قضیه همگرایی مسلط لبگ

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در تئوری اندازه گیری ، قضیه همگرایی مسلط لبگ شرایط کافی را فراهم می کند که تحت آن تقریباً در همه جا همگرایی دنباله ای از توابع متضمن همگرایی در هنجار L 1 است . قدرت و کاربرد آن دو مزیت نظری اولیه انتگرال لبگ نسبت به انتگرال ریمان است .

علاوه بر ظاهر مکرر آن در تجزیه و تحلیل ریاضی و معادلات دیفرانسیل جزئی، به طور گسترده ای در نظریه احتمال استفاده می شود ، زیرا شرایط کافی برای همگرایی مقادیر مورد انتظار متغیرهای تصادفی را فراهم می کند .

بیانیه [ ویرایش ]

قضیه همگرایی غالب لبگ. [1] اجازه دهید $(f_{n})$ دنباله ای از توابع قابل اندازه گیری با ارزش مختلط در فضای اندازه گیری باشد $(S,\Sigma,\mu )$ . فرض کنید دنباله به صورت نقطه ای به یک تابع همگرا می شود $f$ و تحت سلطه برخی از عملکردهای یکپارچه است $g$ از آن جهت که

$|f_{n}(x)|\leq g(x)$

برای همه اعداد n در مجموعه شاخص دنباله و همه نقاط $x\ در S$ . سپس f انتگرال پذیر است (به معنای لبگ ) و

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}|f_{n}-f|\,d\mu =0$

که همچنین دلالت دارد

$\lim_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu = \int_S f\,d\mu$

نکته 1. عبارت " g قابل انتگرال است" به معنای آن تابع قابل اندازه گیری است $g$ لبگ انتگرالپذیر است. یعنی

$\int_S|g|\,d\mu < \infty.$

نکته 2. همگرایی دنباله و غلبه توسط $g$ می توان آن را شل کرد و فقط μ- را تقریباً در همه جا نگه داشت ، مشروط بر اینکه فضای اندازه گیری ( S ، Σ، μ) کامل باشد یا $f$ به عنوان یک تابع قابل اندازه گیری انتخاب می شود که μ-تقریبا در همه جا با μ- تقریباً در همه جا حد نقطه ای موجود مطابقت دارد. (این اقدامات احتیاطی ضروری است، زیرا در غیر این صورت ممکن است یک زیرمجموعه غیر قابل اندازه گیری از یک مجموعه μ-تهی N∈ Σ وجود داشته باشد ، بنابراین $f$ ممکن است قابل اندازه گیری نباشد.)

تبصره 3. اگر $\mu (S)<\infty$ ، شرایطی که یک تابع انتگرال پذیر غالب وجود دارد $g$ را می توان به یکپارچگی یکنواخت دنباله ( fn )، رجوع کنید به قضیه همگرایی Vitali .

تبصره 4. در حالی که $f$ لبگ انتگرالپذیر است، به طور کلی ریمان انتگرالپذیر نیست . برای مثال، f n را در نظر بگیرید تا در آن تعریف شود $[0,1]$ به طوری که در اعداد گویا 1/n و در هر جای دیگر صفر است (در غیر منطقی ها). سری ( f n ) به صورت نقطه ای به 0 همگرا می شود، بنابراین f یکسان صفر است، اما $|f_{n}-f|=f_{n}$ ریمان انتگرالپذیر نیست، زیرا تصویر آن در هر بازه محدود است $\{0,1/n\}$ و بنابراین انتگرال داربوکس بالایی و پایینی به ترتیب 1/n و 0 هستند.

اثبات [ ویرایش ]

بدون از دست دادن کلیت ، می توان فرض کرد که f حقیقی است، زیرا می توان f را به بخش های حقیقی و موهومی آن تقسیم کرد (به یاد داشته باشید که دنباله ای از اعداد مختلط همگرا می شوند اگر و فقط اگر همتایان حقیقی و موهومی آن همگرا شوند) و نابرابری مثلث را اعمال کنید. در پایان.

قضیه همگرایی غالب لبگ یک مورد خاص از قضیه فاتو-لبگ است . با این حال، در زیر یک دلیل مستقیم وجود دارد که از لم فاتو به عنوان ابزار ضروری استفاده می کند.

از آنجایی که f حد نقطه‌ای دنباله ( fn ) توابع قابل اندازه‌گیری است که تحت تسلط g هستند ، همچنین قابل اندازه‌گیری و تحت تسلط g است ، بنابراین انتگرال‌پذیر است. علاوه بر این، (اینها بعدا مورد نیاز خواهند بود)،

$|f-f_n| \le |f| + |f_n| \leq 2 گرم$

برای همه n و

$\limsup_{n\to\infty} |f-f_n| = 0.$

دومی از اینها به طور پیش پا افتاده درست است (با همان تعریف f ). با استفاده از خطی بودن و یکنواختی انتگرال لبگ

$\ چپ | \int_S{f\,d\mu} - \int_S{f_n\,d\mu} \راست|= \چپ| \int_S{(f-f_n)\,d\mu} \right|\le \int_S{|f-f_n|\,d\mu}.$

توسط لم معکوس Fatou (در اینجا است که ما از این حقیقیت استفاده می کنیم که | f − f n | در بالا توسط یک تابع انتگرال پذیر محدود شده است)

$\limsup_{n\to\infty} \int_S |f-f_n|\,d\mu \le \int_S \limsup_{n\to\infty} |f-f_n|\,d\mu = 0,$

که دلالت بر این دارد که حد وجود دارد و ناپدید می شود

$\lim_{n\to\infty} \int_S |f-f_n|\,d\mu= 0.$

در نهایت، از آن زمان

$\lim _{n\to \infty }\left|\int _{S}fd\mu -\int _{S}f_{n}d\mu \right|\leq \lim _{n\ به \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0.$

ما آن را داریم

$\lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}f\,d\mu .$

حال این قضیه دنبال می شود.

اگر مفروضات فقط μ-تقریباً در همه جا برقرار باشند، پس یک مجموعه μ-تهی N ∈ Σ وجود دارد به طوری که توابع f n 1 S \ N مفروضات را در همه جای S برآورده می کنند . سپس تابع f ( x ) که به عنوان حد نقطه‌ای f n ( x ) برای x ∈ S \ N و با f ( x ) = 0 برای x ∈ N تعریف شده است، قابل اندازه‌گیری است و حد نقطه‌ای این دنباله تابع تغییر یافته است. مقادیر این انتگرال‌ها تحت تأثیر این تغییرات انتگرال‌های این مجموعه تهی N قرار نمی‌گیرند ، بنابراین قضیه همچنان پابرجاست.

DCT پابرجاست حتی اگر f n از نظر اندازه به f همگرا شود (اندازه محدود) و تابع غالب تقریباً در همه جا غیر منفی است.

بحث در مورد مفروضات [ ویرایش ]

این فرض که توالی تحت سلطه مقداری g قابل انتگرال است را نمی توان نادیده گرفت. این را می توان به صورت زیر مشاهده کرد: f n ( x ) = n را برای x در بازه ( 0, 1/ n ] تعریف کنید و در غیر این صورت f n ( x ) = 0 را تعریف کنید . = sup n f n توجه کنید

$\int_0^1 h(x)\,dx \ge \int_{\frac{1}{m}}^1{h(x)\,dx} = \sum_{n=1}^{m-1} \int_{\left(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right]}{h(x)\,dx} \ge \sum_{n=1}^{m -1} \int_{\left(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right]}{n\,dx}=\sum_{n=1}^{m- 1} \frac{1}{n+1} \to \infty \qquad \text{as }m\to\infty$

با واگرایی سری هارمونیک . از این رو، یکنواختی انتگرال لبگ به ما می گوید که هیچ تابع انتگرال پذیری وجود ندارد که بر دنباله در [0،1] مسلط باشد. یک محاسبه مستقیم نشان می دهد که انتگرال و محدودیت نقطه ای برای این دنباله جابجا نمی شوند:

$\int_0^1 \lim_{n\to\infty} f_n(x)\,dx = 0 \neq 1 = \lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)\,dx,$

زیرا حد نقطه ای دنباله تابع صفر است . توجه داشته باشید که دنباله ( fn ) حتی به طور یکنواخت انتگرالپذیر نیست ، بنابراین قضیه همگرایی Vitali نیز قابل اجرا نیست.

قضیه همگرایی محدود [ ویرایش ]

یکی از پیامدهای قضیه همگرایی غالب، قضیه همگرایی محدود است ، که بیان می‌کند که اگر ( fn ) دنباله‌ای از توابع قابل اندازه‌گیری با مقدار مختلط محدود یکنواخت است که به صورت نقطه‌ای در فضای اندازه‌گیری محدود ( S , Σ, μ) همگرا می‌شود (یعنی یک که در آن μ( S ) متناهی است) به یک تابع f ، سپس حد f یک تابع انتگرال پذیر است و

$\lim_{n\to\infty} \int_S{f_n\,d\mu} = \int_S{f\,d\mu}.$

نکته: همگرایی نقطه‌ای و مرز یکنواخت دنباله را می‌توان برای حفظ تنها μ- تقریباً در همه جا آرام کرد ، مشروط بر اینکه فضای اندازه‌گیری ( S ، Σ، μ) کامل باشد یا f به‌عنوان یک تابع قابل اندازه‌گیری انتخاب شود که μ-تقریباً در همه جا موافق است. μ- تقریباً در همه جا حد نقطه ای موجود است.

اثبات [ ویرایش ]

از آنجایی که دنباله به طور یکنواخت محدود است، یک عدد حقیقی M وجود دارد به طوری که | f n ( x )| ≤ M برای همه x ∈ S و برای همه n . g ( x ) = M را برای تمام x ∈ S تعریف کنید . سپس توالی تحت تسلط g است . علاوه بر این، g انتگرالپذیر است زیرا یک تابع ثابت در مجموعه ای از اندازه گیری های محدود است. بنابراین، نتیجه از قضیه همگرایی غالب به دست می آید.

اگر مفروضات فقط μ-تقریباً در همه جا برقرار باشند، پس یک مجموعه μ-تهی N ∈ Σ وجود دارد به طوری که توابع f n 1 S \ N مفروضات را در همه جای S برآورده می کنند .

همگرایی غالب در فضاهای L p (نتیجه) [ ویرایش ]

اجازه دهید $(\Omega،\mathcal{A}،\mu)$ فضای اندازه گیری باشد ،1≤پ<∞ $1\leq p<\infty$ یک عدد حقیقی و $(f_{n})$ دنباله ای از ${\mathcal {A}}$ -توابع قابل اندازه گیری $f_{n}:\Omega \to \mathbb {C} \cup \{\infty \}$ .

دنباله را فرض کنید $(f_{n})$ همگرا می شود $\mu$ -تقریبا همه جا به یکآ ${\mathcal {A}}$ -عملکرد قابل اندازه گیری $f$ ، و تحت سلطه a∈پ $g \ در L^p$ (ر.ک. فضای Lp )، یعنی برای هر عدد طبیعی $n$ ما داریم: $|f_{n}|\leq g$ ، μ-تقریبا در همه جا.

سپس همه $f_{n}$ همچنین $f$ هستند $L^{p}$ و دنباله $(f_{n})$ همگرا می شود $f$ به معنایپ $L^{p}$ ، یعنی:

$\lim_{n \to \infty}\|f_n-f\|_p =\lim_{n \to \infty}\left(\int_\Omega |f_n-f|^p \,d\mu\right)^ {\frac{1}{p}} = 0.$

ایده اثبات: قضیه اصلی را به دنباله تابع اعمال کنید $h_n = |f_n-f|^p$ با تابع غالب $(2g)^p$ .

برنامه های افزودنی [ ویرایش ]

قضیه همگرایی غالب برای توابع قابل اندازه‌گیری با مقادیر در فضای باناخ نیز اعمال می‌شود ، با اینکه تابع غالب همچنان غیرمنفی و انتگرالپذیر است. فرض همگرایی تقریباً در همه جا می تواند تضعیف شود و فقط نیاز به همگرایی در اندازه باشد .

قضیه همگرایی غالب در مورد انتظارات مشروط نیز کاربرد دارد. [2]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

همگرایی متغیرهای تصادفی ، همگرایی در میانگین
قضیه همگرایی یکنواخت (نیازی به تسلط تابع انتگرال پذیر نیست، بلکه یکنواختی دنباله را در نظر می گیرد)
لم شفه
یکپارچگی یکنواخت
قضیه همگرایی ویتالی (تعمیم قضیه همگرایی غالب لبگ)

یادداشت ها

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Dominated_convergence_theorem

+ نوشته شده در یکشنبه سی ام مهر ۱۴۰۲ ساعت 20:58 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی