پایداری [ ویرایش ]

مزیت روشهای ضرب و شتم  رانگ -کوتا نسبت به روشهای صریح ، پایداری بیشتر آنها است ، به ویژه هنگامی که در معادلات سفت استفاده شود . معادله آزمون خطی y ' = λ y را در نظر بگیرید. یک روش  رانگ -کوتا که برای این معادله اعمال می شود تا تکرار کاهش می یابدy_ {n + 1} = r (h \ lambda) \، y_ {n، با R داده شده توسط

r (z) = 1 + zb ^ {T} (I-zA) ^ {- 1} e = {\ frac {\ det (I-zA + zeb ^ {T})} {\ det (I-zA) } ، [21]

جایی که e مخفف بردار آنهایی است. تابع r تابع ثبات نامیده می شود . [22] آن را از فرمول زیر که R خارج قسمت دو چندجملهای از درجه است بازدید کنندگان اگر روش ها مرحله است. روشهای صریح دارای یک ماتریس مثلثی کاملاً پایین A ، که نشان می دهد det ( I - zA ) = 1 است و عملکرد پایداری چند جمله ای است. [23]

در صورت حل راه حل عددی معادله آزمون خطی به صفر می رسد r ( z ) | <1 با z = h λ. مجموعه ای از چنین Z است به نام دامنه ثبات مطلق . به طور خاص، روش گفته می شود با ثبات مطلق اگر همه Z با پاسخ ( Z ) <0 در حوزه ثبات مطلق هستند. عملکرد پایدار یک روش رانگ -کوتا صریح ، چند جمله ای است ، بنابراین روش های  رانگ -کوتا صریح هرگز نمی توانند A- پایدار باشند. [23]

اگر متد دارای دستور p باشد ، عملکرد ثبات را برآورده می کندr (z) = \ textrm {e}} ^ {z} + O (z ^ {p + 1) مانند z \ to 0. بنابراین ، جالب است که مقدار کمی از چندجملهای درجات داده شده را مطالعه کنید که عملکرد نمایی را به بهترین وجه ارزیابی می کنند. اینها به عنوان تقریبی Padé شناخته می شوند . تقریب Padé با شمارنده درجه m و مخرج درجه n A با ثبات است اگر و فقط اگر m ≤ n ≤ m + 2. باشد. [24]

روش گاوس-Legendre با مراحل s دارای مرتبه 2 ثانیه است ، بنابراین عملکرد پایدار آن تقریباً با Pad = m = n = s است . نتیجه می گیرد که روش A- پایدار است. [25] این نشان می دهد که  رانگ -کوتا با ثبات می تواند مرتباً مرتب باشد. در مقابل ، ترتیب روشهای چند مرحله ای خطی A- پایدار نمی تواند از دو برابر شود. [26]

ثبات B [ ویرایش ]

A-ثبات مفهوم برای حل معادلات دیفرانسیل مربوط به معادله مستقل خطیy '= \ lambda y. Dahlquist بررسی پایداری طرحهای عددی را هنگام استفاده در سیستمهای غیرخطی که شرایط یکنواختی را برآورده می کنند ، پیشنهاد کرد. مفاهیم مربوطه به عنوان G- پایداری برای روشهای چند مرحله ای (و روشهای مربوط به یک پا) و B- پایداری (قصاب ، 1975) برای روشهای  رانگ -کوتا تعریف شدند. یک روش  رانگ -کوتا برای سیستم غیرخطی اعمال می شود{y '= f (y)\ displaystyle \ langle f (y) -f (z)، \ yz \ rangle <0\ | y_ {n + 1} -z_ {n + 1} \ | \ leq \ | y_ {n} -z_ {n} \ | برای دو راه حل عددی

بمسثانیه \ ثانیه ماتریس تعریف شده توسط

B = \ operatorname {diag} (b_ {1}، b_ {2}، \ ldots، b_ {s})، \، M = BA + A ^ {T} B-bb ^ {T}، \، Q = BA ^ {- 1} + A ^ {- T} BA ^ {- T} bb ^ {T} A ^ {- 1.

گفته می شود که یک روش رانگ -کوتا اگر ماتریس باشد ، از نظر جبری ثابت است [27]ب و مهر دو قطب غیر منفی هستند. شرط کافی برای ثبات B [28] است:ب و س قطعی غیر منفی هستند.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Runge%E2%80%93Kutta_methods