژی ، یعنی یک تابع با ارزش واقعی صاف به طوری که{\displaystyle {\boldsymbol {q}}\in X,}و{\displaystyle {\boldsymbol {v}}}هست یکn-بعدی "بردار سرعت". (برای کسانی که با هندسه دیفرانسیل آشنا هستند ،ایکسمنیفولد صاف است و{\displaystyle L:{\mathbb {R} }_{t}\times TX\to {\mathbb {R}},}جایی کهTXبسته نرم افزاری مماس است{\displaystyle X).}

اجازه دهید,{\displaystyle {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}مجموعه مسیرهای هموار باشد{\displaystyle {\boldsymbol {q}}:[a,b]\to X}برای کدام{\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}و{\displaystyle {\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}.} عمل کاربردی (a,b,{\displaystyle S:{\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R} }از طریق تعریف شده است

 

{\displaystyle S[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}} (t))\,dt.}

 

یک مسیر{\displaystyle {\boldsymbol {q}}\in {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}یک نقطه ثابت ازاساگر و تنها اگر

{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t)) -{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t)،{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))=0,\quad i=1,\dots ,n.}

اینجا،{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {q}}}(t)}مشتق زمانی است{\displaystyle {\boldsymbol {q}}(t).}

استخراج معادله اویلر-لاگرانژ یک بعدی

اشتقاق معادله اویلر-لاگرانژ یک بعدی یکی از برهان های کلاسیک در ریاضیات است. متکی بر لم اساسی حساب تغییرات است.

ما می خواهیم یک تابع پیدا کنیمfکه شرایط مرزی را برآورده می کندf(a)=A،f(b)=B، و عملکردی را افراط می کند

 

{\displaystyle J=\int _{a}^{b}L(x,f(x),f'(x))\,\mathrm {d} x\ .}

 

ما این را فرض می کنیمالدو بار به طور مداوم قابل تمایز است. [3] می توان از فرض ضعیف تری استفاده کرد، اما اثبات دشوارتر می شود. [ نیازمند منبع ]

اگرfموضوع عملکردی را به شرایط مرزی منتهی می‌کند، سپس هرگونه اغتشاش جزئیfکه مقادیر مرزی را حفظ می کند یا باید افزایش یابدجی(اگرfبه حداقل می رساند) یا کاهش می یابدجی(اگرfماکسیمیزر است).

اجازه دهیدg_{\varepsilon }(x)=f(x)+\varepsilon \eta (x)نتیجه چنین آشفتگی باشد\varepsilon \eta (x)ازf، جایی که\varepsilonکوچک است و\eta (x)یک تابع متمایز رضایت بخش است\eta (a)=\eta (b)=0. سپس تعریف کنید

 

{\displaystyle J_{\varepsilon }=\int _{a}^{b}L(x,g_{\varepsilon }(x),g_{\varepsilon }'(x))\,\mathrm {d} x =\int _{a}^{b}L_{\varepsilon }\,\mathrm {d} x}جایی که

{\displaystyle L_{\varepsilon }=L(x,\,g_{\varepsilon }(x),\,g_{\varepsilon }'(x))}.

 

اکنون می خواهیم مشتق کل را محاسبه کنیمJ_{\varepsilon }با توجه به ε .

 

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} J_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\ int _{a}^{b}L_{\varepsilon }\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} L_{\varepsilon }}{\ mathrm {d} \varepsilon }}\,\mathrm {d} x.}

 

از مشتق کل نتیجه می شود که

 

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} L_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}&={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial x}}+{\frac {\mathrm {d} g_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon } }{\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }}}+{\frac {\mathrm {d} g_{\varepsilon }'}{\mathrm {d} \varepsilon }} {\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }'}}\\&={\frac {\mathrm {d} g_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }}}+{\frac {\mathrm {d} g'_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial g'_{\varepsilon }}}\\&=\eta (x){\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }}}+\eta '(x){\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }'}}\ .\end{تراز شده}}}

 

خط دوم از این واقعیت ناشی می شود کهایکسبستگی ندارد\varepsilon، یعنی{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varepsilon }}=0}.

بنابراین

 

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} J_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }}}+\eta '(x){\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }'}}\ ,\right]\,\mathrm {d} x\,.}

وقتی ε = 0 داریم g ε = f , L ε = L ( x , f ( x ), f ′( x )) و J ε یک مقدار افراطی دارد، به طوری که

 

{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} J_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\int _{a}^{ b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f}}+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}\,\right ]\,\mathrm {d} x=0\ .}

 

مرحله بعدی استفاده از ادغام توسط قطعات در ترم دوم انتگرال، بازده است

 

{\displaystyle \int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}} {\frac {\partial L}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x+\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f'}}\right]_{a}^{b}=0\ .}

 

با استفاده از شرایط مرزی\eta (a)=\eta (b)=0،

 

{\displaystyle \int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}} {\frac {\partial L}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x=0\,.}

 

اکنون با اعمال لم اساسی حساب تغییرات معادله اویلر-لاگرانژ به دست می آید.

 

{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f' }}=0\,.}