حلقه سری توانی رسمی

حلقه سری توانی رسمی [ ویرایش ]

ساختار جبری → نظریه حلقه نظریه حلقه

مفاهیم اساسی[نمایش]
جبر رفتاری [نمایش]
جبر غیرمتعارف [نشان دادن]
v تی ه

اگر مجموعه ای از سری سری های قدرت رسمی X را با ضرایب حلقه ترافیکی R در نظر بگیریم ، عناصر این مجموعه به صورت جمعی حلقه دیگری را تشکیل می دهند که نوشته شده است. ${\ displaystyle R [[X]] ،}$ و حلقه سری قدرت رسمی در متغیر X بالای R نامیده می شود .

تعریف حلقه سری قدرت رسمی [ ویرایش ]

می توان توصیف کرد $R [[X]]$ انتزاعی به عنوان تکمیل از چند جمله ای حلقه $R [X]$ مجهز به یک متریک خاص . این به طور خودکار می دهد $R [[X]]$ ساختار یک حلقه توپولوژیکی (و حتی یک فضای کامل متریک). اما ساخت کلی تکمیل یک فضای متریک بیش از آنچه در اینجا مورد نیاز است درگیر می شود و باعث می شود سری قدرت رسمی به مراتب پیچیده تر از آنچه که هست به نظر برسد. توصیف آن امکان پذیر است $R [[X]]$ صریح تر ، و ساختار حلقه و ساختار توپولوژیکی را بطور جداگانه تعریف کنید ، به شرح زیر.

ساختار حلقه [ ویرایش ]

به عنوان یک مجموعه ، $R [[X]]$ می تواند به عنوان مجموعه ساخته شود $\ displaystyle R ^ {\ mathbb {N}}}$ از همه توالی بی نهایت عناصر از $ر$ نمایه شده توسط اعداد طبیعی (شامل 0). تعیین دنباله ای که مدت آن در فهرست $ن$ است $a_ {n$ توسط $(a_ {n})$ ، یکی افزودن دو سکانس از این دست توسط

$(a_n) _ {n \ in \ N} + (b_n) _ {n \ in \ N} = \ چپ (a_n + b_n \ سمت راست) _ {n \ in \ N}$

و ضرب توسط

$(a_n) _ {n \ in \ N} \ بار (b_n) _ {n \ in \ N} = \ سمت چپ (\ sum_ {k = 0} ^ n a_k b_ {nk} \ درست) _ {n \ in \ N$

به این نوع محصول ، محصول Cauchy از دو دنباله ضرایب گفته می شود و نوعی حلق آویز گسسته است . با این عملیات ، $\ displaystyle R ^ {\ mathbb {N}}}$ به یک حلقه تبادل کننده با عنصر صفر تبدیل می شود ${\ نمایش صفحه نمایش (۰ ،0 ۰ ۰ ، \ لاتو)}$ و هویت چند برابر ${\ صفحه نمایش (1،0،0 ، \ لودو)}$ .

این محصول در حقیقت همان محصول مورد استفاده برای تعریف محصول چند جمله ای در یک نامعین است ، که نشان می دهد از یک نماد مشابه استفاده می شود. یک جاسازی $ر$ به $R [[X]]$ با ارسال هر (ثابت) $یک \ در R$ به دنباله ${\ نمایش صفحه نمایش (a ، 0،0 ، \ ldots)$ و دنباله را تعیین می کند ${\ صفحه نمایش (0،1،0،0 ، \ لودو)}$ توسط $ایکس$ ؛ سپس با استفاده از تعاریف فوق ، هر دنباله ای با تنها بسیاری از اصطلاحات غیر واضح می تواند از نظر این عناصر خاص به صورت بیان شود

$(a_0، a_1، a_2، \ ldots، a_n، 0، 0، \ ldots) = a_0 + a_1 X + \ cdots + a_n X ^ n = \ sum_ {i = 0} ^ n a_i X ^ i؛$

این دقیقاً چندجملهای موجود در $ایکس$ . با توجه به این ، تعیین یک توالی کلی کاملاً طبیعی و راحت است $(a_n) _ {n \ in \ N$ با بیان رسمی $\ textstyle \ sum_ {i \ in \ N} a_i X ^ i$ ، حتی اگر دومی است یک عبارت تشکیل شده توسط عملیات جمع و ضرب در بالا تعریف شده (که از آن تنها مبالغ محدود می تواند ساخته شود). این کنوانسیون مفهومی اجازه می دهد تا تعاریف فوق را بعنوان مثال تغییر دهید

${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} a_ {i} X ^ {i} \ Right) + \ left (\ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} b_ i} X ^ {i} \ Right) = \ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} (a_ {i} + b_ {i}) X ^ {i}}$

$\ displaystyle \ left (\ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} a_ {i} X ^ {i} \ Right) \ times \ left (\ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} b_ {i} X ^ {i} \ Right) = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} b_ {nk} \ Right ) X ^ {n}.$

کاملاً راحت است ، اما باید از تمایز جمع رسمی (جمع بندی صرف) و جمع واقعی آگاهی داشت.

ساختار توپولوژیکی [ ویرایش ]

با تصریح این امر به طور معمول

$(a_0 ، a_1 ، a_2 ، a_3 ، \ ldots) = \ sum_ {i = 0 ^ \ infty a_i X ^ i، \ qquad (1)$

شخص دوست دارد سمت راست را به عنوان یک جمع بی نهایت تعریف شده تعبیر کند. برای این منظور ، مفهوم همگرایی د $\ displaystyle R ^ {\ mathbb {N}}}$ تعریف شده است و یک توپولوژی در مورد $\ displaystyle R ^ {\ mathbb {N}}}$ ساخته شده است چندین روش معادل برای تعریف توپولوژی مورد نظر وجود دارد.

ممکن است بدهیم $\ displaystyle R ^ {\ mathbb {N}}}$ توپولوژی کالا ، که در آن هر کپی از $ر$ توپولوژی مجزا داده می شود .

ممکن است بدهیم $\ displaystyle R ^ {\ mathbb {N}}}$ توپولوژی I-adic به ، که در آن ${\ displaystyle I = (X)$ ایده آل تولید شده توسط $ایکس$ ، که شامل همه سکانس هایی است که دوره اول آنها $a_ {0$ صفر است

توپولوژی مورد نظر نیز می تواند از متریک زیر حاصل شود . فاصله بین توالی های مشخص ، ${\ displaystyle (a_ {n}) ، (b_ {n) \ in R ^ {\ mathbb {N}} ،$ تعریف شده است

${\ displaystyle d ((a_ {n}) ، (b_ {n})) = 2 ^ {- k} ،}$

جایی که $ک$ کمترین تعداد طبیعی است به طوری که $\ displaystyle a_ {k} \ neq b_ {k}}$ ؛ فاصله بین دو دنباله مساوی صفر است.

به طور غیررسمی ، دو سکانس $\ {a_ {n} \}$ و $\ {b_ {n} \}$ نزدیکتر و نزدیکتر می شویم اگر و فقط اگر بیشتر و بیشتر از شرایط آنها به طور کامل به توافق برسند. به طور رسمی ، توالی مبالغ جزئی از جمع جمع بینهایت اگر برای هر قدرت ثابت همگرا شود $ایکس$ ضریب تثبیت می شود: نکته ای وجود دارد که فراتر از آن همه مبلغ جزئی جزئی دارای ضریب یکسان هستند. این به وضوح در مورد سمت راست (1) بدون توجه به مقادیر ، صادق است $a_ {n$ از آنجا که درج اصطلاح برای $من = ن$ آخرین (و در واقع فقط) تغییر در ضریب $X ^ {n$ . همچنین بدیهی است که حد توالی مبالغ جزئی برابر با سمت چپ است.

این ساختار توپولوژیکی به همراه عملیات حلقه ای که در بالا توضیح داده شد ، یک حلقه توپولوژیکی را تشکیل می دهند. به این حلقه سری قدرت رسمی گفته می شودdisplay \ نمایشگر R} $ر$ و توسط آن مشخص شده است $R [[X]]$ . توپولوژی خاصیت مفیدی دارد که جمع بندی نامحدود اگر و فقط در صورتی که توالی شرایط آن به 0 برسد ، همگرا می شود ، این بدان معنی است که هرگونه قدرت ثابت در $ایکس$ فقط در خیلی موارد کاملاً ظریف اتفاق می افتد.

ساختار توپولوژیکی امکان استفاده انعطاف پذیر تر از جمع های بی نهایت را فراهم می کند. به عنوان مثال ، قاعده ضرب می تواند به سادگی دوباره تنظیم شود

$\ displaystyle \ left (\ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} a_ {i} X ^ {i} \ Right) \ times \ left (\ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} b_ {i} X ^ {i} \ Right) = \ sum _ {i، j \ in \ mathbb {N}} a_ {i} b_ {j} X ^ {i + j}،}$

از آنجا که فقط به طور نهایی بسیاری از اصطلاحات در سمت راست تأثیر می گذارد $X ^ {n$ . محصولات بی نهایت همچنین توسط ساختار توپولوژیکی تعریف می شوند. مشاهده می شود که یک محصول بی نهایت اگر و فقط در صورت توالی عوامل آن به 1 همگرا شود.

توپولوژی های جایگزین [ ویرایش ]

توپولوژی فوق بهترین توپولوژی است که برای آن استفاده می شود

$\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i} X ^ {i}$

همیشه به عنوان جمع بندی در سری قدرت رسمی که با همان عبارت تعیین می شود ، همگرا می شود ، و غالباً کافی است که به مبالغ و محصولات نامتناهی یا انواع دیگری از محدودیت هایی که شخص مایل است از آن برای تعیین سری قدرت های رسمی رسمی استفاده کند ، معنایی را ارائه دهد. با این وجود گاهی ممکن است اتفاق بیفتد که فرد مایل به استفاده از یک توپولوژی درشت باشد ، به گونه ای که عبارات معین همگرا شوند که در غیر این صورت واگرا می شوند. این امر بخصوص در زمان حلقه پایه صدق می کند $ر$ در حال حاضر با یک توپولوژی غیر از گسسته همراه است ، به عنوان مثال اگر این یک حلقه از سری قدرت رسمی است.

حلقه سری قدرت رسمی را در نظر بگیرید: $\ displaystyle \ mathbb {Z} [[X]] [[Y]]$ ؛ سپس توپولوژی ساخت و سازهای فوق فقط مربوط به نامعین ها است{\ نمایشگر Y} $Y$ ، از آنجا که توپولوژی قرار داده شده است $\ displaystyle \ mathbb {Z} [[X]]$ با تعریف توپولوژی کل حلقه جایگزین توپولوژی گسسته شده است. بنابراین

$\ sum_ {i \ in \ N} XY ^ i$

به سری قدرت پیشنهاد شده همگرا می شود ، که می تواند به صورت زیر نوشته شود $\ displaystyle {\ tfrac {X} {1-Y}}$ ؛ با این حال جمع

$\ sum_ {i \ in \ N} X ^ iY$

واگرایی تلقی می شوند ، زیرا هر اصطلاح روی ضریب تأثیر می گذارد $Y$ (که این ضریب خود یک سری قدرت است {\ نمایشگر X} $ایکس$ ) در صورت زنگ زدن سری سری ، این عدم تقارن از بین می رود $Y$ توپولوژی محصول که در آن هر نسخه از آن وجود دارد داده می شود $\ displaystyle \ mathbb {Z} [[X]]$ توپولوژی آن به عنوان حلقه ای از سری قدرت رسمی به جای توپولوژی مجزا داده می شود. به عنوان یک نتیجه ، برای همگرایی دنباله ای از عناصر از $\ displaystyle \ mathbb {Z} [[X]] [[Y]]$ پس از آن کافی است که ضریب هر قدرت از $Y$ تبدیل به یک سری قدرت رسمی در $ایکس$ یک وضعیت ضعیف تر از تثبیت کامل برای مثال در مثال دوم که در اینجا ضریب آورده شده است $Y$ همگرا به $\ displaystyle {\ tfrac {1} {1-X}}}$ بنابراین کل جمع به همگرا می شود $\ displaystyle \ tfrac {Y} {1-X}}}$ .

این روش برای تعیین توپولوژی در حقیقت روش استاندارد برای ساخت مكرر حلقه های سری قدرت رسمی است و همان توپولوژی را می دهد كه با گرفتن سری قدرت رسمی در همه معینی یكباره مشخص نمی شود. در مثال بالا که به معنای ساخت است $\ displaystyle \ mathbb {Z} [[X، Y]]،}$ و در اینجا توالی اگر ضریب هر مونوم یا فقط و همگرا باشد $\ displaystyle X ^ {i} Y ^ {j}$ تثبیت می شود این توپولوژی ، که همینطور است $من$ توپولوژی عادی ، کجا ${\ displaystyle I = (X، Y)$ ایده آل تولید شده توسط $ایکس$ و $Y$ ، هنوز هم از املاکی برخوردار است که جمع می تواند اگر و فقط در صورتی که شرایط آن به 0 باشد گرایش یابد.

همین اصل را می توان برای ایجاد همگرایی سایر مرزها استفاده کرد. به عنوان مثال در $\ displaystyle \ mathbb {R} [[X]]$ حد

$\ lim_ {n \ به \ infty} \ چپ (1+ \ frac {X} {n} \ سمت راست) ^ n$

وجود ندارد ، بنابراین به ویژه با آن همگرا نمی شود

$\ displaystyle \ exp (X) = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ frac {X ^ {n}} {n!}}.$

دلیل این است که برای $من \ geq 2$ ضریب $\ tbinom {n} {i} / n ^ i$ از $X ^ من$ تثبیت نمی شود $n \ to \ infty$ . با این حال در توپولوژی معمول همگرا می شود $\ mathbb {R$ ، و در واقع به ضریب $\ displaystyle \ tfrac {1 {i!}}$ از ${\ displaystyle \ exp (X)$ . بنابراین ، اگر کسی می داد $\ displaystyle \ mathbb {R} [[X]]$ توپولوژی محصول $\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$ که در آن توپولوژی از $\ mathbb {R$ توپولوژی معمول است به جای آنکه گسسته باشد ، پس حد بالا به آن همگرا می شود ${\ displaystyle \ exp (X)$ . این رویکرد اجازه پذیر تر وقتی در نظر گرفتن سری های قدرت رسمی نیست ، استاندارد نیست ، زیرا می تواند ملاحظات همگرایی را به همان اندازه ظریف در تجزیه و تحلیل قرار دهد ، در حالی که فلسفه سریال های قدرت رسمی بر خلاف ایجاد سؤالات همگرایی به همان اندازه بی اهمیت است. آنها ممکن است باشند. با استفاده از این توپولوژی ، اینگونه نخواهد بود که جمع بندی اگر و فقط در صورتی که شرایط آن به 0 باشد تمایل پیدا می کند.