3-توابع هذلولی

مشتقات [ ویرایش ]

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\ {\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2} x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{تراز شده}}$

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\ frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}} \operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\ frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{تراز شده}}$

مشتقات دوم [ ویرایش ]

هر یک از توابع sinh و cosh برابر با مشتق دوم خود هستند ، یعنی:

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sinh x=\sinh x$

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cosh x=\cosh x\,.$

همه توابع دارای این ویژگی ترکیبی خطی از sinh و cosh هستند، به ویژه توابع نمایی } $e^{x}$ و $e^{-x}$ .

انتگرال استاندارد [ ویرایش ]

برای فهرست کامل، لیست انتگرال های توابع هذلولی را ببینید.

${\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{- 1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\, dx&=a^{-1}\ln \left|\sinh(ax)\right|+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh (ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\tanh \left({\frac {ax}{2}}\راست )\right|+C=a^{-1}\ln \left|\coth \left(ax\right)-\operatorname {csch} \left(ax\right)\right|+C=-a^{ -1}\operatorname {arcoth} \left(\cosh \left(ax\right)\right)+C\end{aligned}}$

انتگرال های زیر را می توان با استفاده از جایگزینی هذلولی اثبات کرد :

${\begin{aligned}\int {{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arsinh} \left( {\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&= \operatorname {sgn} {u}\operatorname {arcosh} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^ {2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}<a^{2}\\ \int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcoth} \left({\frac {u}{a}} \right)+C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du }&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt { a^{2}+u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+ C\end{تراز شده}}$

که در آن C ثابت انتگرال است.

عبارات سری تیلور [ ویرایش ]

می توان به طور صریح سری تیلور را در صفر (یا سری لران ، اگر تابع در صفر تعریف نشده است) از توابع بالا بیان کرد.

$\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}} {7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

این سری برای هر مقدار مختلط x همگرا است . از آنجایی که تابع sinh x فرد است ، تنها توان های فرد برای x در سری تیلور آن وجود دارد.

$\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6} }{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$ این سری برای هر مقدار مختلط x همگرا است . از آنجایی که تابع cosh x زوج است ، فقط نماهای زوج برای x در سری تیلور آن وجود دارد.

مجموع سری sinh و cosh بیان سری نامتناهی تابع نمایی است .

سری‌های زیر با شرح زیرمجموعه‌ای از دامنه همگرایی آن‌ها دنبال می‌شوند ، که در آن سری همگرا است و مجموع آن برابر با تابع است.

${\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x ^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^ {2n-1}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\ frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =\sum _{n=0} ^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \\ \operatorname {sech} x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{ 720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right |<{\frac {\pi }{2}}\\\نام اپراتور {csch} x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}} {360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1 })B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}،\qquad 0<\left|x\right|<\pi \end{تراز شده}}$

جایی که:

$B_{n}$ n امین عدد برنولی است
$E_{n}$ n امین عدد اویلر است

محصولات نامتناهی و کسرهای مسلسل [ ویرایش ]

بسط های زیر در کل صفحه مختلط معتبر هستند:

$\sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}} \right)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4 \cdot 5+x^{2}-{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7+x^{2}-\ddots }}}}}}}}$

$\cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^ {2}}}\right)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2+x^{2}-{\cfrac {1\cdot 2x^{ 2}}{3\cdot 4+x^{2}-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6+x^{2}-\ddots }}}}}}}}$

$\tanh x={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}+{\cfrac {1}{ {\cfrac {5}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}+\ddots }}}}}}}}$

مقایسه با توابع دایره ای [ ویرایش ]

مماس دایره و هذلولی در (1،1) هندسه توابع دایره ای را بر حسب ناحیه بخش دایره ای u و توابع هذلولی بسته به ناحیه بخش هذلولی u نشان می دهد.

توابع هذلولی نشان دهنده گسترش مثلثات فراتر از توابع دایره ای هستند . هر دو نوع به یک آرگومان بستگی دارند ، یا زاویه دایره ای یا زاویه هذلولی .

از آنجایی که مساحت یک بخش دایره ای با شعاع r و زاویه u (به رادیان) r 2 u /2 است، زمانی که r = √ 2 برابر با u خواهد بود . در نمودار، چنین دایره ای مماس بر هذلولی xy = 1 در (1،1) است. بخش زرد یک ناحیه و قدر زاویه را نشان می دهد. به طور مشابه، بخش های زرد و قرمز با هم یک ناحیه و قدر زاویه هذلولی را نشان می دهند .

ساقهای دو مثلث قائم الزاویه با هیپوتنوز روی پرتوی که زوایا را مشخص می کند دارای طول √ 2 برابر توابع دایره ای و هذلولی هستند.

زاویه هذلولی با توجه به نگاشت فشردگی ، اندازه گیری ثابتی است ، همانطور که زاویه دایره ای تحت چرخش ثابت است. [22]

تابع گودرمانی رابطه مستقیمی بین توابع دایره ای و توابع هذلولی که شامل اعداد مختلط نیستند می دهد.

نمودار تابع a cosh( x / a ) ، منحنی است که توسط یک زنجیره منعطف یکنواخت تشکیل شده است که آزادانه بین دو نقطه ثابت تحت گرانش یکنواخت آویزان است.

رابطه با تابع نمایی [ ویرایش ]

تجزیه تابع نمایی در قسمت های زوج و فرد آن هویت ها را به دست می دهد

$e^{x}=\cosh x+\sinh x,$ و

$e^{-x}=\cosh x-\sinh x.$ با فرمول اویلر ترکیب شده است

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$ این می دهد

$e^{x+iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y)$ برای تابع نمایی مختلط عمومی .

علاوه بر این،

$e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}} {1-\tanh {\frac {x}{2}}}}$

توابع هذلولی برای اعداد مختلط [ ویرایش ]

از آنجایی که تابع نمایی را می توان برای هر آرگومان مختلط تعریف کرد ، می توانیم تعاریف توابع هذلولی را به آرگومان های مختلط نیز تعمیم دهیم. سپس توابع sinh z و cosh z هولومورف هستند .

روابط با توابع مثلثاتی معمولی با فرمول اویلر برای اعداد مختلط داده می شود:

${\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}&=\cos xi\sin x\end{aligned}}$ بنابراین:

${\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\ \sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)& =\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x )\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=- i\tan(ix)\end{تراز شده}}$