اشتقاق روش مرتبه چهارم رانگ -کوتا [ ویرایش ]

به طور کلی یک روش مرتبه رانگ -کوتا s می توان به صورت زیر نوشت:

y_ {t + h} = y_ {t} + h \ cdot \ sum _ {i = 1} ^ {s} a_ {i} k_ {i} + {\ mathcal {O}} (h ^ {s + 1 }) ،

جایی که:

\ displaystyle k_ {i} = y_ {t} + h \ cdot \ sum _ {j = 1} ^ {s} \ beta _ {ij} f \ سمت چپ (k_ {j} ، \ t_ {n} + \ alpha _ {i} h \ Right)

افزایش هایی حاصل می شود که مشتقات آن را ارزیابی می کنندy_ {t در مندستور-سوم

ما مشتق [29] را برای روش مرتبه چهارم رانگ -کوتا با استفاده از فرمول کلی باs = 4 همانطور که در بالا توضیح داده شد ، در نقطه شروع ، نقطه میانی و نقطه پایان هر فاصله ارزیابی شده است {\ نمایشگر (t ، \ t + ساعت)؛ بنابراین ، ما انتخاب می کنیم:

\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} & \ alpha _ {i} && \ beta _ {ij} \\\ alpha _ {1} & = 0 & \ beta _ {21} & = {\ frac {1} {2 }} \\\ alpha _ {2} & = {\ frac {1} {2}} & \ beta _ {32} & = {\ frac {1} {2} \\\ alpha _ {3} & = {\ frac {1} {2}} & \ beta _ {43} & = 1 \\\ alpha _ {4} & = 1 && \\ end {تراز شده}}

و\ beta _ {ij} = 0در غیر این صورت. ما با تعریف مقادیر زیر شروع می کنیم:

{\ displaystyle {\ شروع {تراز شده y_ {t + h} ^ {1} & = y_ {t} + hf \ سمت چپ (y_ {t} ، \ t \ Right) \\ y_ {t + h} ^ { 2} & = y_ {t} + hf \ left (y_ {t + h / 2} ^ {1}، \ t + {\ frac {h} {2}} \ Right) \\ y_ {t + h} ^ {3} & = y_ {t} + hf \ left (y_ {t + h / 2} ^ {2}، \ t + {\ frac {h} {2}} \ Right) \ end {تراز شده}}}

y_ {t + h / 2} ^ {1} = {\ dfrac {y_ {t} + y_ {t + h} ^ {1}} {2}}y_ {t + h / 2} ^ {2} = {\ dfrac {y_ {t} + y_ {t + h} ^ {2} {2}}. اگر تعریف کنیم:

{\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} k_ {1} & = f (y_ {t} ، \ t) \\ k_ {2} & = f \ سمت چپ (y_ {t + h / 2} ^ {1} ، \ t + {\ frac {h} {2}} \ Right) = f \ left (y_ {t} + {\ frac {h} {2}} k_ {1} ، \ t + {\ frac {h} {2 }} \ Right) \\ k_ {3} & = f \ left (y_ {t + h / 2} ^ {2}، \ t + {\ frac {h} {2}} \ Right) = f \ left ( y_ {t} + {\ frac {h} {2}} k_ {2}، \ t + {\ frac {h} {2}} \ Right) \\ k_ 4} & = f \ left (y_ {t + h} ^ {3} ، \ t + h \ Right) = f \ left (y_ {t} + hk_ {3}، \ t + h \ Right) \ end {تراز شده}}}

و برای روابط قبلی می توانیم نشان دهیم که برابری زیر در نظر گرفته شده است {\ mathcal {O}} (h ^ {2}):

{\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} k_ {2} & = f \ left (y_ {t + h / 2} ^ {1}، \ t + {\ frac {h} {2} right \ Right) = f \ سمت چپ (y_ {t} + {\ frac {h} {2}} k_ {1} ، \ t + {\ frac {h} {2}} \ Right) \\ & = f \ left (y_ {t} ، \ t \ Right) + {\ frac {h} {2}} {\ frac {d} {dt}} f \ left (y_ {t} ، \ t \ Right) \\ k_ {3} & = f \ سمت چپ (y_ {t + h / 2} ^ {2} ، \ t + {\ frac {h} {2}} \ Right) = f \ left (y_ {t} + {\ frac {h} {2} f \ left (y_ {t} + {\ frac {h} 2}} k_ {1}، \ t + {\ frac {h {{2}} \ Right)، \ t + {\ frac {h} {2 }} \ Right) \\ & = f \ left (y_ {t}، \ t \ Right) + {\ frac {h} {2}} {\ frac {d} {dt}} \ left [f \ left (y_ {t} ، \ t \ Right) + {\ frac {h} {2}} {\ frac {d} t dt}} f \ left (y_ {t} ، \ t \ Right) \ Right] \ \ k_ {4} & = f \ left (y_ {t + h} ^ {3} ، \ t + h \ Right) = f \ left (y_ {t} + hf \ left (y_ {t} + {\ frac {h} {2}} k_ {2}، \ t + {\ frac {h} {2}} \ Right)، \ t + h \ Right) \\ & = f \ left (y_ {t} + hf \ سمت چپ (y_ {t} + {\ frac {h} {2}} f \ left (y_ {t} + {\ frac {h} {2}} f \ left (y_ {t} ، \ t \ Right ) ، \ t + {\ frac {h} {2}} \ Right)، \ t + {\ frac {h} {2}} \ Right)، \ t + h \ Right) \\ &= f \ left (y_ {t} ، \ t \ Right) + h {\ frac {d} {dt}} \ left [f \ left (y_ {t} ، \ t \ Right) + {\ frac {h } {2}} {\ frac {d} {dt}} \ left [f \ left (y_ {t} ، \ t \ Right) + {\ frac {h} {2}} fr \ frac {d} dt}} f \ left (y_ {t} ، \ t \ Right) \ Right] \ Right] \ end {تراز شده}

جایی که:

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} f (y_ {t}، \ t) = {\ frac {\ partial} {\ part y y}} f (y_ {t}، \ t) {\ dot {y}} _ {t} + {\ frac {\ جزئی} {\ جزئی t t} f (y_ {t} ، \ t) = f_ {y} (y_ {t} ، \ t) {\ dot y}} + f_ {t} (y_ {t} ، \ t): = {\ ddot {y}} _ {t}}

کل مشتق استf با توجه به زمان

اگر اکنون فرمول کلی را با استفاده از آنچه که تازه بدست آورده ایم بیان کنیم:

\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} y_ {t + h} = {} & y_ {t} + h \ left \ lbrace a \ cdot f (y_ {t} ، \ t) + b \ cdot \ left [f ( y_ {t} ، \ t) + {\ frac {h} {2}} {\ frac {d} {dt}} f (y_ {t} ، \ t) \ Right] \ Right. + \\ & + c \ cdot \ left [f (y_ {t}، \ t) + {\ frac {h} {2}} {\ frac {d} {dt}} \ left [f \ left (y_ {t) ، \ t \ Right) + {\ frac {h} {2}} {\ frac {d} {dt}} f (y_ {t} ، \ t) \ Right] \ Right] + \\ & {} + d \ cdot \ left [f (y_ {t}، \ t) + h {\ frac {d} {dt}} \ چپ [f (y_ {t} ، \ t) + {\ frac {h} {2 }} {\ frac {d} {dt} left \ left [f (y_ {t} ، \ t) + \ left. {\ frac {h} {2}} {\ frac {d} {dt}} f (y_ {t}، \ t) \ Right] \ Right] \ Right] \ Right \ rbrace + {\ mathcal {O}} (h ^ {5}) \\ = {} & y_ {t} + a \ cdot hf_ {t} + b \ cdot hf_ {t} + b \ cdot {\ frac {h ^ {2}} {2}} {\ frac {df_ {t}} {dt}} + c \ cdot hf_ {t + c \ cdot {\ frac {h ^ {2}} {2}} {\ frac {df_ {t}} {dt}} + \\ &{} + c \ cdot {\ frac {h ^ {3}} {4}} {\ frac {d ^ {2} f_ {t}} {dt ^ {2}}} + d \ cdot hf_ {t + d \ cdot h ^ {2} {\ frac {df_ {t}} {dt}} + d \ cdot {\ frac {h ^ {3}} {2}} {\ frac {d ^ {2} f_ {t}} t dt ^ {2}}} + d \ cdot {\ frac {h ^ {4}} {4}} {\ frac {d ^ {3} f_ {t}} {dt ^ {3} }} + {\ mathcal {O}} (h ^ {5}) \ end {تراز شده}}

و مقایسه این با سری تیلور ازy_ {t + h دور و بر y_ {t:

\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} y_ {t + h} & = y_ {t} + h {\ dot {y}} _ {t} + {\ frac {h ^ {2}} {2}} { \ ddot {y}} _ {t} + {\ frac {h ^ {3}} {6}} y_ {t} ^ {(3) + {\ frac {h ^ {4}} {24} y_ {t} ^ {(4) + {\ mathcal {O}} (h ^ {5}) = \\ & = y_ {t} + hf (y_ {t} ، \ t) + {\ frac h ^ {2}} {2}} {\ frac {d} {dt}} f (y_ {t} ، \ t) + {\ frac {h ^ {3}} {6}} {\ frac {d ^ {2}} t dt ^ {2}}} f (y_ {t}، \ t) + {\ frac {h ^ {4}} {24}} {\ frac {d ^ {3}} {dt ^ {3}}} f (y_ {t} ، \ t) \ end {تراز شده}}

ما یک سیستم محدودیت در ضرایب بدست می آوریم:

\ displaystyle {\ شروع {موارد} & a + b + c + d = 1 \\ [6pt] & {\ frac {1} {2}} b + {\ frac {1} {2}} c + d = \ frac {1} {2}} \\ [6pt] & {\ frac {1} {4}} c + {\ frac {1} {2}} d = {\ frac {1} {6}} \\ [6pt] & {\ frac {1} {4}} d = {\ frac {1} {24}} \ end {موارد}}}

a = {\ frac {1} 6}} ، b = {\ frac {1} {3}}، c = {\ frac {1} {3}}، d = {\ frac {1} {6} } 

همانطور که در بالا اشاره شد.

https://en.wikipedia.org/wiki/Runge%E2%80%93Kutta_methods