اسپینور

فضاها و اسپکتورهای بردار هرمیتی [ ویرایش ]

اگر فضای بردار V دارای ساختار اضافی باشد که تجزیه پیچیدگی آن را به دو زیر فضای حداکثر ایزوتروپیک فراهم می کند ، تعریف اسپینورها (با هر روش) طبیعی می شود.

مثال اصلی مورد است که بردار حقیقی فضای V است فضای برداری هرمیتی ( V ، h ) ، یعنی V با مجهز ساختار مختلط J است که یک تحول متعامد با توجه به ضرب داخلی گرم در پنجم . سپس V ⊗ R C تجزیه در ± من eigenspaces از J . این مناطق ویژه ایزوتروپی برای پیچیدگی g است و می تواند با فضای بردار مختلط شناسایی شود ( V ، J) و ترکیب مختلط آن ( V ، - J ) . بنابراین ، برای یک وکتور حاشیه فضای ( V ، h ) فضای بردار Λ ⋅
C V (و همچنین ترکیب مختلط آن Λ ⋅
C V ) یک فضای اسپینور برای فضای بردار حقیقی اقلیدسی اساسی است.

با عملکرد کلیفورد مانند بالا اما با انقباض با استفاده از فرم هرمتی ، این ساخت و ساز فضای اسپینور را در هر نقطه از مانیفولد تقریباً هرمیتیتی ایجاد می کند و به همین دلیل است که هر منیفولد تقریبا مختلط (به ویژه هر منیفولد دلخواه ) دارای ساختار Spin c است . به همین ترتیب ، هر بسته بردار مختلط بر روی منیفولد دارای یک ساختار Spin c است. [29]

تجزیه Clebsch – Gordan [ ویرایش ]

تعدادی از تجزیه های Clebsch-Gordan در ضرب تانسور یک نمایندگی چرخش با دیگری امکان پذیر است . [30] این تجزیه ها ضرب تانسور را بر حسب بازنمایی متناوب از گروه متعامد بیان می کنند.

در مورد حقیقی یا مختلط ، بازنمودهای متناوب هستند

Γ r = Λ r V ، بازنمایی گروه متعامد بر روی سکوهای باریک درجه r .

علاوه بر این ، برای گروه های متعامد حقیقی ، سه شخصیت وجود دارد (نمایش های یک بعدی)

σ + : O ( ص ، س ) → {-1، 1} داده شده توسط σ + (R) = -1 ، اگر R معکوس جهت گیری فضایی V ، 1، اگر R حفظ جهت گیری فضایی از V . ( شخصیت فضایی .)
σ - : O ( P ، Q ) → {−1 ، 1+ داده شده توسط σ - (R) = −1 ، اگر R معکوس جهت گیری زمانی V ، 1 باشد ، اگر R جهت گیری موقتی V را معکوس کند . ( شخصیت موقتی .)
σ = σ + σ - . ( شخصیت جهت گیری .)

تجزیه Clebsch-Gordan به فرد اجازه می دهد از جمله موارد دیگر تعریف کند:

عمل اسپینورها بر روی بردارها.
یک متریک هرمیتی در نمایه های مختلط گروه های چرخش حقیقی.
یک عملگر Dirac در هر نمایندگی چرخش.

حتی ابعاد [ ویرایش ]

اگر n = 2 K یکنواخت باشد ، آنگاه ضرب تانسور Δ با نمایندگی منسجم به عنوان تجزیه می شود

$\ displaystyle \ Delta \ Otimes \ Delta ^ {*} \ kong \ bigoplus _ {p = 0} ^ {n} \ گاما _ {پ} \ kong \ bigoplus _ {p = 0} ^ {k-1} \ سمت چپ (\ گاما _ {پ} \ oplus \ سیگما \ گاما _ {پ} \ راست) \ oplus \ گاما _ {ک}}$

که به صراحت با در نظر گرفتن (در ساخت و ساز صریح) عمل از جبر کلیفورد بر عناصر تجزیه دیده می شود αω ⊗ βω ، . درستترین فرمول از خصوصیات دگرگونی اپراتور ستاره هاج به دست می آید . توجه داشته باشید که در محدودیت به جبر حتی کلیفورد، جمعوند زوج Γ ص ⊕ σ Γ ص ریخت هستند، اما تحت کامل کلیفورد جبر آنها نیست.

یک شناسایی طبیعی Δ با نمایندگی منفی آن از طریق مزدوج در جبر کلیفورد وجود دارد:

${\ displaystyle (\ alpha \ omega) ^ {*} = \ omega \ سمت چپ (\ alpha ^ {*} \ راست).$

بنابراین Δ ⊗ Δ نیز به روش فوق تجزیه می شود. علاوه بر این ، تحت جبر حتی کلیفورد ، نمایندگی های نیمه چرخش تجزیه می شوند

$\ displaystyle {\ fill {تراز شده} \ Delta _ {+} \ otimes \ Delta _ {+} ^ {*} \ kong \ Delta _ {-} \ otimes \ Delta _ -} ^ {*} & \ kong \ bigoplus _ {p = 0} ^ {k} \ Gamma _ {2p} \\\ Delta _ {+} \ otimes \ Delta _ {-} ^ {*} \ kong \ Delta _ {-} \ otimes \ Delta _ {+} ^ {*} & \ kong \ bigoplus _ {p = 0} ^ {k-1} \ گاما _ {2p + 1} \ end {تراز شده}}$

برای نمایانگرهای مختلط جبرهای حقیقی کلیفورد ، ساختار حقیقیت مرتبط با جبر مختلط کلیفورد به فضای اسپینورها فرود می آید (به عنوان مثال از طریق ساختاری آشکار از نظر آرمانهای حداقلی). به این ترتیب ، ما ترکیب مختلط Δ نمایندگی Δ را بدست می آوریم ، و ایزومورفیسم زیر نیز مشاهده می شود:

$\ displaystyle {\ bar {\ Delta}} \ kong \ sigma _ {-} \ Delta ^ {*}$

به طور خاص ، توجه داشته باشید که نمایندگی Δ از گروه چرخش متعامد یک نمایندگی واحد است . به طور کلی ، تجزیه های Clebsch-Gordan وجود دارد

$\ displaystyle \ Delta \ otimes {\ bar {\ Delta}} \ kong \ bigoplus _ {p = 0} ^ {k} \ left (\ sigma _ {-} \ Gamma _ {p} \ oplus \ sigma _ +} \ گاما _ {پ} \ درست).$

در امضای متریک ( p ، q ) ، ایزومورفیسم های زیر برای نمایش نیم چرخش مزدوج نگه داشته می شوند

اگر q یکنواخت باشد ، پس $\ displaystyle {\ bar {\ Delta}} _ {+} \ kong \ sigma _ {-} \ otimes \ Delta _ {+} ^ {*}}$ $\ displaystyle {\ bar {\ Delta}} _ {-} \ kong \ sigma _ {-} \ otimes \ Delta _ {-} ^ {*}.}$
اگر q عجیب است ، پس $\ displaystyle {\ bar {\ Delta}} _ {+} \ kong \ sigma _ {-} \ otimes \ Delta _ {-} ^ {*}}$ و {*}.} $\ displaystyle {\ bar {\ Delta}} _ {-} \ kong \ sigma _ {-} \ otimes \ Delta _ {+} ^ {*}.}$

با استفاده از این isomorphisms، می توان تجزیه مشابه برای ضربات تانسور از بازنمودهای نیمه چرخش استنباط دلتا ± ⊗ دلتا ± .

ابعاد عجیب و غریب [ ویرایش ]

اگر n = 2 k + 1 عجیب است ، پس از آن

$\ Delta \ otimes \ Delta ^ {*} \ kong \ bigoplus _ {p = 0} ^ {k} \ گاما _ {2p.$

در حقیقت ، ایزومورفیسم بار دیگر وجود دارد

${\ bar {\ Delta}} \ kong \ sigma _ {-} \ Delta ^ {*.$

از این رو تجزیه Clebsch-Gordan وجود دارد (دوباره با استفاده از ستاره هاج برای دوگانگی) داده شده توسط

$\ Delta \ otimes {\ bar {\ Delta}} \ kong \ sigma _ {-} \ گاما _ {0} \ oplus \ sigma _ {+} \ گاما _ {1 \ oplus \ نقطه \ oplus \ sigma _ \ عصر pm \ گاما _ {ک}$

پیامدهای [ ویرایش ]

بسیاری از عواقب دورنما از تجزیه Clebsch-Gordan از فضاهای Spinor وجود دارد. اساسی ترین اینها مربوط به نظریه الکترون دیراک است که از بین آنها نیازهای اساسی آنهاست

روشی در رابطه با ضرب دو اسپینور ϕ ψ به عنوان یک مقیاس سنج. از نظر فیزیکی ، یک اسپینور باید یک دامنه احتمال برای حالت کوانتومی را تعیین کند .
روشی در مورد ضرب ψ ϕ به عنوان یک بردار. این یک ویژگی اساسی نظریه دیراک است که فرمالیسم اسپینور را به هندسه فضای فیزیکی پیوند می دهد.
شیوه ای در مورد اسپینور که بر روی یک بردار عمل می کند ، با عبارتی مانند ψv ψ . از نظر فیزیکی ، این یک جریان الکتریکی از نظریه الکترومغناطیسی ماکسول یا به طور کلی یک جریان احتمال است .

خلاصه در ابعاد کم [ ویرایش ]

در 1 بعد (یک مثال بی اهمیت) ، نمایش تک اسپینور به طور رسمی Majorana است ، یک بازنمایی 1 بعدی حقیقی که تبدیل نمی شود.
در 2 بعد اقلیدسی ، اسپینور Weyl چپ و راست دست نمایشگرهای مختلط 1 جزء است ، یعنی عدد مختلط ای که توسط e ± iφ / 2 در زیر چرخش با زاویه φ ضرب می شوند .
در 3 بعد اقلیدسی ، نمایش تک اسپینور 2 بعدی و چهارگانه است . وجود اسپینورها در 3 بعد ناشی از ایزومورفیسم گروههای SU (2) ≅ Spin (3) است که به ما امکان می دهد تا عمل Spin (3) را بر روی یک ستون 2 جزء مختلط (یک اسپینور) تعریف کنیم. ژنراتورهای SU (2) را می توان به عنوان ماتریس پائولی نوشت .
در 4 بعد اقلیدسی ، ایزومورفیسم مربوطه Spin (4) ≅ SU (2) × SU (2) است . دو inequivalent وجود دارد quaternionic 2 جزء spinors وایل و هر یک از آنها تبدیل زیر یکی از SU (2) عوامل تنها.
در 5 بعد اقلیدسی ، ایزومورفیسم مربوطه Spin (5) ≅ USp (4) ≅ Sp (2) است که دلالت بر این دارد که نمایش تک اسپینور 4 بعدی و چهارگانه است.
در 6 بعد اقلیدسی ، ایزومورفیسم اسپین (6) ≅ SU (4) تضمین می کند که دو بازنمایی مختلط 4 بعدی ویل وجود دارد که ترکیبات مختلط ای از یکدیگر هستند.
در 7 بعد اقلیدسی ، نمایش تک اسپینور 8 بعدی و حقیقی است. هیچ ایزومورفیسم به یک جبر دروغ از سری دیگر (A یا C) از این بعد وجود ندارد.
در 8 بعد اقلیدسی ، دو نمایش حقیقی 8 بعدی ویل-ماژورانا وجود دارد که مربوط به بازنمایی حقیقی بردار 8 بعدی توسط یک خاصیت ویژه اسپین (8) به نام محاکمه است .
در ابعاد d + 8 ، تعداد نمایشگرهای اسپینور غیرقابل برگشت مجزا و حقیقیت آنها (چه حقیقی ، چه شبه پراکنده یا مختلط) از ساختار در ابعاد d تقلید می کنند ، اما ابعاد آنها 16 برابر بیشتر است. این به شما امکان می دهد همه موارد باقیمانده را درک کنید. دوره تناوب پایین را ببینید .
در فضا زمان با ص فضایی و Q زمان مانند جهات، بعد مشاهده به عنوان ابعاد بیش از اعداد مختلط همزمان با مورد ( ص + Q ) فضای اقلیدسی بعدی، اما پیش بینی حقیقیت تقلید ساختار در | p - q | ابعاد اقلیدسی. به عنوان مثال ، در ابعاد 3 + 1 ، دو مجموعه مختلط Weyl غیر معادل (مانند در 2 بعد) 2-جزء (مانند در 4 بعد) وجود دارد که از ایزومورفیسم SL (2 ، C ) دنبال می شود in چرخش (3،1 ) .

امضای متریک	ویل ، مختلط		حدس	دیراک ، مختلط	ماژورانا - ویل ، حقیقی		Majorana ، حقیقی است
امضای متریک	چپ دست	راست دست	حدس	دیراک ، مختلط	چپ دست	راست دست	Majorana ، حقیقی است
(2،0)	1	1	متقابل	2	-	-	2
(1،1)	1	1	خود	2	1	1	2
(3،0)	-	-	-	2	-	-	-
(2،1)	-	-	-	2	-	-	2
(4،0)	2	2	خود	4	-	-	-
(3،1)	2	2	متقابل	4	-	-	4
(5،0)	-	-	-	4	-	-	-
(4،1)	-	-	-	4	-	-	-
(6،0)	4	4	متقابل	8	-	-	8
(5،1)	4	4	خود	8	-	-	-
(7،0)	-	-	-	8	-	-	8
(6،1)	-	-	-	8	-	-	-
(8،0)	8	8	خود	16	8	8	16
(7،1)	8	8	متقابل	16	-	-	16
(9،0)	-	-	-	16	-	-	16
(8،1)	-	-	-	16	-	-	16

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Spinor

+ نوشته شده در پنجشنبه بیست و هشتم فروردین ۱۳۹۹ ساعت 1:14 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی

اسپینور

فضاها و اسپکتورهای بردار هرمیتی [ ویرایش ]

تجزیه Clebsch – Gordan [ ویرایش ]

حتی ابعاد [ ویرایش ]

ابعاد عجیب و غریب [ ویرایش ]

پیامدهای [ ویرایش ]

خلاصه در ابعاد کم [ ویرایش ]

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

پیوندهای روزانه

نوشته‌های پیشین

آرشیو موضوعی

پیوندها

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین