4-معادله اویلر-لاگرانژ

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و هشتم خرداد ۱۴۰۱ | 2:17

استخراج متناوب از معادله اویلر-لاگرانژ یک بعدی

با توجه به عملکرد

$J=\int _{a}^{b}L(t,y(t),y'(t))\,\mathrm {d} t$

بر $C^{1}([a,b])$ با شرایط مرزی $y(a)=A$ و $y(b)=B$ ، با تقریب منحنی منحنی با یک خط چند ضلعی با $n$ بخش ها و عبور از حد مجاز با افزایش خودسرانه تعداد بخش ها.

فاصله را تقسیم کنید $[الف، ب]$ به $n$ بخش های مساوی با نقاط پایانی $t_{0}=a,t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}=b$ و اجازه دهید $\دلتا t=t_{k}-t_{k-1}$ . به جای یک عملکرد صاف $y(t)$ خط چند ضلعی را با رئوس در نظر می گیریم $(t_{0}،y_{0})،\ldots،(t_{n}،y_{n})$ ، جایی که $y_{0}=A$ و $y_{n}=B$ . بر این اساس، تابع ما به یک تابع واقعی تبدیل می شود $n-1$ متغیرهای داده شده توسط

$J(y_{1},\ldots,y_{n-1})\approx \sum _{k=0}^{n-1}L\left(t_{k},y_{k}, {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}\right)\Delta t.$

Extremals از این تابع جدید در نقاط گسسته تعریف شده است $t_{0}،\ldots،t_{n}$ مربوط به نقاطی است که در آن

${\frac {\partial J(y_{1},\ldots,y_{n})}{\partial y_{m}}}=0.$

ارزیابی این مشتق جزئی می دهد

${\frac {\partial J}{\partial y_{m}}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_ {m}}{\Delta t}}\right)\Delta t+L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{ m-1}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{ \Delta t}}\راست).$

تقسیم معادله بالا بر $\ دلتا تی$ می دهد

${\frac {\partial J}{\partial y_{m}\Delta t}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1 }-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {1}{\Delta t}}\left[L_{y'}\left(t_{m},y_{m}, {\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\ frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)\right],$ و حد را به عنوان $\دلتا t\ به 0$ از سمت راست این عبارت بازده

$L_{y}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}L_{y'}=0.$

سمت چپ معادله قبلی مشتق تابعی است $\delta J/\delta y$ از عملکردی $جی$ . یک شرط ضروری برای داشتن یک تابع متمایز بر روی یک تابع این است که مشتق تابعی آن در آن تابع ناپدید شود، که با آخرین معادله به دست می‌آید.

مثال [ ویرایش ]

یک مثال استاندارد یافتن تابع با ارزش واقعی y ( x ) در بازه [ a , b ] است، به طوری که y ( a ) = c و y ( b ) = d ، که طول مسیر در امتداد منحنی با y ترسیم شده است . تا حد امکان کوتاه است

${\text{s}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}=\ int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,\mathrm {d} x,$

تابع انتگرال L ( x , y , y ′ ) = √ 1 + y √ ² است.

مشتقات جزئی L عبارتند از:

${\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\quad {\ text{and}}\quad {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0.$

با جایگزینی آنها در معادله اویلر-لاگرانژ، به دست می آوریم

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x) )^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text {constant}}\\\پیکان راست y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}=:A\\\پیکان راست y(x)&=Ax+ B\end{تراز شده}}$

یعنی تابع باید مشتق اول ثابت داشته باشد و بنابراین نمودار آن یک خط مستقیم است .

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی