​

ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، نابرابری مارتینگل دوب ، که به نام نابرابری زیرمارتینگل کولموگروف نیز شناخته می شود ، نتیجه مطالعه فرآیندهای تصادفی است . این یک محدودیت در احتمال اینکه یک زیرمارتینگیل از هر مقدار داده شده در یک بازه زمانی معین فراتر رود، می دهد. همانطور که از نام آن پیداست، نتیجه معمولاً در موردی داده می‌شود که فرآیند یک مارتینگل باشد ، اما نتیجه برای زیر مارتینگل‌ها نیز معتبر است.

این نابرابری به دلیل ریاضیدان آمریکایی جوزف ال دوب است .

بیانیه نابرابری [ ویرایش ]

تنظیم نابرابری دوب یک زیرمارتینگیل نسبت به فیلتر فضای احتمال زیرین است. اندازه گیری احتمال در فضای نمونه مارتینگل با P نشان داده می شود . مقدار مورد انتظار متناظر یک متغیر تصادفی X ، همانطور که توسط انتگرال لبگ تعریف شده است، با E[ X ] نشان داده می شود .

به طور غیررسمی، نابرابری دوب بیان می‌کند که مقدار مورد انتظار فرآیند در زمان نهایی، احتمال اینکه یک مسیر نمونه از قبل به بالاتر از مقدار خاصی برسد را کنترل می‌کند. از آنجایی که اثبات از استدلال بسیار مستقیم استفاده می کند، بر خلاف بسیاری از قضایای دیگر در مورد فرآیندهای تصادفی، به هیچ فرض محدود کننده ای در مورد فیلترسازی اساسی یا خود فرآیند نیاز ندارد. در تنظیم زمان پیوسته، پیوستگی راست (یا پیوستگی چپ) مسیرهای نمونه مورد نیاز است، اما فقط به این دلیل که بدانیم مقدار فوق‌العاده یک مسیر نمونه با مقدار فوق‌العاده یک زیرمجموعه زمان‌های متراکم قابل شمارش دلخواه برابر است.

زمان گسسته [ ویرایش ]

اجازه دهید X 1 ، ...، X n یک زیر مارتینگال زمان گسسته نسبت به یک فیلتر باشد.{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1},\ldots ,{\mathcal {F}}_{n}}از فضای احتمال زیربنایی، که می گویند:

{\displaystyle X_{i}\leq \operatorname {E} [X_{i+1}\mid {\mathcal {F}}_{i}].}

نابرابری زیرمارتینگیل [ توضیح لازم است ] این را می گوید

{\displaystyle P\left[\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\geq C\right]\leq {\frac {\operatorname {E} [{\textrm {max}}(X_ {n}،0)]}{C}}}

برای هر عدد مثبت C اثبات بر این واقعیت تئوری مجموعه متکی است که رویداد تعریف شده توسط max( Xi ) > C ممکن است به عنوان اتحادیه متفرقه رویدادهای E i که توسط Xi > C و Xj ≤ C برای همه j < i تعریف شده است، تجزیه شود . سپس

{\displaystyle CP(E_{i})=\int _{E_{i}}C\,dP\leq \int _{E_{i}}X_{i}\,dP\leq \int _{E_{ i}}{\text{E}}[X_{n}\mid {\mathcal {F}}_{i}]\,dP=\int _{E_{i}}X_{n}\,dP, }

با استفاده از خاصیت زیرمارتینگیل برای آخرین نابرابری و این واقعیت که{\displaystyle E_{i}\در {\mathcal {F}}_{i}}برای آخرین برابری جمع کردن این نتیجه در محدوده i از 1 تا n به نتیجه می رسد [ توضیحات لازم ]

{\displaystyle CP(E)\leq \int _{E}X_{n}\,dP,}

که واضح تر از نتیجه بیان شده است. با استفاده از این واقعیت ابتدایی که X n ≤ max( X n , 0) , نابرابری زیرمارتینگیل داده شده به دست می آید.

در این اثبات، ویژگی زیرمارتینگیل یک بار به همراه تعریف انتظار شرطی استفاده می شود . [1] همچنین می‌توان این اثبات را به زبان فرآیندهای تصادفی بیان کرد تا نتیجه‌ای از این قضیه قدرتمند باشد که یک زیر مارتینگال متوقف شده خود یک زیرمارتینگل است. [2] در این تنظیمات، حداقل شاخص i که در اثبات فوق ظاهر می‌شود، به عنوان زمان توقف تفسیر می‌شود .

زمان پیوسته [ ویرایش ]

حال اجازه دهید X t یک زیرمارتینگیل باشد که با بازه [0,T] از اعداد واقعی، نسبت به فیلتر Ft فضای احتمال زیرین نمایه شده است، که به این صورت است :

{\displaystyle X_{s}\leq \operatorname {E} [X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}].}

برای همه s < t . نابرابری زیرمارتینگیل [ توضیحات لازم ] می گوید که اگر مسیرهای نمونه مارتینگل تقریباً مطمئناً راست-پیوسته باشند، پس

{\displaystyle P\left[\sup _{0\leq t\leq T}X_{t}\geq C\right]\leq {\frac {\operatorname {E} [{\textrm {max}}(X_ {T}،0)]}{C}}}

برای هر عدد مثبت C این نتیجه نتیجه زمان گسسته فوق است که با نوشتن به دست آمده است

{\displaystyle \sup _{0\leq t\leq T}X_{t}=\sup\{X_{t}:t\in [0,T]\cap \mathbb {Q} \}=\lim _ {i\to \infty }\sup\{X_{t}:t\in [0,T]\cap Q_{i}\}}

که در آن Q 1 ⊂ Q 2 ⊂ ⋅⋅⋅ هر دنباله ای از مجموعه های متناهی است که اتحاد آن مجموعه همه اعداد گویا باشد. برابری اول نتیجه فرض راست تداوم است، در حالی که برابری دوم صرفاً نظری مجموعه است. نابرابری زمان گسسته برای گفتن آن اعمال می شود

{\displaystyle P\left[\sup _{t\in [0,T]\cap Q_{i}}X_{t}\geq C\right]\leq {\frac {\operatorname {E} [{\ textrm {max}}(X_{T},0)]}{C}}}

برای هر i ، و این به حدی می رسد که نابرابری زیرمارتینگیل را به دست می دهد. [3] این گذر از زمان گسسته به زمان پیوسته بسیار منعطف است، زیرا فقط به داشتن یک زیرمجموعه متراکم قابل شمارش از [0,T] نیاز دارد، که می‌تواند به طور خودکار از یک توالی فزاینده از مجموعه‌های محدود ساخته شود. به این ترتیب، نابرابری زیرمارتینگیل حتی برای مجموعه‌های شاخص کلی‌تر، که لازم نیست فواصل یا اعداد طبیعی باشند، برقرار است . [4]

نابرابری های بیشتر [ ویرایش ]

نابرابری‌های زیرمارتینگیل بیشتری نیز به دلیل دوب وجود دارد. حال اجازه دهید X t یک مارتینگل یا یک زیرمارتینگیل مثبت باشد. اگر مجموعه شاخص غیرقابل شمارش باشد، (مانند بالا) فرض کنید که مسیرهای نمونه راست-پیوسته هستند. در این سناریوها، نابرابری جنسن دلالت بر این دارد که | X t | p یک زیرمارتینگل برای هر عدد p ≥ 1 است ، مشروط بر اینکه این متغیرهای تصادفی جدید همگی دارای انتگرال محدود باشند. سپس نابرابری زیرمارتینگیل برای گفتن اینکه [5] قابل اعمال است.

{\displaystyle {\text{P}}[\sup _{t}|X_{t}|\geq C]\leq {\frac {{\text{E}}[|X_{T}|^{p }]}{C^{p}}}.}

برای هر عدد مثبت C در اینجا T زمان نهایی است ، یعنی بزرگترین مقدار مجموعه شاخص. علاوه بر این یکی دارد

{\displaystyle {\text{E}}[|X_{T}|^{p}]\leq {\text{E}}\left[\sup _{0\leq s\leq T}|X_{s }|^{p}\right]\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}{\text{E}}[|X_{T}|^{p }]}

اگر p بزرگتر از یک باشد. این که گاهی اوقات به عنوان حداکثر نابرابری دوب شناخته می شود ، نتیجه مستقیم ترکیب نمایش کیک لایه با نابرابری زیرمارتینگیل و نابرابری هلدر است . [6]

علاوه بر نابرابری فوق، وجود دارد [7]

{\displaystyle {\text{E}}\left|\sup _{0\leq s\leq T}X_{s}\right|\leq {\frac {e}{e-1}}\left(1 +{\text{E}}[\max\{|X_{T}|\log |X_{T}|,0\}]\راست)}

نابرابری های مرتبط [ ویرایش ]

نابرابری دوب برای مارتینگل های گسسته زمان دلالت بر نابرابری کلموگروف دارد : اگر X 1 , X 2 , ... دنباله ای از متغیرهای تصادفی مستقل با ارزش واقعی باشد که هر کدام دارای میانگین صفر هستند، واضح است که

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{1}+\cdots +X_{n}+X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n} \right]&=X_{1}+\cdots +X_{n}+\operatorname {E} \left[X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}\right]\ \&=X_{1}+\cdots +X_{n}،\end{تراز شده}}}

بنابراین S n = X 1 + ... + X n یک مارتینگل است. توجه داشته باشید که نابرابری جنسن دلالت بر این دارد که |S n | اگر S n یک مارتینگل باشد یک زیرمارتینگل غیرمنفی است. بنابراین، با گرفتن p = 2 در نابرابری مارتینگل دوب،

{\displaystyle P\left[\max _{1\leq i\leq n}\left|S_{i}\right|\geq \lambda \right]\leq {\frac {\operatorname {E} \left[ S_{n}^{2}\right]}{\lambda ^{2}}}،}

که دقیقاً بیانیه نابرابری کولموگروف است. [8]

کاربرد: حرکت براونی [ ویرایش ]

فرض کنید B حرکت براونی یک بعدی متعارف را نشان دهد . سپس [9]

{\displaystyle P\left[\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right]\leq \exp \left(-{\frac {C^{2}}{2T} }\درست).}

اثبات دقیقاً به شرح زیر است: از آنجایی که تابع نمایی به طور یکنواخت در حال افزایش است، برای هر λ غیر منفی،

\left\{\sup _{{0\leq t\leq T}}B_{{t}}\geq C\right\}=\left\{\sup _{0\leq t\leq T}} \exp(\lambda B_{{t}})\geq \exp(\lambda C)\right\}.

با نابرابری دوب، و از آنجایی که نمایی حرکت براونی یک زیر مارتینگال مثبت است،

{\displaystyle {\begin{aligned}P\left[\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right]&=P\left[\sup _{0\leq t\ leq T}\exp(\lambda B_{t})\geq \exp(\lambda C)\right]\\[8pt]&\leq {\frac {\operatorname {E} [\exp(\lambda B_{ T})]}{\exp(\lambda C)}}\\[8pt]&=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}T-\lambda C\راست )&&\operatorname {E} \left[\exp(\lambda B_{t})\right]=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}t\right)\ پایان{تراز شده}}}

از آنجایی که سمت چپ به λ بستگی ندارد ، λ را برای به حداقل رساندن سمت راست انتخاب کنید: λ = C / T نابرابری مورد نظر را نشان می دهد.

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/دوب%27s_martingale_inequality

​