در تجزیه و تحلیل محدب و حساب تغییرات ، شاخه های ریاضیات ، یک عملکرد شبه محدب است تابع که رفتاری مانند یک تابع محدب با توجه به پیدا کردن آن کمینه محلی ، اما لازم نیست در واقع محدب باشد. به طور غیررسمی ، یک تابع متفاوت اگر در هر جهتی که دارای یک مشتق جهت مثبت باشد ، افزایش می یابد .

 

فهرست

تعریف رسمی [ ویرایش ]

به طور رسمی ، یک عملکرد متفاوت با ارزش واقعی است fتعریف شده بر روی یک مجموعه باز محدب (غیرحضور) ایکسدر فضای محدود اقلیدسی ابعاد محدود \ mathbb {R} ^ {nگفته می شود اگرچه برای همه ، عملکرد شبه محدب استx ، y \ in Xبه طوری که \ nabla f (x) \ cdot (yx) \ ge 0، ما داریم   f (x)f (y) \ ge f (x). [1] در اینجا\ nabla fاست گرادیان ازf، تعریف شده بوسیله ی

\ nabla f = \ سمت چپ (\ frac {\ جزئی جزئی} {\ جزئی x_1} ، \ نقطه ، \ frac {\ جزئی جزئی} {\ جزئی جزئی x_n} \ درست).

خواص [ ویرایش ]

هر تابع محدب شبه ثانویه است ، اما برعکس صحیح نیست. به عنوان مثال ، تابع ƒ ( x ) = x + x^ 3 شبه شبكه است اما محدب نیست. هرعملکرد شبه محدب است شبه محدب ، اما صحبت درست نیست زیرا تابع (ƒ ( x = عملکرد شبه محدب اما نه عملکرد شبه محدب است. عملکرد شبه محدب در درجه اول علاقه به دلیل یک نقطه X * حداقل محلی از یک عملکرد شبه محدب است ƒ اگر و تنها اگر آن است نقطه ثابت از ƒ است که می گویند که شیب ازƒ ناپدید در .\ nabla f (x ^ *) = 0.[2]

تعمیم به توابع غیر متمایز [ ویرایش ]

مفهوم شبه تمایل به توابع غیر متمایز به شرح زیر قابل تعمیم است. [3] با توجه به هر تابع ƒ  : X → R ما می توانیم بالا تعریف مشتق دینی از ƒ توسط

f ^ + (x، u) = \ limsup_ {h \ to 0 ^ +} \ frac {f (x + هو) - f (x) {h}

که در آن شما هر بردار واحد است . گفته می شود که این تابع اگر از هر جهت افزایش یابد که مشتق Dini بالایی باشد مثبت است. به طور دقیق تر ، این از نظر زیرمایه ∂ ƒ به شرح زیر مشخص می شود:

  • برای همه x ، y ∈ X ، اگر x * ∈ ∂ ƒ ( x ) وجود داشته باشد \ langle x ^ *، y - x \ rangle \ ge 0 \،پس از آن ƒ ( x را ) ≤ ƒ ( Z ) برای همه Z در پاره خط مجاور X و Y .

مفاهیم مرتبط [ ویرایش ]

عملکرد شبه مقعر تابعی که منفی عملکرد شبه محدب است. عملکرد شبه  خطی یک تابع است که هر دوعملکرد شبه محدب و عملکرد شبه مقعر است. [4] به عنوان مثال، برنامه های خطی-کسری دارند عملکرد شبه  خطی  توابع هدف و محدودیت های خطی-نابرابری : این خواص اجازه می دهد مشکلات کسری خطی که باید توسط یک نوع دیگر از حل الگوریتم سیمپلکس (از جورج بی Dantzig از ). [5] [6] [7] با توجه به عملکردی که دارای ارزش وکتور است ، یک مفهوم کلی تر از η-شبه تمرکز وجود دارد [8] [9] و η-عملکرد شبه  خطی در که شبه کلاسیکی کلاسیک و عملکرد شبه  خطی مربوط به این مورد است که η (x، y) = y - x.

 

منابع 

https://en.wikipedia.org/wiki/Pseudoconvex_function