ترکیب معکوس [ ویرایش ]

هر وقت یک سریال رسمی

\ displaystyle f (X) = \ sum _ {k} f_ {k} X ^ {k} \ در R [[X]]

دارای f 0 = 0 و f 1 یک عنصر برگشت پذیر از R است ، یک سری وجود دارد

\ displaystyle g (X) = \ sum _ {k} g_ {k} X ^ {k}}

که است معکوس ترکیب ازfبه این معنی که آهنگسازیf با گرمسری را نشان می دهد که عملکرد هویت را نشان می دهد (ضریب اول آن 1 و ضریب دیگر صفر است). ضرایبگرمممکن است با استفاده از فرمول فوق برای ضرایب یک ترکیب ، به صورت بازگشتی یافت شود ، و آنها را با هویت ترکیب X معادل (که در درجه 1 و 0 در هر درجه بالاتر از 1 است) برابر کند. در موردی که حلقه ضریب فیلد مشخصه 0 باشد ، فرمول وارونگی لاگرانژ ابزاری قدرتمند برای محاسبه ضرایب g و همچنین ضرایب قدرت (چند برابر) g فراهم می کند. فراهم می کند.

تمایز رسمی [ ویرایش ]

با توجه به یک سری قدرت رسمی

\ displaystyle f = \ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} X ^ {n} \ در R [[X]] ،}

آن را تعریف می کنیم مشتق رسمی ، مشخص Df برای یا F ، توسط

Df = \ sum_ {n \ geq 1} a_n n X ^ {n-1.

نماد D را عملگر تمایز رسمی می نامند . انگیزه این تعریف این است که به سادگی از تمایز میان مدت یک چند جمله ای تقلید می کند.

این عمل R - linear است :

D (af + bg) = a \ cdot Df + b \ cdot Dg

برای هر a ، b در R و هر f ، g درdisplay \ displaystyle R [[X]].علاوه بر این ، مشتق رسمی بسیاری از خواص مشتقات معمول حساب را دارد. به عنوان مثال ، قانون محصول معتبر است:

D (fg) = f \ cdot (Dg) + (Df) \ cdot g ،

و قانون زنجیره نیز کار می کند:

{\ displaystyle D (f \ circ g) = (Df \ Circ g) \ cdot Dg،

هر زمان که ترکیب های مناسب سری تعریف شده باشد (به تصویر زیر مراجعه کنید) سری مراجعه کنید ).

بنابراین ، از این نظر ، سریال های رسمی قدرت مانند سریال تیلور رفتار می کنند . در واقع ، برای f تعریف شده در بالا ، ما این را می یابیم

(D ^ kf) (0) = k! a_k ،

که در آن D K نشان دهنده K هفتم مشتق رسمی (این است که، در نتیجه از به طور رسمی افتراق K بار).

خواص [ ویرایش ]

خصوصیات جبری حلقه سری توانی اصلی [ ویرایش ]

R [[X]]یک  جبر انجمنی بیش ازر که شامل حلقه است R [X] از چندجمله ای بیش از ر؛ چندجمله ای مربوط به توالی هایی هستند که به صفر ختم می شوند.

جاکوبسن رادیکال ازR [[X]]است ایده آل تولید شده توسطایکس و رادیکال جیکوبسون ازر؛ این با معیار غیرقابل برگشت پذیری عنصر بحث شده در بالا دلالت دارد.

حداکثر آرمان ازR [[X]] همه از کسانی که در داخل نشات می گیرند ر به روش زیر: ایده آل م از R [[X]] حداکثر است اگر و فقط اگرdisplay \ displaystyle M \ cap R ایده آل حداکثر است ر وم به عنوان ایده آل تولید می شود ایکس وdisplay \ displaystyle M \ cap R.

چندین خاصیت جبری ازر به ارث رسیده اند R [[X]]:

خصوصیات توپولوژیک حلقه سری قدرت رسمی [ ویرایش ]

فضای متریک{\ displaystyle (R [[X]] d)است کامل .

حلقهR [[X]]است جمع و جور اگر و تنها اگر R است محدود . این موضوع از قضیه تاچونوف و توصیف توپولوژی در مورد پیروی می کندR [[X]] به عنوان یک توپولوژی محصول.

آماده سازی Weierstrass [ ویرایش ]

مقاله اصلی: قضیه آماده سازی Weierstrass series سری قدرت رسمی در حلقه های محلی کامل

حلقه سری قدرت رسمی با ضرایب در یک حلقه محلی کامل ، قضیه آماده سازی Weierstrass را برآورده می کند .

برنامه ها [ ویرایش ]

سری قدرت رسمی می تواند برای حل عودهای رخ داده در تئوری اعداد و ترکیبات مورد استفاده قرار گیرد. برای مثال شامل یافتن یک عبارت بسته برای اعداد فیبوناچی ، مقاله مربوط به نمونه هایی از توابع تولید را ببینید .

می توان از سری قدرت های رسمی برای اثبات چندین رابطه آشنا از تجزیه و تحلیل در یک شرایط صرفاً جبری استفاده کرد. به عنوان مثال عناصر زیر را در نظر بگیرید\ displaystyle \ mathbb {Q} [[X]]:

\ displaystyle \ sin (X): = \ sum _ {n \ geq 0} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} X ^ {2n + 1}}

\ cos (X): = \ sum_ {n \ ge 0 \ frac {(- 1) ^ n} {(2n)!} X ^ {2n}

سپس می توان آن را نشان داد

\ sin ^ 2 (X) + \ cos ^ 2 (X) = 1 ،

\ frac {\ جزئی} {\ جزئی X sin \ gun (X) = \ cos (X) ،

\ sin (X + Y) = \ sin (X) \ cos (Y) + \ cos (X) \ sin (Y).

آخرین مورد در حلقه معتبر است\ displaystyle \ mathbb {Q} [[X ، Y]].

برای K یک زمینه ، حلقه{\ displaystyle K [[X_ {1} ، \ ldots ، X_ {r}]]}اغلب به عنوان "استاندارد ، عمومی ترین" حلقه محلی کامل از K در جبر استفاده می شود.

تفسیر سری قدرت رسمی به عنوان توابع [ ویرایش ]

در تجزیه و تحلیل ریاضی ، هر همگرا سری توانی اینگونه تعریف می کند تابع با مقادیر در واقعی یا پیچیده اعداد. سری قدرت رسمی نیز می تواند به عنوان توابع تعبیر شود ، اما باید با دامنه و کد نویسی مراقب باشید . اجازه دهید

R \ displaystyle f = \ sum a_ {n} X ^ {n} \ در R [[X]] ،}

و فرض کنید S یک جبر تداعی کننده ارتباطی بیش از R باشد ، من در S ایده آل هستم به گونه ای که توپولوژی I-adic در S کامل باشد ، و x یک عنصر I است . تعريف كردن:

\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} x ^ {n}.

با توجه به فرضیات فوق در x ، این سری برای همگرایی در S تضمین شده است . علاوه بر این ، ما داریم

\ displaystyle (f + g) (x) = f (x) + g (x)

و

{\ displaystyle (fg) (x) = f (x) g (x).

این فرمول ها برخلاف توابع شایسته فید ، تعاریفی نیستند بلکه باید اثبات شوند.

از آنجا که توپولوژی در  R [[X]] توپولوژی ادیک وR [[X]]کامل است ، ما به طور خاص می توانیم سری قدرت را در سری دیگر نیروها اعمال کنیم به شرط آنکه آرگومان ها ضرایب ثابت نداشته باشند (به طوری که آنها به ایده آل ( X ) تعلق داشته باشند ):  همه برای هر سری قدرت رسمی به خوبی تعریف شده اندdisplay \ displaystyle f \ در R [[X]].

با استفاده از این فرمالیسم ، ما می توانیم فرمول صریح و معکوس برای یک وارون چند برابر سری قدرت داشته باشیم که ضریب ثابت a = f (0) در R غیرقابل برگشت است :

f ^ {- 1} = \ sum_ {n \ ge 0} a ^ {- n-1} (af) ^ n.

اگر سری قدرت رسمی g با g (0) = 0 به طور ضمنی توسط معادله داده شود

{\ نمایشگر f (g) = X}

جایی که f یک سری قدرت شناخته شده با f (0) = 0 است ، پس می توان با استفاده از فرمول وارونگی لاگرانژ ، ضرایب g را محاسبه کرد .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series#Formal_Laurent_series