از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

 

در محاسبات تغییرات و مکانیک کلاسیک ، معادلات اویلر-لاگرانژ [1] سیستمی از معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه دوم است که راه‌حل‌های آن نقاط ثابت عملکرد داده شده هستند . این معادلات در دهه 1750 توسط ریاضیدان سوئیسی لئونارد اویلر و ریاضیدان ایتالیایی جوزف-لوئیس لاگرانژ کشف شد.

از آنجایی که یک تابع قابل تمایز در منتهی الیه محلی خود ثابت است ، معادله اویلر-لاگرانژ برای حل مسائل بهینه‌سازی مفید است که در آنها، با توجه به برخی عملکردها، فرد به دنبال کمینه کردن یا حداکثر کردن تابع است. این مشابه قضیه فرما در حساب دیفرانسیل و انتگرال است، که بیان می‌کند در هر نقطه‌ای که یک تابع قابل تمایز به یک انتها محلی برسد مشتق آن صفر است.

در مکانیک لاگرانژی ، طبق اصل کنش ثابت همیلتون ، تکامل یک سیستم فیزیکی با حل معادله اویلر برای عمل سیستم توصیف می‌شود. در این زمینه معادلات اویلر را معمولا معادلات لاگرانژ می نامند . در مکانیک کلاسیک ، معادل قوانین حرکت نیوتن است ، اما این مزیت را دارد که در هر سیستم مختصات تعمیم یافته ، شکل یکسانی به خود می گیرد و برای تعمیم ها مناسب تر است. در نظریه میدان کلاسیک معادله ای مشابه برای محاسبه دینامیک یک میدان وجود دارد.

 

فهرست

تاریخچه [ ویرایش ]

معادله اویلر-لاگرانژ در دهه 1750 توسط اویلر و لاگرانژ در ارتباط با مطالعات آنها در مورد مسئله تووکرون ایجاد شد. این مشکل تعیین منحنی است که در آن یک ذره وزنی در یک زمان ثابت، مستقل از نقطه شروع، به یک نقطه ثابت می افتد.

لاگرانژ این مشکل را در سال 1755 حل کرد و راه حل را برای اویلر فرستاد. هر دو روش لاگرانژ را بیشتر توسعه دادند و آن را در مکانیک به کار بردند که منجر به فرمول بندی مکانیک لاگرانژ شد. مکاتبات آنها در نهایت منجر به محاسبه تغییرات شد، اصطلاحی که توسط خود اویلر در سال 1766 ابداع شد. [2]