انتگرال یکنواخت

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه سی ام مهر ۱۴۰۲ | 21:0

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات، انتگرال یکنواخت یک مفهوم مهم در آنالیز حقیقی ، آنالیز تابعی و تئوری اندازه گیری است و نقشی حیاتی در نظریه مارتینگال ایفا می کند .

تعریف نظری اندازه گیری [ ویرایش ]

انتگرال یکنواخت، بسط مفهوم خانواده ای از توابع است که در آنها تسلط دارند $L_{1}$ که در همگرایی غالب مرکزی است . چندین کتاب درسی در مورد آنالیز حقیقی و نظریه اندازه گیری از تعریف زیر استفاده می کنند: [1] [2]

تعریف الف: فرض کنید $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ فضای اندازه پذیرمثبت باشد . یک مجموعه $\Phi \زیر مجموعه L^{1}(\mu)$ یکنواخت انتگرال پذیر نامیده می شود اگر $\sup _{f\in \Phi }\|f\|_{L_{1}(\mu )}<\infty$ ، و به هر کدام $\varepsilon>0$ مطابقت دارد $\delta>0$ به طوری که

$\int _{E}|f|\,d\mu <\varepsilon$

هر زمان که $f\in \Phi$ و. $\mu (E)<\delta .$

تعریف A برای فضاهای اندازه گیری بی نهایت محدود کننده است. تعریف کلی تر [3] از انتگرال یکنواخت که در فضاهای اندازه گیری کلی به خوبی کار می کند توسط GA Hunt معرفی شد .

تعریف H: فرض کنید $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ فضای اندازه گیری مثبت باشد. یک مجموعه $\Phi \subset L^{1}(\mu )$ یکنواخت انتگرال پذیر اگر و فقط اگر نامیده می شود

$\inf _{g\in L_{+}^{1}(\mu )}\sup _{f\in \Phi }\int _{\{|f|>g\}}|f| \,d\mu =0$

جایی که $L_{+}^{1}(\mu )=\{g\in L^{1}(\mu):g\geq 0\}$ .

برای فضاهای اندازه گیری محدود، نتیجه زیر [4] از تعریف H به دست می آید:

قضیه 1: اگر $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ یک فضای اندازه گیری محدود (مثبت) و سپس یک مجموعه است $\Phi \subset L^{1}(\mu )$ به طور یکنواخت انتگرال پذیر است [ توضیح لازم است ] اگر و فقط اگر

$\inf _{a\geq 0}\sup _{f\in \Phi }\int _{\{|f|>a\}}|f|\,d\mu =0$

بسیاری از کتاب های درسی احتمال، قضیه 1 را به عنوان تعریف انتگرال یکنواخت در فضاهای احتمال ارائه می کنند. زمانی که فضا $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ است $\سیگما$ - محدود، تعریف H معادل زیر را به دست می دهد:

قضیه 2: فرض کنید $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ یک باشد $\سیگما$ فضای اندازه گیری محدود، و $h\in L^{1}(\mu )$ طوری باشد که $h>0$ تقریباً مطمئنا یک مجموعه $\Phi \subset L^{1}(\mu )$ به طور یکنواخت انتگرال پذیر است [ توضیح لازم است ] اگر و فقط اگر $\sup _{f\in \Phi }\|f\|_{L_{1}(\mu )}<\infty$ ، و برای هر $\varepsilon>0$ ، خروجی وجود دارد $\delta>0$ به طوری که

$\sup _{f\in \Phi }\int _{A}|f|\,d\mu <\varepsilon$

$\int _{A}h\,d\mu <\delta$ .

به ویژه، هم ارزی تعاریف A و H برای معیارهای محدود بلافاصله از قضیه 2 به دست می آید. برای این مورد، عبارت در تعریف A با گرفتن به دست می آید $h\equiv 1$ در قضیه 2.

تعریف احتمال [ ویرایش ]

در تئوری احتمال، تعریف A یا عبارت قضیه 1 اغلب به عنوان تعاریف انتگرال یکنواخت با استفاده از انتظار نمادگذاری متغیرهای تصادفی ارائه می شود.، [5] [6] [7] یعنی،

1. یک کلاس ${\mathcal {C}}$ از متغیرهای تصادفی به طور یکنواخت انتگرال پذیر نامیده می شود اگر:

محدود وجود دارد $م$ به طوری که برای هر $ایکس$ که در ${\mathcal {C}}$ ، $\operatorname {E} (|X|)\leq M$ و
برای هر $\varepsilon > 0$ وجود دارد $\delta >0$ به طوری که برای هر قابل اندازه گیری $آ$ به طوری که $P(A)\leq \delta$ و هر $ایکس$ که در ${\mathcal {C}}$ ، $\operatorname {E} (|X|I_{A})\leq \varepsilon$ .

یا به طور متناوب

2. یک کلاس ${\mathcal {C}}$ از متغیرهای تصادفی به صورت یکنواخت انتگرال پذیر (UI) برای هر نامیده می شود $\varepsilon > 0$ وجود دارد $K\in [0،\infty)$ به طوری که $\operatorname {E} (|X|I_{|X|\geq K})\leq \varepsilon \ {\text{ برای همه }}X\in {\mathcal {C}}$ ، جایی که $I_{{|X|\geq K}}$ تابع نشانگر است اگر . $I_{{|X|\geq K}}={\begin{cases}1&{\text{if }}|X|\geq K,\\0&{\text{if }}|X|<K.\ پایان{موارد}}$ .

سفتی و انتگرال یکنواخت [ ویرایش ]

یکی از پیامدهای انتگرال یکنواخت یک کلاس ${\mathcal {C}}$ از متغیرهای تصادفی آن خانواده قوانین یا توزیع است $\{P\circ |X|^{-1}(\cdot):X\in {\mathcal {C}}\}$ تنگ است . یعنی برای هر کدام $\delta >0$ ، وجود دارد $a>0$ به طوری که

$P(|X|>a)\leq \delta$ برای همه $X\in {\mathcal {C}}$ . [8]

با این حال، این بدان معنا نیست که خانواده ${\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}:={\Big \{}\mu _{X}:A\mapsto \int _{A}|X|\,dP,\ ,X\in {\mathcal {C}}{\Big \}}$ تنگ است (در هر صورت، تنگی نیاز به توپولوژی دارد $\ امگا$ تا تعریف شود.)

پیوسگی مطلق یکنواخت [ ویرایش ]

مفهوم دیگری از یکنواختی وجود دارد که کمی متفاوت از انتگرال یکنواخت است که در نظریه احتمالات و اندازه گیری نیز کاربردهای زیادی دارد و برای داشتن انتگرال محدود به متغیرهای تصادفی نیاز ندارد [9]

تعریف: فرض کنید( $(\Omega,{\mathcal {F}},P)$ یک فضای احتمال است. یک کلاس ${\mathcal {C}}$ متغیرهای تصادفی به طور یکنواخت کاملاً پیوسته نسبت به $پ$ اگر برای هر کدام $\varepsilon > 0$ ، وجود دارد $\delta >0$ به طوری که $E[|X|I_{A}]<\varepsilon$ هر زمان که $P(A)<\delta$ .

اگر اندازه گیری محدود باشد و اتم نداشته باشد، معادل انتگرال یکنواخت است.

اصطلاح «پیوستگی مطلق یکنواخت» استاندارد نیست، [ نیازمند منبع ] اما توسط برخی نویسندگان استفاده می شود. [10] [11]

نتایج مرتبط [ ویرایش ]

نتایج زیر برای تعریف احتمالی کاربرد دارد. [12]

تعریف 1 را می توان با در نظر گرفتن محدودیت ها بازنویسی کرد

$\lim _{K\to \infty }\sup _{X\in {\mathcal {C}}}\operatorname {E} (|X|\,I_{|X|\geq K})= 0.$
یک دنباله غیر UI. فرض کنید $\Omega =[0,1]\زیر مجموعه {\mathbb {R}}$ ، و تعریف کنید
،در غیر این صورت.
$X_{n}(\omega )={\begin{cases}n,&\omega \in (0,1/n),\\0,&{\text{در غیر این صورت.}}\end{موارد }}$ به وضوح $X_{n}\in L^{1}$ ، و در واقع ، $\operatorname {E} (|X_{n}|)=1\ ,$ برای همه n . با این حال،

$\operatorname {E} (|X_{n}|I_{\{|X_{n}|\geq K\}})=1\ {\text{ برای همه }}n\geq K,$ و در مقایسه با تعریف 1، مشاهده می شود که پیوستگی به طور یکنواخت انتگرال پذیر نیست.

پیوستگیغیر UI از RV ها. مساحت زیر نوار همیشه برابر با 1 است، $X_{n}\ به 0$ نقطه نظر.

با استفاده از تعریف 2 در مثال بالا، می توان دریافت که بند اول به این صورت برآورده شده است.1 $L^{1}$ هنجار همه $X_{n}$ هستند یعنی محدود شده اند. اما بند دوم آنطور که گفته شد برقرار نیست $\دلتا$ مثبت، یک فاصله وجود دارد $(0,1/n)$ با اندازه کمتر از $\دلتا$ و $E[|X_{m}|:(0,1/n)]=1$ برای همه $m\geq n$ .
اگر $ایکس$ یک متغیر تصادفی UI است ، با تقسیم $\operatorname {E} (|X|)=\operatorname {E} (|X|I_{\{|X|\geq K\}})+\operatorname {E} (|X|I_{\ {|X|<K\}})$ و با محدود کردن هر یک از این دو، می توان دید که یک متغیر تصادفی یکنواخت انتگرال پذیر همیشه در محدود می شود1 $L^{1}$ .
اگر دنباله ای از متغیرهای تصادفی باشد $X_{n}$ تحت سلطه یک انتگرال پذیر، غیر منفی است $Y$ : یعنی برای همه ω و n ، $|X_{n}(\omega )|\leq Y(\omega),\ Y(\omega )\geq 0,\ \operatorname {E} (Y)<\infty ,$ سپس کلاس ${\mathcal {C}}$ از متغیرهای تصادفی $\{X_{n}\}$ به طور یکنواخت انتگرال پذیر است.
کلاسی از متغیرهای تصادفی محدود شده در $L^{p}$ ( $p>1$ ) به طور یکنواخت انتگرال پذیر است.

قضایای مربوط [ ویرایش ]

در ادامه از چارچوب احتمالی استفاده می کنیم، اما صرف نظر از متناهی اندازه گیری، با اضافه کردن شرط کرانه در زیر مجموعه انتخاب شده1() $L^{1}(\mu )$ .

قضیه دانفورد - پتیس [13] [14]یک کلاس [ توضیح لازم ] از متغیرهای تصادفی $X_{n}\زیر مجموعه L^{1}(\mu)$ اگر و تنها در صورتی که برای توپولوژی ضعیف نسبتا فشرده باشد، به طور یکنواخت انتگرال پذیر است $\sigma (L^{1},L^{\infty })$ . [ توضیحات لازم است ] [ نیازمند منبع ]
قضیه د لا واله پوسین [15] [16]خانواده $\{X_{{\alpha }}\}_{{\alpha \in \mathrm{A} }}\subset L^{1}(\mu )$ اگر و تنها در صورتی که تابع محدب فزاینده غیر منفی وجود داشته باشد، به طور یکنواخت انتگرال پذیر است $G(t)$ به طوری که

$\lim _{t\to \infty }{\frac {G(t)}{t}}=\infty {\text{ and }}\sup _{\alpha }\operatorname {E} (G (|X_{\alpha }|))<\infty .$

ارتباط با همگرایی متغیرهای تصادفی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: همگرایی متغیرهای تصادفی

یک $\{X_{n}\}$ همگرا می شود $ایکس$ در $L_{1}$ هنجار اگر و فقط اگر از نظر اندازه به $ایکس$ همگرا شودو به طور یکنواخت انتگرال پذیر است. از نظر احتمال، دنباله ای از متغیرهای تصادفی که در احتمال همگرا می شوند نیز در میانگین همگرا می شوند اگر و تنها در صورتی که به طور یکنواخت انتگرال پذیر باشند. [17] این یک تعمیم از قضیه همگرایی غالب لبگ است ، به قضیه همگرایی ویتالی مراجعه کنید .

https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_integrability

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی