خاصیت مارکوف

یک تحرک واحد از حرکت سه بعدی Brown برای بار 0 ≤ t ≤ 2. حرکت Brownian خاصیت مارکوف را دارد ، زیرا جابجایی ذره به جابجایی های گذشته آن بستگی ندارد.

در نظریه و آمار احتمال ، اصطلاح خاصیت ماركوف به خاصیت بی خاطره یك فرآیند تصادفی اشاره دارد . این نام را به عنوان ریاضی دان روسی آندری مارکوف نامگذاری کرده است . [1]

یک فرآیند تصادفی خاصیت مارکوف را دارد اگر توزیع احتمال شرطی حالتهای آینده این روند (مشروط به شرایط گذشته و حال) فقط به وضعیت فعلی بستگی دارد ، نه به توالی وقایعی که پیش از آن وجود داشته است. فرایندی با این خاصیت یک فرآیند مارکوف نامیده می شود . اصطلاح خاصیت مارکوف قوی شبیه به خاصیت مارکوف است ، با این تفاوت که معنی "حال" از نظر متغیر تصادفی شناخته شده به عنوان زمان توقف تعریف شده است .

اصطلاح فرض مارکوف برای توصیف مدلی که خاصیت مارکوف در نظر گرفته شده است ، مانند یک مدل پنهان مارکوف به کار می رود .

یک فیلد تصادفی مارکوف این ویژگی را به دو یا چند بعد یا به متغیرهای تصادفی تعریف شده برای یک شبکه بهم پیوسته از موارد گسترش می دهد. [2] نمونه ای از مدل برای چنین زمینه ای مدل Ising است .

یک فرایند تصادفی با زمان گسسته که خصوصیات مارکوف را برآورده می کند به عنوان یک زنجیره مارکوف شناخته می شود .

فهرست

مقدمه [ ویرایش ]

یک فرآیند تصادفی خاصیت مارکوف را دارد اگر توزیع احتمال شرطی حالتهای آینده این روند (مشروط بر هر دو ارزش گذشته و حال) تنها به وضعیت فعلی بستگی دارد. آینده با توجه به زمان حال بستگی به گذشته ندارد. گفته می شود فرآیندی با این خاصیت مارکوویان یا یک فرآیند مارکوف است . معروف ترین روند مارکوف زنجیره ای مارکوف است . حرکت براون یکی دیگر از فرایندهای شناخته شده مارکوف است.

تاریخچه [ ویرایش ]

مقاله اصلی: زنجیره مارکوف § تاریخچه

تعریف [ ویرایش ]

اجازه دهید $(\ امگا ، {\ ریاضی {F}} ، P)$ یک فضای احتمال با فیلتراسیون باشد $({\ mathcal {F}} _ {s} ، \ s \ in I)$ ، برای برخی از شاخص های ( کاملاً سفارش داده شده ) $من$ ؛ و اجازه دهید $(S ، \ mathcal {S})$ یک فضای قابل اندازه گیری باشد آ $(S ، \ mathcal {S})$ روند تصادفی ارزیابی شده ${\ displaystyle X = \ {X_ {t}: \ امگا \ به S \} _ {t \ در I}$ گفته می شود که اگر برای هر کدام از آنها خاصیت تصفیه را داشته باشد ، دارای خاصیت مارکوف است $A \ in \ mathcal {S}}$ و هرکدام $s ، t \ in I$ با $s <t$ ،

$display \ displaystyle P (X_ {t} \ in A \ mid {\ mathcal {F}} _ {s}) = P (X_ {t} \ A در اواسط X_ {s}).$ [3]

در مورد $س$ مجموعه گسسته ای با جبر سیگما گسسته و $من = {\ mathbb {N}}$ ، این می تواند به شرح زیر اصلاح شود:

$display \ displaystyle P (X_ {n} = x_ {n} \ mid X_ {n-1} = x_ {n-1}، \ dots، X_ {0} = x_ {0}) = P (X_ {n) = x_ {n} \ اواسط X_ {n-1} = x_ {n-1}).}$

فرمول های جایگزین [ ویرایش ]

از طرف دیگر ، می توان ویژگی مارکوف را به شرح زیر فرموله کرد.

$\ displaystyle \ operatorname {E} [f (X_ {t}) \ mid {\ mathcal {F}} _ {s}] = \ operatorname {E} [f (X_ {t}) \ mid \ sigma (X_ {s})]}$

برای همه $t \ geq s \ geq 0$ و $f: S \ rightarrow \ mathbb {R}$ محدود و قابل اندازه گیری. [4]

خاصیت قوی مارکوف [ ویرایش ]

فرض کنید که $X = (X_ {t}: t \ geq 0)$ یک فرآیند تصادفی در یک فضای احتمال است $(\ امگا ، {\ ریاضی {F}} ، P)$ با تصفیه طبیعی $\ {{\ mathcal F}} _ {t} \} _ {{t \ geq 0}$ . برای هرچی $t \ geq 0$ ، می توانیم جبر جوانه سیگما را تعریف کنیم $\ mathcal {F}} _ {{t +}$ به تقاطع همه $\ mathcal {F}} _ {{s}$ برای $s> t$ . سپس برای هر زمان متوقف کردن $\ تاو$ بر $\ امگا$ ، می توانیم تعریف کنیم

$\ mathcal {F}} _ {{\ tau ^ {+}}} = \ {A \ in {\ mathcal {F}}: \ {\ tau = t \} \ cap A \ in {\ mathcal {F }} _ {{t +}} ، \، \ forall t \ geq 0 \$ .

سپس {\ نمایشگر X} $ایکس$ گفته می شود که در هر زمان توقف ، خاصیت قوی مارکوف را دارد $\ تاو$ شرط این واقعه است \ $\ {\ tau <\ infty \}$ ، ما هر کدام را داریم $t \ geq 0$ ، $X _ {{\ tau + t}}$ مستقل از است $\ mathcal {F}} _ {{\ tau ^ {+}}}$ داده شده displa $X _ {\ tau$ .

ویژگی قوی مارکوف حاکی از خاصیت معمولی مارکوف است ، زیرا با گرفتن زمان توقف t $\ tau = t$ می توان از خاصیت معمولی مارکوف نتیجه گرفت. [5]

در پیش بینی [ ویرایش ]

در زمینه های مدل سازی پیش بینی و پیش بینی احتمالی ، خاصیت مارکوف مطلوب در نظر گرفته می شود زیرا ممکن است استدلال و حل مسئله را امکان پذیر سازد که در غیر این صورت به دلیل درهم بودن آن امکان پذیر نیست . چنین مدلی به عنوان یک مدل مارکوف شناخته می شود .

مثالها [ ویرایش ]

فرض کنید که یک اورن شامل دو توپ قرمز و یک توپ سبز است. دیروز یک توپ کشیده شد ، امروز یک توپ کشیده شد و فردا توپ نهایی کشیده می شود. همه قرعه کشی ها "بدون تعویض" است.

فرض کنید می دانید توپ امروز قرمز بود اما از توپ دیروز هیچ اطلاعی ندارید. شانس اینکه توپ فردا قرمز شود 1/2 است. دلیل این است که تنها دو نتیجه باقی مانده برای این آزمایش تصادفی عبارتند از:

روز	نتیجه 1	نتیجه 2
دیروز	قرمز	سبز
امروز	قرمز	قرمز
فردا	سبز	قرمز

از طرف دیگر ، اگر می دانید که توپهای امروز و دیروز قرمز بودند ، پس تضمین می کنید فردا یک توپ سبز بدست آورید.

این اختلاف نشان می دهد که توزیع احتمال برای رنگ فردا نه تنها به مقدار فعلی بستگی دارد ، بلکه تحت تأثیر اطلاعات مربوط به گذشته نیز خواهد بود. این روند تصادفی از رنگهای مشاهده شده خاصیت مارکوف را ندارد. با استفاده از همان آزمایش فوق ، اگر نمونه برداری "بدون جایگزینی" به نمونه گیری "با جایگزینی" تغییر یابد ، "فرآیند رنگهای مشاهده شده خاصیت مارکوف را خواهد داشت. [6]

کاربرد ملک مارکوف به صورت کلی در محاسبات زنجیره مارکوف مونت کارلو در متن آمار بیزی است .

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Markov_property

+ نوشته شده در پنجشنبه هجدهم اردیبهشت ۱۳۹۹ ساعت 17:54 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی