فرمول هم سطح

در ریاضی زمینه نظریه اندازه گیری هندسی ازفرمول هم سطح بیان جدایی ناپذیر از یک تابع بیش از یک مجموعه باز در فضای اقلیدسی از نظر انتگرال بیش از مجموعه های سطح از عملکرد دیگر است. قضیه ویژه ، قضیه فوبینی است ، که در فرضیه های مناسب می گوید integral یک تابع در منطقه محصور شده توسط یک جعبه مستطیل می تواند به عنوان یک انتگرال تکرار شده بر روی مجموعه های سطح توابع مختصات نوشته شود. یک حالت خاصی ادغام در است مختصات کروی ، که در آن جدایی ناپذیر از یک تابع در R Nمربوط به انتگرال عملکرد بر روی پوسته های کروی است: مجموعه های سطح عملکرد شعاعی. این فرمول نقش تعیین کننده ای در مطالعه مدرن مشکلات ایزواتریمتری دارد .

برای عملکردهای صاف ، فرمول نتیجه ای در حساب چند متغیره است که از تغییر متغیرها حاصل می شود . فرم های عمومی تر فرمول عملکردهای لیپشیتز برای اولین بار توسط هربرت فدرر ( فدرر 1959 ) و برای توابع BV توسط Fleming & Rishel (1960) ایجاد شد .

بیان دقیق فرمول به شرح زیر است. فرض کنید که Ω یک مجموعه باز است $\ mathbb {R} ^ {n$ و تو یک عملکرد Lipschitz با ارزش واقعی در Ω است. سپس، برای یک L 1 تابع گرم ،

$\ displaystyle \ int _ {\ Omega} g (x) | \ nabla u (x) | \، dx = \ int _ {\ mathbb {R}} \ left (\ int _ {u ^ {- 1}) t)} g (x) \، dH_ {n-1} (x) \ Right) \، dt$

که در آن H n - 1 اندازه گیری ابعادی Haus Hausff ( n - 1) است . به ویژه ، با در نظر گرفتن g یکی بودن ، این دلالت دارد

$\ int_ \ امگا | \ nabla u | = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty H_ {n-1} (u ^ {- 1 (t)) \، dt،$

و برعکس ، برابری دوم دلالت بر روشهای استاندارد در ادغام لسبز دارد .

به طور کلی،فرمول هم سطح را می توان به توابع lipschits را اعمال تو تعریف شده در $\ displaystyle \ امگا \ زیر مجموعه \ mathbb {R {^ {n} ،$ گرفتن ارزشها در $\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$ که در آن K < N . در این حالت ، هویت زیر را نگه می دارد

$\ displaystyle \ int _ {\ Omega} g (x) | J_ {k} u (x) | \، dx = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {k}} \ left (\ int _ {u ^ {- 1} (t)} g (x) \، dH_ {nk (x) \ Right) \، dt$

که در آن J ک تو است که K بعدی ژاکوبین از تو که تعیین داده شده است

$\ displaystyle | J_ {k} u (x) | = \ left ({\ operatorname {det} \ left (J_ {k} u (x) ^ {\ interal} J_ {k} u (x) \ Right) } \ درست) ^ {1/2}.}$

برنامه ها [ ویرایش ]

گرفتن تو ( x ) = | x - x 0 | می دهد فرمول برای یکپارچه سازی در مختصات کروی از یک تابع انتگرال F :

$\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f \، dx = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ چپ \ {\ int _ {\ جزئی B (x_ {0}؛ r)} f \، dS \ Right \} \، dr.}$

ترکیب فرمول هم سطح با نابرابری ایزومتریک می دهد و اثبات از نابرابری ها Sobolev برای W 1،1 با بهترین ثابت:

$\ displaystyle \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | u | ^ {\ frac {n} {n-1}} \ Right) ^ {\ frac {n-1} {n } \ leq n ^ {- 1} \ omega _ {n} ^ {- {\ frac {1} {n}} int \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | \ nabla u |$