ریاضیات

بحث و تبانی [ ویرایش ]

نتایج ناقص بودن بر فلسفه ریاضیات ، به ویژه نسخه های فرمالیسم ، که از یک سیستم واحد منطق رسمی برای تعریف اصول خود استفاده می کنند ، تأثیر می گذارد .

پیامدهای منطق گرایی و مشکل دوم هیلبرت [ ویرایش ]

قضیه ناقص بودن بعضی اوقات برای برنامه منطق گرایی پیشنهاد شده توسط گوتلوب فرگه و Bertrand Russell که با هدف تعریف اعداد طبیعی از نظر منطق انجام می شود ، تأثیرات جدی دارد (هلمن 1981 ، ص 451-468). باب هیل و کریسپین رایت معتقدند که این مسئله برای منطق سازی مشکلی ندارد زیرا قضایای ناقص بودن به همان اندازه که منطق مرتبه اول دارند به همان اندازه که در حسابی انجام می شود نیز کاربرد دارند. آنها استدلال می كنند كه فقط كسانی كه معتقدند كه اعداد طبیعی از نظر منطق مرتبه اول تعریف می شوند ، این مشكل را دارند.

بسیاری از منطقان معتقدند که قضایای ناقص بودن گودل ضربه مهلکی به مشکل دوم دیوید هیلبرت وارد کرده است ، که برای ریاضیات اثبات قوام نهایی را درخواست کرده است. به ویژه ، دومین قضیه ناقص بودن ، غالباً به عنوان غیرممکن بودن مسئله تلقی می شود. با این وجود همه ریاضیدانان با این تحلیل موافق نیستند و وضعیت مسئله دوم هیلبرت هنوز تصمیم نگرفته است (به " دیدگاههای مدرن درباره وضعیت مسئله " مراجعه کنید).

ذهن و ماشین آلات [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مکانیسم (فلسفه) arg استدلال گادلیان

نویسندگان از جمله فیلسوف JR لوکاس و فیزیکدان روجر پنروز در مورد آنچه قضیه های ناقص بودن گودل درباره هوش انسانی دلالت دارد بحث کرده اند. بیشتر مراکز بحث درباره این که آیا ذهن انسان معادل ماشین تورینگ است یا با پایان نامه کلیسا تورینگ ، اصلاً دستگاه محدود است. اگر این دستگاه باشد ، و اگر دستگاه سازگار باشد ، آنگاه قضایای ناقص بودن گودل در مورد آن اعمال می شود.

هیلاری پاتنم (1960) اظهار داشت كه گرچه قضایای گودل برای انسان قابل اعمال نیست ، زیرا آنها اشتباه می كنند و بنابراین مغایرت ندارند ، ممكن است در دانشكده علوم انسانی یا ریاضیات به طور كلی اعمال شود. با فرض اینکه سازگار باشد ، یا قوام آن قابل اثبات نیست یا نمی تواند توسط یک ماشین تورینگ نمایان شود.

Avi Wigderson (2010) پیشنهاد کرده است که مفهوم "دانش" ریاضی باید بر مبنای پیچیدگی محاسباتی باشد نه اینکه قابلیت تجزیه پذیری منطقی داشته باشد. او می نویسد: "وقتی دانش با معیارهای مدرن ، یعنی از طریق پیچیدگی محاسباتی تفسیر می شود ، پدیده های گودل با ما بسیارند."

داگلاس هافستادتر ، در کتابهای خود گادل ، اسچر ، باخ و من یک حلقه عجیب است ، قضایای گودل را به عنوان نمونه ای از آنچه او حلقه عجیب می نامد نقل می کند.، یک ساختار سلسله مراتبی ، خودآفرینی موجود در یک سیستم رسمی بدیهی. او استدلال می کند که این همان ساختاری است که به ذهن آگاهی می رسد ، حس "من" در ذهن انسان است. در حالی که خود ارجاع در قضیه گودل از جمله گودل ناشی می شود که اثبات غیرقابل اثبات بودن خود در سیستم رسمی Principia Mathematica است ، خودپنداره در ذهن انسان از راهی صورت می گیرد که مغز انتزاع می کند و محرک ها را به "نمادها" طبقه بندی می کند. یا گروههایی از نورونها که به مفاهیم پاسخ می دهند ، در واقع یک سیستم رسمی نیز هست ، و درنهایت نمادهایی فراهم می کند که مفهوم موجودی را که ادراک را انجام می دهد مدل سازی کنند. هافستادر استدلال می کند که یک حلقه عجیب و غریب در یک سیستم رسمی کاملاً پیچیده می تواند منجر به "پایین آمدن" یا "وارونه" شود. علیت ، وضعیتی که در آن سلسله مراتب عادی علت و معلولی وارونه می شود. در مورد قضیه گودل ، این مسئله به طور خلاصه به صورت زیر آشکار می شود:

"صرفاً از دانستن معنای فرمول ، می توان حقیقت یا غلط بودن آن را بدون هیچ گونه تلاشی برای استنباط آن به روش قدیمی ، استنباط کرد ، که به کسی نیاز دارد تا به روشهای" به سمت بالا "از بدیهیات فریب دهد. این فقط عجیب نیست ، بلکه حیرت آور است. به طور معمول ، فقط نمی توان به آنچه می توان حدس زد ریاضی را جستجو كرد و به سادگی به مطالب آن بیانیه متوسل شد تا استدلال كند كه آیا این گفته صحیح است یا نادرست. " ( من یک حلقه عجیب هستم. ) [1]

در مورد ذهن ، یک سیستم رسمی بسیار پیچیده تر ، این "علیت نزولی" آشکار می شود ، از نظر هافستادر ، به عنوان غریزه ناکارآمد انسانی مبنی بر اینکه علیت ذهن ما در سطح بالایی از خواسته ها ، مفاهیم ، شخصیت ها ، افکار و ... قرار دارد. ایده ها ، نه در سطح پایین تعامل بین نورون ها یا حتی ذرات بنیادی ، حتی اگر به نظر فیزیک ، دومی دارای قدرت علی است.

"بنابراین یک سر و صدا کنجکاوی نسبت به روش عادی انسان در درک جهان وجود دارد: ما ساخته شده ایم تا" چیزهای بزرگ "را به جای" چیزهای کوچک "درک کنیم ، حتی اگر به نظر می رسد که دامنه کوچک جایی است که موتورهای واقعی رانندگی می کنند. واقعیت ساکن است. " ( من یک حلقه عجیب هستم. ) [1]

منطق متناقض [ ویرایش ]

اگرچه قضایای گودل معمولاً در چارچوب منطق كلاسیك مورد مطالعه قرار می گیرد ، اما آنها نیز در مطالعه منطق متناقض و عبارات ذاتی متناقض ( دیالتیه ) نقش دارند. گراهام پریست (1984 ، 2006) استدلال می کند که جایگزین کردن مفهوم اثبات رسمی در قضیه گودل با مفهوم معمول اثبات غیررسمی می تواند مورد استفاده قرار گیرد تا نشان دهد ریاضیات ساده لوح ناسازگار است و از این به عنوان مدرک برای دیالکتیسم استفاده می کند . علت این ناسازگاری درج گزاره حقیقت برای یک سیستم با زبان سیستم است (کشیش 2006: 47). استوارت شاپیرو (2002) ارزیابی متفاوتی از کاربردهای قضایای گودل در دیالتیسم را ارائه می دهد.

درخواستهای مربوط به قضایای ناقص بودن در زمینه های دیگر [ ویرایش ]

گاهی اوقات برای حمایت از استدلالهایی که فراتر از ریاضیات و منطق هستند ، به قضایای ناقص بودن متوسل می شوند. چندین نویسنده درباره چنین الحاقات و تفسیرها منفی اظهار نظر کرده اند ، از جمله Torkel Franzén (2005). Panu Raatikainen (2005)؛ آلن سوکال و ژان برمونت (1999)؛ و اوفلیا بنسون و جرمی استانگوم (2006). برای مثال ، Bricmont and Stangroom (2006 ، ص 10) ، از اظهارات ربکا گلدشتاین در مورد نابرابری میان افلاطون گزید گودل و کاربردهای ضد واقع گرایانه که بعضاً ایده های خود را مطرح می کنند نقل می کنند. سوکال و برمونت (1999 ، ص 187) انتقاد از رگیس دبرایفراخوان قضیه در متن جامعه شناسی؛ دبرای از این استفاده به عنوان استعاری دفاع کرده است (همان).

تاریخچه [ ویرایش ]

پس از آنكه گودل اثبات خود را در مورد قضیه كامل بودن به عنوان پایان نامه دكترایش در سال 1929 منتشر كرد ، برای مهار او به مسئله دوم متوسل شد . هدف اصلی وی بدست آوردن راه حل مثبت برای مسئله دوم هیلبرت بود (داوسون 1997 ، ص 63). در آن زمان ، تئوری های اعداد طبیعی و اعداد واقعی شبیه به حسابی مرتبه دوم به عنوان "تجزیه و تحلیل" شناخته می شدند ، در حالی که تئوری های اعداد طبیعی به تنهایی "حسابی" شناخته می شدند.

گودل تنها شخصی نبود که روی مشکل سازگاری کار می کرد. آکرمن در سال 1925 یک اثبات عیب نقص برای تجزیه و تحلیل را منتشر کرده بود ، که در آن سعی کرد از روش جایگزینی ε که ابتدا توسط هیلبرت تهیه شده استفاده کند. بعداً در همان سال ، فون نویمانقادر به اثبات اثبات سیستم حسابی بدون هیچ گونه بدیهی القایی بود. تا سال 1928 ، آکرمن اثبات اصلاح شده را به برنیز ابلاغ کرد. این اثبات اصلاح شده باعث شد هیلبرت اعتقاد خود را در سال 1929 اعلام كند كه ثبات حسابی نشان داده شده است و به اثبات می رسد كه اثبات ثبات تحلیل به زودی دنبال خواهد شد. پس از انتشار قضایای ناقص بودن نشان داد كه اثبات اصلاح شده آكکرمن باید نادرست باشد ، فون نویمان نمونه بارزی را ارائه داد كه نشان می داد روش اصلی آن خنثی است (Zach 2006، p. 418، Zach 2003، p 33).

گودل در جریان تحقیق خود فهمید که گرچه جمله ای که ادعای نادرستی خود را داشته باشد منجر به تناقض می شود ، جملهای که عدم اثبات خود را اثبات می کند. به طور خاص ، گودل از نتیجه ای که اکنون نامیده می شود قضیه غیرقابل توصیف تارسکی بود ، آگاه بود ، اگرچه هرگز آن را منتشر نکرد. گودل اولین قضیه ناقص بودن خود را به کارناپ ، فیگل و وایزمان در 26 اوت 1930 اعلام کرد. هر چهار نفر هفته دوم در کنفرانس دوم معرفت شناسی علوم دقیق شرکت خواهند کرد ، کنفرانس اصلی در کنیگزبرگ .

اعلامیه [ ویرایش ]

کنفرانس کنیگسبرگ در سال 1930 ، نشست مشترک سه انجمن دانشگاهی بود که بسیاری از منطقین اصلی زمان حضور داشتند. کارنپ ، هینگینگ و فون نویمان به ترتیب به یک ساعت سخنرانی در مورد فلسفه های ریاضی منطق گرایی ، شهودگرایی و فرمالیسم پرداختند (داوسون 1996 ، ص 69). این کنفرانس همچنین آدرس بازنشستگی هیلبرت را نیز شامل می شد ، زیرا وی مقام خود را در دانشگاه گوتینگن ترک می کرد. هیلبرت از این سخنرانی برای استدلال بر این عقیده که همه مشکلات ریاضی قابل حل است استفاده کرد. او با گفتن سخنان خود پایان داد

برای ریاضیدان هیچ Ignorabimus وجود ندارد ، و به نظر من اصلاً برای علوم طبیعی هم نیست. ... دلیل واقعی که چرا [هیچ کس] نتوانسته است مشکل غیرقابل حل پیدا کند ، به نظر من مشکل غیرقابل حل نیست. بر خلاف Ignoramibus احمق ، اعتبار ما اعتراض : ما باید بدانیم. ما باید بدانیم!

این سخنرانی به سرعت به عنوان خلاصه ای از اعتقادات هیلبرت در مورد ریاضیات شناخته شد (شش کلمه آخر آن " Wir müssen wissen. Wir werden wissen! " ، در سال 1943 به عنوان مظهر هیلبرت مورد استفاده قرار گرفت). گرچه گودل احتمالاً برای آدرس هیلبرت حضور پیدا می کرد ، این دو هرگز به صورت چهره به چهره ملاقات نمی کردند (داوسون 1996 ، ص 72).

گودل اولین قضیه ناقص بودن خود را در یک جلسه بحث میزگرد در روز سوم کنفرانس اعلام کرد. این اعلامیه جدا از آنچه که فون نویمان داشت ، گودل را برای گفتگو کنار گذاشت. بعداً در همان سال ، با كار مستقل با دانش نخستین قضیه ناقصیت ، فون نویمان اثبات دومین قضیه ناقصی را بدست آورد ، كه وی در نامه ای به تاریخ 20 نوامبر 1930 به گودل اعلام كرد (داوسون 1996 ، ص 70). گودل به طور مستقل دومین قضیه ناقصیت را بدست آورده بود و آن را در نسخه خطی ارسالی خود ، که توسط Monatshefte für Mathematik در 17 نوامبر 1930 دریافت شده بود ، درج کرده بود .

مقاله گودل در منتشر شد Monatshefte در سال 1931 تحت عنوان "شرایط استفاده بارگذاری unentscheidbare رسمی Sätze DER Principia Mathematica به UND verwandter شرکت سیستم من" ( " بر گزاره به طور رسمی تصمیم ناپذیر در Principia Mathematica و سیستم های مرتبط I "). همانطور که از این عنوان پیداست ، گودل در ابتدا برنامه ریزی کرده بود تا قسمت دوم مقاله را در جلد بعدی مایناتفت منتشر کند . پذیرش سریع مقاله اول یکی از دلایلی بود که وی برنامه های خود را تغییر داد (ون هایجنوورت 1967: 328 ، پاورقی 68a).

تعمیم و پذیرش [ ویرایش ]

گودل در سالهای 1933-1934 سلسله سخنرانی هایی در مورد قضایای خود در پرینستون به مخاطبان ارائه داد که شامل کلیسا ، کلاین ، و راسر بود. در این زمان ، گودل درک کرده بود که ویژگی اصلی قضایای مورد نیاز وی این است که سیستم باید مؤثر باشد (در آن زمان از اصطلاح "بازگشتی عمومی" استفاده شده بود). راسر در سال 1936 ثابت كرد كه اگر جمل the گودل به روشی مناسب تغییر یابد ، فرضیه ω قوام ، كه بخشی جدایی ناپذیر از اثبات اصلی گودل است ، می تواند با قوام ساده جایگزین شود. این تحولات قضایای ناقص بودن را در اصل شکل مدرن خود به جای گذاشت.

گنتزن اثبات قوام خود را برای حسابی مرتبه اول در سال 1936 منتشر کرد. هیلبرت این اثبات را به عنوان "نهایی" پذیرفت گرچه (همانطور که قضیه گودل قبلاً نشان داده بود) نمی توان آن را در سیستم حسابی که اثبات شده ثابت است رسمیت بخشید.

تأثیر قضایای ناقص بودن در برنامه هیلبرت به سرعت تحقق یافت. Bernays شامل اثبات کاملی از قضایای ناقص بودن در جلد دوم Grundlagen der Mathematik (1939) ، همراه با نتایج اضافی Ackermann در روش ε-جانشینی و اثبات حساسیت حساس بودن جنتزن است. این اولین اثبات کامل منتشر شده از قضیه ناقص دوم بود.

انتقادات [ ویرایش ]

Finsler [ ویرایش ]

پل فینسلر (1926) از نسخه ای از پارادوكس ریچارد برای ساختن عباراتی كه كاذب اما غیرقابل اجرا در چارچوب خاص و غیررسمی خاصی بود كه او ایجاد كرده بود استفاده كرد. گودل هنگام اثبات قضایای ناقص بودن ، از این مقاله بی خبر بود (مجموعه آثار جلد چهارم ، صفحه 9). فینسلر در سال 1931 به گودل نوشت تا او را در مورد این مقاله آگاه كند ، كه فینسلر احساس كرد اولویتی برای قضیه ناقص بودن دارد. روشهای فینسلر به قابلیت اثبات رسمی متکی نبودند و فقط شباهت سطحی به کار گودل داشتند (ون هایجنورت 1967: 328). گودل مقاله را خواند اما عمیقاً ناقص بود و پاسخ وی به فینسلر نگرانی هایی را در مورد عدم رسمی سازی ایجاد کرد (داوسون: 89). فینسلر ادامه داد: برای فلسفه ریاضیات ، که از رسمی شدن فرار کرد ، برای بقیه کار خود استدلال می کند.

زرملو [ ویرایش ]

در سپتامبر سال 1931 ، ارنست زرملو به گودل نوشت تا آنچه كه او را "فاصله اساسی" در استدلال گودل اعلام كرد (داوسون: 76). در ماه اکتبر ، گودل با نامه ای 10 صفحه ای پاسخ داد (Dawson: 76 ، Grattan-Guinness: 512-513) ، که در آنجا خاطرنشان کرد که Zermelo به اشتباه فرض کرده است که مفهوم حقیقت در یک سیستم در آن سیستم قابل تعریف است (که این نیست به طور کلی با قضیه غیرقابل انکارپذیری تارسکی صادق است) اما زرملو اعتراض نکرد و انتقادات خود را با چاپ "یک پاراگراف نسبتاً هولناک در مورد رقیب جوان خود" منتشر کرد (گراتان - گینس: 513). گودل تصميم گرفت كه پيگيري موضوع بيش از پيش بي معنا بود و كارناپ موافقت كرد (داوسون: 77). بخش عمده ای از کارهای بعدی زرملو مربوط به منطق هایی قوی تر از منطق مرتبه اول بود ، که با آن امیدوار بود قوام و دسته بندی نظریه های ریاضی را نشان دهد.

ویتگنشتاین [ ویرایش ]

لودویگ ویتگنشتاین چندین قسمت درباره قضایای ناقصی که در پس از مرگ در سخنان وی در سال 1953 منتشر شد ، نوشت ، به ویژه در یک بخش که بعضاً "پاراگراف بدنام" نامیده می شود ، جایی که به نظر می رسد مفاهیم "واقعی" و "اثبات" را درهم می کند. سیستم راسل. گودل در دوره ای که در آن فلسفه زبان ایده آل اولیه ویتگنشتاین و Tractatus Logiko-Philosophicus بر تفکر دایره مسلط بودند ، عضو دایره وین بود. در مورد اینکه آیا ویتگنشتاین قضیه ناقص بودن را اشتباه فهمیده یا فقط خود را به طور نامشخص ابراز کرده است ، اختلاف نظرها وجود داشته است. نوشته هایی در Gachel 's Nachlassاین عقیده را ابراز کنید که ویتگنشتاین عقاید خود را اشتباه ارزیابی می کند.

مفسران متعدد ویتگنشتاین را به عنوان سوء تفاهم گودل خوانده اند (گرجی 2003) ، اگرچه جولیت فلوید و هیلاری پوتنم (2000) ، و همچنین گراهام پریش (2004) خوانش های متنی را ارائه داده اند که گفته می شود بیشتر تفسیر سوء تفاهم از ویتگنشتاین است. در انتشار ، برنیز ، دامت و كریسل نظرهای ویتگنشتاین را جداگانه نوشتند كه همگی بسیار منفی بودند (برتو 2009: 208). وحدت این انتقاد باعث شد اظهارات ویتگنشتاین در مورد قضایای ناقص بودن تأثیر کمی در جامعه منطق داشته باشد. در سال 1972، گودل اظهار داشت: "آیا ویتگنشتاین ذهن خود را از دست داده معناست او به طور جدی او عمدا خطاب شود بدیهی اظهارات مزخرف؟" (وانگ 1996: 179) و به نوشته کارل منگر این اظهارات ویتگنشتاین نشان دهنده سوء تفاهم از نوشتن قضایای ناقص بودن است:

آن را از معابر روشن است شما استناد که ویتگنشتاین را نمی [اولین قضیه ناتمامیت] درک (یا وانمود به آن را درک نمی). او آن را به عنوان نوعی پارادوكس منطقی تعبیر كرد ، در حالی كه در حقیقت كاملاً برعكس است ، یعنی یك قضیه ریاضی در یك بخش کاملاً غیرقابل كنش ریاضیات (نظریه شماره نهایی یا كمیته سازی). (وانگ 1996: 179)

از زمان انتشار Nachlass ویتگنشتایندر سال 2000 ، مجموعه ای از مقالات فلسفه در صدد ارزیابی این بودند كه آیا نقد اصلی اظهارات ویتگنشتاین توجیه شده است یا خیر. فلوید و پاتنم (2000) استدلال می کنند که ویتگنشتاین درک کامل تری از قضیه ناقص از آنچه قبلاً تصور می شد ، داشت. آنها بویژه با تفسیر جمله ای از گودل برای یك سیستم مغایر با ω درگیر هستند و در واقع می گویند "من اثبات نشده ام" ، زیرا این سیستم هیچ الگویی ندارد كه در آن گزاره اثبات پذیری با اثبات واقعی مطابقت داشته باشد. رودیچ (2003) استدلال می کند که تفسیر آنها از ویتگنشتاین از لحاظ تاریخی توجیه نشده است ، در حالی که بیز (2004) دربرابر تحلیل فلسفی فلید و پاتنم از گزاره اثبات استدلال می کند. Berto (2009) به بررسی رابطه بین نوشتار ویتگنشتاین و نظریه های منطق پارا سازگار می پردازد.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompleteness_theorems