قضیه همگرایی ویتالی

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه سی ام مهر ۱۴۰۲ | 21:7

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در تحلیل واقعی و تئوری اندازه گیری ، قضیه همگرایی ویتالی ، که به نام ریاضیدان ایتالیایی جوزپه ویتالی نامگذاری شده است ، تعمیم قضیه همگرایی غالب معروف هانری لبگ است . این توصیفی از همگرایی در L p از نظر همگرایی در اندازه گیری و شرایط مربوط به انتگرال یکنواخت است .

تعاریف اولیه [ ویرایش ]

اجازه دهید $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ یک فضای اندازه گیری باشد ، یعنی $\mu :{\mathcal {A}}\to [0,\infty ]$ تابع مجموعه ای است به طوری که $\mu (\emptyset )=0$ و $\mu$ قابل شمارش-افزودنی است. تمام توابع در نظر گرفته شده در دنباله، توابع خواهند بود $f:X\to \mathbb {K}$ ، جایی که $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ یاسی $\mathbb {C}$ . ما تعاریف زیر را با توجه به اصطلاحات بوگاچف اتخاذ می کنیم. [1]

مجموعه ای از توابع ${\mathcal {F}}\subset L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ یکنواخت انتگرال پذیر نامیده می شود اگر $\lim _{M\to +\infty }\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{\{|f|>M\}}|f|\,d\ mu =0$ ، یعنی $\forall \ \varepsilon >0,\ \exists \ M_{\varepsilon }>0:\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{\{|f|\geq M_ {\varepsilon }\}}|f|\,d\mu <\varepsilon$ .
مجموعه ای از توابع ${\mathcal {F}}\subset L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ گفته می شود که دارای انتگرال های یکنواخت مطلقاً پیوسته است اگر $\lim _{\mu (A)\to 0}\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{A}|f|\,d\mu =0$ ، یعنی $\forall \ \varepsilon >0,\ \exists \ \delta _{\varepsilon }>0,\ \forall \ A\in {\mathcal {A}}:\mu (A)<\delta _{ \varepsilon }\Rightarrow \sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{A}|f|\,d\mu <\varepsilon$ . این تعریف گاهی اوقات به عنوان تعریفی از انتگرال یکنواخت استفاده می شود. با این حال، با تعریف انتگرال یکنواخت ارائه شده در بالا متفاوت است.

چه زمانی $\mu(X)<\infty$ ، مجموعه ای از توابع ${\mathcal {F}}\subset L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ به طور یکنواخت قابل ادغام است اگر و فقط در صورتی که محدود باشد $L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ و دارای انتگرال های کاملاً پیوسته یکنواخت است. اگر علاوه بر این، $\mu$ بدون اتم است، پس انتگرال یکنواخت معادل تداوم مطلق یکنواخت انتگرال است.

مورد اندازه گیری محدود [ ویرایش ]

اجازه دهید $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ فضای اندازه گیری با $\mu(X)<\infty$ . اجازه دهید $(f_{n})\subset L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ و $f$ لوبیاآ ${\mathcal {A}}$ -عملکرد قابل اندازه گیری بعدی ها برابر هستند :

$f\in L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ و $(f_{n})$ همگرا می شود $f$ که در $L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ;
توالی توابع $(f_{n})$ همگرا می شود $\mu$ -اندازه گیری به $f$ و $(|f_{n}|^{p})_{n\geq 1}$ به طور یکنواخت قابل ادغام است.

برای اثبات، به تک نگاری بوگاچف "نظریه اندازه گیری، جلد اول" مراجعه کنید. [1]

مورد اندازه گیری بی نهایت [ ویرایش ]

اجازه دهید $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ فضای اندازه گیری باشد و $1\leq p<\infty$ . اجازه دهید $(f_{n})_{n\geq 1}\subsetq L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ و $f\in L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ . سپس، $(f_{n})$ همگرا می شود $f$ که در $L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ اگر و فقط اگر موارد زیر وجود داشته باشد:

توالی توابع $(f_{n})$ همگرا می شود $\mu$ -اندازه گیری به $f$ ;
$(f_{n})$ دارای انتگرالهای کاملاً پیوسته یکنواخت است.
برای هر $\varepsilon > 0$ ، وجود دارد $X_{\varepsilon }\in {\mathcal {A}}$ به طوری که $\mu (X_{\varepsilon })<\infty$ و $\sup _{n\geq 1}\int _{X\setminus X_{\varepsilon }}|f_{n}|^{p}\,d\mu <\varepsilon .$

چه زمانی $\mu(X)<\infty$ ، شرط سوم زائد می شود (به سادگی می توان گرفت $X_{\varepsilon }=X$ ) و دو شرط اول شکل معمول قضیه همگرایی ویتالی-لبک را می دهد که در ابتدا برای فضاهای اندازه گیری با اندازه محدود بیان شد. در این مورد، می توان نشان داد که شرایط 1 و 2 دلالت بر این دارد که دنباله $(|f_{n}|^{p})_{n\geq 1}$ به طور یکنواخت قابل ادغام است.

برعکس قضیه [ ویرایش ]

اجازه دهید $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ فضا را اندازه گیری کنید اجازه دهید $(f_{n})_{n\geq 1}\subsetq L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ و فرض کنید که $\lim _{n\to \infty }\int _{A}f_{n}\,d\mu$ برای هر وجود دارد $A\in {\mathcal {A}}$ . سپس، دنباله $(f_{n})$ محدود شده است $L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ و دارای انتگرال های کاملاً پیوسته یکنواخت است. علاوه بر این، وجود دارد $f\in L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ به طوری که $\lim _{n\to \infty }\int _{A}f_{n}\,d\mu =\int _{A}f\,d\mu$ برای هرآ∈آ $A\in {\mathcal {A}}$ .

چه زمانی $\mu(X)<\infty$ ، این نشان می دهد که $(f_{n})$ به طور یکنواخت قابل ادغام است.

برای اثبات، به تک نگاری بوگاچف "نظریه اندازه گیری، جلد اول" مراجعه کنید. [1]

https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_convergence_theorem

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی