​از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

      برای فضای شوارتز یک گروه لی نیمه ساده، فضای شوارتز هاریش-چاندرا را ببینید . برای فضای شوارتز یک گروه آبلی فشرده محلی، تابع شوارتز-بروهات را ببینید .

      در ریاضیات ، فضای شوارتز{\mathcal {S}}فضای تابع همه توابعی است که مشتقات آنها به سرعت در حال کاهش است. این فضا دارای این خاصیت مهم است که تبدیل فوریه یک اتومورفیسم در این فضا است. این ویژگی به وسیله دوگانگی، امکان تعریف تبدیل فوریه را برای عناصر در فضای دوگانه فراهم می کند{\mathcal {S}}^{*}از{\mathcal {S}}، به ویژه، برای توزیع های معتدل . تابعی در فضای شوارتز گاهی اوقات تابع شوارتز نامیده می شود .

      یک تابع گاوسی دو بعدی نمونه ای از یک تابع به سرعت در حال کاهش است.

      فضای شوارتز به افتخار ریاضیدان فرانسوی لوران شوارتز نامگذاری شده است .

      تعریف [ ویرایش ]

      اجازه دهید\mathbb {N}مجموعه ای از اعداد صحیح غیر منفی باشد ، و برای هرn\in \mathbb {N}، اجازه دهید{\displaystyle \mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}}ضرب دکارتی n برابر باشد . فضای شوارتز یا فضای به سرعت در حال کاهش توابع در \mathbb {R} ^{n}فضای عملکرد است

      {\displaystyle S\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} \right):=\left\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n} ,\mathbb {C} )\mid \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n},\|f\|_{\alpha ,\beta }<\infty \right\},}جایی که{\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )}فضای تابع توابع هموار از است\mathbb {R} ^{n}به \mathbb {C}، و

      {\displaystyle \|f\|_{\alpha ,\beta }:=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }(D^{\beta }f)(x)\right|.}اینجا\supنشان دهنده سوپریموم است ، و ما از نماد چند شاخص استفاده کردیم{\displaystyle x^{\alpha }:=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n }}}و2…{\displaystyle D^{\beta }:=\partial _{1}^{\beta _{1}}\partial _{2}^{\beta _{2}}\ldots \partial _{n}^ {\beta _{n}}}.

      برای قرار دادن زبان مشترک در این تعریف، می توان یک تابع به سرعت در حال کاهش را اساساً یک تابع f ( x ) در نظر گرفت ، به طوری که f ( x ) ، f  ′( x ) ، f  “( x ) و ... همه در همه جا وجود دارند. R و به عنوان x → ± سریعتر از هر توان متقابل x به صفر برود . به طور خاص، S ( Rn , C ) زیر فضایی از فضای تابع C ( Rn , C ) از توابع هموار از Rn به C است .

      نمونه هایی از توابع در فضای شوارتز [ ویرایش ]

      • اگر α یک چند شاخص باشد و a یک عدد حقیقی مثبت باشد ، پس

        {\displaystyle x^{\alpha }e^{-a|x|^{2}}\in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{n}).}

      • هر تابع صاف f با پشتیبانی فشرده در S ( R n ) است. این واضح است زیرا هر مشتق f پیوسته است و در حمایت از f پشتیبانی می شود ، بنابراین ( xα D β ) f دارای حداکثر در Rn با قضیه مقدار شدید است .
      • از آنجا که فضای شوارتز یک فضای برداری است، هر چند جمله ای{\displaystyle \phi (x^{\alpha })}می تواند در یک ضریب ضرب شود{\displaystyle e^{-ax^{2}}}برای a>0یک ثابت حقیقی، برای دادن عنصری از فضای شوارتز. به طور خاص، تعبیه چند جمله‌ای در فضای شوارتز وجود دارد.

      خواص [ ویرایش ]

      خواص تحلیلی [ ویرایش ]

      • از قاعده لایب نیتس چنین می شود که S ( Rn ) نیز تحت ضرب نقطه ای بسته است :

        اگر f , g ∈ 𝒮( R n ) آنگاه حاصل ضرب fg ∈ 𝒮( R n ) است .

      • تبدیل فوریه یک ایزومورفیسم خطی F:𝒮( Rn ) → 𝒮( Rn ) است .
      • اگر f ∈ 𝒮( R ) آنگاه f به طور یکنواخت روی R پیوسته است .
      • 𝒮( R n ) یک محدب محلی متمایز Fréchet Schwartz بر روی اعداد مختلط است .
      • هم 𝒮( R n ) و هم فضای دوگانه قوی آن نیز عبارتند از:
      1. فضاهای محدب محلی هاسدورف کامل ،
      2. فضاهای مونتل هسته ای ،

      مشخص است که در فضای دوگانه هر فضای مونتل، یک دنباله در توپولوژی دوگانه قوی همگرا می شود اگر و فقط اگر در توپولوژی ضعیف* همگرا شود ، [1]

      1. فضاهای فرابورنولوژیک ،
      2. فضاهای مکی بشکه ای بازتابی .

      رابطه فضاهای شوارتز با دیگر فضاهای برداری توپولوژیکی [ ویرایش ]

      • اگر 1 ≤ p ≤ ، آنگاه 𝒮( R n ) ⊂ L p ( R n ) .
      • اگر 1≤ p < ، آنگاه 𝒮 ( Rn ) در L p ( Rn ) متراکم است .
      • فضای تمام توابع دست انداز ، C
        ج( R n ) در 𝒮( R n ) گنجانده شده است .

      همچنین ببینید [ ویرایش ]

      • عملکرد ضربه
      • تابع شوارتز-بروهات
      • فضای هسته ای

      منابع [ ویرایش ]

      1. ^ Trèves 2006 ، صفحات 351-359.

      https://en.wikipedia.org/wiki/Schwartz_space