حلقه سری توانی رسمی

خاصیت جهانی [ ویرایش ]

حلقه $R [[X]]$ ممکن است با خاصیت جهانی زیر مشخص شود . اگر $س$ یک جبر ارتباطی فراگیر است $ر$ اگر $من$ ایده آل است $س$ به طوری که $من$ توپولوژی عادی در $س$ کامل است ، و اگر $ایکس$ یک عنصر است $من$ ، پس از آن منحصر به فرد وجود دارد $\ displaystyle \ Phi: R [[X]] \ to S$ با خواص زیر:

$\ فی$ هست یک $ر$ همجنسگرایی -Algebra

$\ فی$ پیوسته است

$\ displaystyle \ Phi (X) = x$ .

عملیات روی سری توانی رسمی [ ویرایش ]

برای تولید سریالهای جدید می توان عملیات جبری روی سری پاور را انجام داد. [1] [2] علاوه بر عملیات ساخت حلقه تعریف شده در بالا ، موارد زیر را نیز داریم.

سری توانی به توان رسیده [ ویرایش ]

برای هر عدد طبیعی n که داریم

$\ displaystyle \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} X ^ {k} \ Right) ^ {n} = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} c_ {m} X ^ {m} ،}$

جایی که

$\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} c_ {0} & = a_ {0} ^ {n} ، \\ c_ {m} & = {\ frac {1} {ma_ {0}}} \ sum _ {k = 1} ^ {m} (kn-m + k) a_ {k} c_ {mk} ، \ \ \ m \ geq 1. \ end {تراز وسط}}$

(این فرمول تنها می تواند در صورت استفاده متر و 0 معکوس در حلقه ضرایب هستند.)

در مورد سریهای قدرت رسمی با ضرایب پیچیده ، قدرتهای پیچیده حداقل برای سری f با مدت ثابت برابر با 1. تعریف شده اند. در این مورد ، $\ displaystyle f ^ {\ alpha}}$ را می توان با ترکیب با سری binomial تعریف کرد (1+ x ) α یا ترکیب با سری نمایی و لگاریتمی تعریف کرد ، $\ displaystyle f ^ {\ alpha = \ exp (\ alpha \ log (f)) ،}$ یا به عنوان راه حل معادله دیفرانسیل $\ displaystyle f (f ^ {\ alpha}) '= \ alpha f ^ {\ alpha} f'$ با اصطلاح ثابت 1 ، سه تعریف معادل هستند. قوانین حساب $\ displaystyle (f ^ {\ alpha}) ^ {\ beta} = f ^ {\ alpha \ beta}$ و $\ displaystyle f ^ {\ alpha} g ^ {\ alpha} = (fg) ^ {\ alpha}$ به راحتی دنبال کنید

معکوس ضرب [ ویرایش ]

سریال

$\ displaystyle A = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ {n} \ در R [[X]]$

قابل برگشت است $R [[X]]$ اگر و فقط اگر ضریب ثابت آن باشد $a_ {0$ قابل برگشت است $ر$ . به شرط زیر این شرط ضروری است: اگر فرض کنیم{\ نمایشگر A} $آ$ معکوس دارد $\ displaystyle B = b_ {0} + b_ {1} x + \ cdots$ پس از آن مدت ثابت است $a_ {0} b_ {0}$ از $A \ cd B$ مدت ثابت سری هویت است ، یعنی 1 است. این شرط نیز کافی است. ما ممکن است ضرایب سری معکوس را محاسبه کنیم $ب$ از طریق فرمول بازگشتی صریح

$\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} b_ {0} & = {\ frac {1} {a_ {0}} \ ، \\ b_ {n} & = - {\ frac {1} {a_ {0} } \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {ni}، \ \ \ n \ geq 1. \ end {تراز وسط}$

مورد خاص مهم این است که فرمول سری هندسی در آن معتبر است ${\ displaystyle K [[X]]$ :

$(1 - X) ^ {- 1} = \ sum_ {n = 0} ^ \ \ infty X ^ n.$

اگر \ نمایشگر R = K $\ نمایشگر R = K$ یک فیلد است ، سپس یک سری غیرقابل برگشت است اگر و فقط اگر مدت ثابت غیر صفر باشد ، یعنی اگر و فقط اگر سری با تقسیم نباشد $ایکس$ . این بدان معنی است که ${\ displaystyle K [[X]]$ یک حلقه ارزیابی گسسته با پارامتر یکسان سازی است $ایکس$ .

بخش [ ویرایش ]

محاسبه یک سود ${\ نمایشگر f / g = ساعت$

$\ displaystyle {\ frac {\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} X ^ {n}} {\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ n}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} X ^ {n} ،$

به فرض مخرج برگشت ناپذیر است (یعنی $a_ {0$ در حلقه اسکارارها برگشت پذیر است) ، می تواند به عنوان یک محصول انجام شود $f$ و معکوس از $گرم$ یا مستقیماً با ضرایب معادل سازی کنید $\ displaystyle f = Gh$ :

$c_n = \ frac {1} {a_0} \ سمت چپ (b_n - \ sum_ {k = 1} ^ n a_k c_ {nk} \ درست).$

ضرایب استخراج [ ویرایش ]

ضریب استخراج ضریب به یک سری قدرت رسمی اعمال می شود

$f (X) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n X ^ n$

در X نوشته شده است

$\ سمت چپ [X ^ m \ راست] f (X)$

و ضریب X متر را استخراج می کند ، به طوری که

$\ سمت چپ [X ^ m \ Right] f (X) = \ left [X ^ m \ Right] \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n X ^ n = a_m.$

ترکیب [ ویرایش ]

با توجه به سری قدرت رسمی

$f (X) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty a_n X ^ n = a_1 X + a_2 X ^ 2 + \ cdots$

$g (X) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty b_n X ^ n = b_0 + b_1 X + b_2 X ^ 2 + \ cdots،$

ممکن است یکی از ترکیبات را تشکیل دهد

$g (f (X)) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty b_n (f (X)) ^ n = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty c_n X ^ n،$

که در آن ضرایب c n با "گسترش" قدرتهای f ( X ) تعیین می شود:

$\ displaystyle c_ {n}: = \ sum _ {k \ in \ mathbb {N}، | j | = n} b_ {k} a_ {j_ {1}} a_ {j_ {2}} \ cdots a_ j_ {k}}.$

در اینجا مبلغ بیش از همه ( k ، j ) با $\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}$ و $j \ in \ N _ + ^ k$ با $| j |: = j_1 + \ cdots + j_k = n.$

توضیحات صریح تر این ضرایب توسط فرمول Faà di Bruno ، حداقل در مواردی که حلقه ضریب فیلد مشخصه 0 باشد ارائه شده است.

نکته ای که در اینجا وجود دارد این است که این عمل فقط در مواقعی معتبر است $f (X)$ است بدون عدد ثابت ، به طوری که هر $c_ {n$ فقط به تعداد محدودی از ضرایب بستگی دارد $f (X)$ و $گرم (X)$ . به عبارت دیگر ، سریال برای ${\ نمایشگر g (f (X))$ همگرایی در توپولوژی از $R [[X]]$ .

مثال [ ویرایش ]

فرض کنید که حلقه $ر$ دارای 0 مشخصه است و عدد صحیح nonzero قابل برگشت هستند $ر$ . اگر ما توسط ${\ displaystyle \ exp (X)$ سری قدرت رسمی

$\ exp (X) = 1 + X + \ frac {X ^ 2} {2!} + \ frac {X ^ 3} {3! + \ frac {X ^ 4 {4!} + \ cdots،$

سپس بیان

$\ displaystyle \ exp (\ exp (X) -1) = 1 + X + X ^ {2} + {\ frac {5X ^ {3}} {6}} + {\ frac {5X ^ {4}} 8}} + \ cdots$

حس کامل را به عنوان یک سری قدرت رسمی می بخشد. با این حال ، بیانیه

$\ exp (\ exp (X)) = e \ exp (\ exp (X) - 1) = e + eX + eX ^ 2 + \ frac {5eX ^ 3} {6} + \ cdots$

یک برنامه کاربردی معتبر از عملکرد ترکیب برای سری های قدرت رسمی نیست. در عوض ، مفاهیم همگرایی را گیج کننده می کند $R [[X]]$ و همگرایی در $ر$ ؛ در واقع ، حلقه $ر$ حتی ممکن است هیچ عددی نباشد $ه$ با خصوصیات مناسب

https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series#Formal_Laurent_series

+ نوشته شده در جمعه دوازدهم اردیبهشت ۱۳۹۹ ساعت 12:42 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی