سازه های آشکار [ ویرایش ]

فضایی از اسپینورها را می توان با ساخت و سازهای بتونی و انتزاعی به صراحت ساخت. هم ارزی این سازه ها نتیجه ای از منحصر به فرد بودن نمایش اسپینور جبر پیچیده کلیفورد است. برای مثال کامل در بعد 3 ، به اسپینورها در سه بعد مراجعه کنید .

چرخش کامپوننت [ ویرایش ]

با توجه به فضای بردار V و یک فرم درجه دوم g ، نمایانگر صریح ماتریس جبر Clifford Cℓ ( V ،  g ) را می توان به شرح زیر تعریف کرد. orthonormal اساس انتخاب الکترونیکی 1 ... الکترونیکی N برای V یعنی گرم ( E μ الکترونیکی ν ) = اتا μν که در آن اتا μμ = ± 1 و اتا μν = 0 برای μ ≠ ν . بگذارید k = ⌊ n / 2⌋. رفع یک مجموعه ای از 2 K  × 2 K ماتریس γ 1 ... γ N به طوری که γ میکرون γ ν + γ ν γ میکرون = 2 اتا μν 1 (یعنی رفع یک قرارداد برای ماتریس گاما ). سپس تخصیص e μ → γ μ منحصر به فرد به یک همگنورفیسم جبر Cℓ ( V ،  g ) → Mat (2 K ،  C ) با ارسال مونوم e e μ 1 گسترش می یابد.… e μ k در جبر کلیفورد به محصول γ μ 1 … γ μ k ماتریس و بصورت خطی گسترش می یابد. فضای Δ = C 2 k که در آن ماتریس گاما عمل می کند اکنون فضایی از اسپینورها است. با این حال ، فرد نیاز به ساخت چنین ماتریس دارد. در بعد 3 ، تعیین ماتریس گاما به عنوان ماتریس Pauli sigma باعث می شود دو چرخش کاملاً مؤثر در مکانیک کوانتومی غیر نسبی مورد استفاده قرار گیرند . به همین ترتیب با استفاده از ماتریس گاما 4 Dir 4 Dirac ، 4 اسپینور دیراک مورد استفاده در نسبیت گرایی بعدی 3 + 1 استفاده می شود.نظریه میدان کوانتومی . به طور کلی ، برای تعریف ماتریس گاما از نوع مورد نیاز ، می توان از ماتریس های Weyl-Brauer استفاده کرد .

در این ساخت و ساز نمایندگی از جبر کلیفورد Cℓ ( V ،  g ) ، جبر Lie بنابراین ( V ،  g ) و گروه Spin Spin ( V ،  g ) ، همه به انتخاب مبنای متعامد و انتخاب بستگی دارند. ماتریس گاما. این می تواند باعث سردرگمی در مورد قراردادها شود ، اما متغیرهایی مانند آثار مستقل از انتخاب هستند. به طور خاص ، تمام مقادیر قابل مشاهده از نظر جسمی باید مستقل از چنین انتخاب هایی باشند. در این ساخت و ساز می توان اسپینور را به عنوان یک بردار از 2 k پیچیده نشان داد و با شاخص های اسپینور (معمولاً α ، β ،  γ ). در ادبیات فیزیک ، شاخصهای اسپینور انتزاعی اغلب برای مشخص کردن اسپینورها حتی در هنگام استفاده از ساخت اسپینور انتزاعی مورد استفاده قرار می گیرند.

اسپینورهای انتزاعی [ ویرایش ]

حداقل دو روش متفاوت اما مؤثر معادل وجود دارد که به طور انتزاعی Spinors را تعریف می کنند. یک رویکرد به دنبال شناسایی حداقل ایده آل ها برای عمل چپ C for ( V ،  g ) بر روی خود است. اینها زیر فضایی از جبر کلیفورد از فرم Cℓ ( V ،  g ) ω است ، و با تصدیق عملکرد مشهود Cℓ ( V ،  g ) با ضرب در سمت چپ: c  : xω → cxω . دو موضوع در این موضوع وجود دارد: فرد یا می تواند یک عنصر بد ω را پیدا کند که یک نیرومند استعنصر جبر کلیفورد یا همان چیزی که یک فرد قدرتمند است . ساخت از طریق عناصر nilpotent اساسی تر است به این معنی که ممکن است یک شخص قدرتمند از آن تولید شود. [25] در این روش ، بازنمایی های اسپینور با فضاهای خاصی از جبر کلیفورد مشخص می شوند. روش دوم ساخت فضای برداری با استفاده از یک فضای فرعی V است و سپس مشخص کردن عمل جبر کلیفورد از خارج به آن فضای بردار.

در هر دو روش، مفهوم اساسی که از یک است فضا همسانگرد W . هر ساخت و ساز به انتخاب اولیه در انتخاب این فضای داخلی بستگی دارد. از نظر جسمی ، این مربوط به این واقعیت است که هیچ پروتکل اندازه گیری وجود ندارد که بتواند پایه ای از فضای چرخش را مشخص کند ، حتی اگر پایه ای ترجیح داده شده از V داده شود.

همانطور که در بالا گفته شد ، ما اجازه می دهیم که ( V ،  g ) یک فضای بردار پیچیده n- بعدی باشد که مجهز به یک فرم دوتایی nondegenerate است. اگر V یک فضای برداری واقعی است، پس ما جایگزین V توسط آن complexification V  ⊗ R  C و اجازه دهید گرم نشان دهنده ناشی دارای دو خط مستقیم فرم در V  ⊗ R  C . بگذارید W یک فضای فرعی ایزوتروپی حداکثر باشد ، یعنی یک فضای فرعی حداکثر V به گونه‌ای باشد که g | W = 0 . اگر n = 2 kحتی ، پس اجازه دهید W ∗ یک زیر فضای ایزوتروپیک مکمل W باشد. اگر N = 2 K + 1 است عجیب و غریب، اجازه W * شود حداکثر همسانگرد فضا با W ∩  W * = 0 ، و اجازه دهید U شود مکمل متعامد W  ⊕  W * . در هر دو even- و موارد عجیب و غریب بعدی W و W * اند بعد ک . در حالت عجیب و غریب ، U یک بعدی است ، توسط یک وکتور واحد u پوشیده شده است .

آرمانهای حداقل [ ویرایش ]

از آنجا که W ، ایزوتروپیک است، ضرب عناصر W ، داخل Cℓ ( V ،  گرم ) است چوله . از این رو بردارها در W ′ ضد رفت و آمد ، و Cℓ ( W ′ ،  g | W ′ ) = Cℓ ( W ′ ، 0) فقط جبر بیرونی Λ ∗ W است . در نتیجه ، محصول k - w از W ′ با خودش ، W ′ k ، یک بعدی است. اجازه دهیدω تولید کننده W ′ k باشد . از نظر اساس W ، 1 ، ...، W ، K در W ، ، یک احتمال این است که مجموعه

\ displaystyle \ omega = w '_ {1} w' _ {2} \ cdots w '_ {k}.

توجه داشته باشید که ω 2 = 0 (یعنی ω ، و علاوه بر این، پوچتوان از مرتبه 2 است) W ، ω = 0 برای همه W ، ∈ W ، . حقایق زیر را می توان به راحتی اثبات کرد:

  1. اگر n = 2 k باشد ، ایده آل سمت چپ Δ = C ( V ،  g ) ω یک ایده آل چپ چپ است. به علاوه، این تقسیم به دو فضا چرخش Δ + = Cℓ حتی ω و Δ - = Cℓ عجیب و غریب ω در محدودیت به عمل جبر حتی کلیفورد.
  2. اگر n = 2 k + 1 باشد ، آنگاه عمل بردار واحد u در سمت چپ ایده آل Cℓ ( V ،  g ) ω فضای را به یک جفت eigenspace های غیر قابل برگشت غیر عادی ایزومورف (هر دو با Δ مشخص می شود ) تجزیه می کند ، مربوط به مقادیر ویژه مربوطه 1 و 1.

با جزئیات ، فرض کنید که n یکنواخت باشد. فرض کنید من یک ایده آل چپ بدون صفر موجود در Cℓ ( V ،  g ) ω هستم. ما نشان خواهیم داد که من باید برابر باشد Cℓ ( V ،  گرم ) ω با اثبات که آن را شامل چند اسکالر غیر صفر از ω .

رفع یک اساس W من از W و اساس مکمل W من از W ، به طوری که

w i w j ′ + w j ′ w i = δ ij ، و

( w i ) 2 = 0، ( w i ′) 2 = 0.

توجه داشته باشید که هر عنصر از من باید با توجه به این فرض که I ⊂ Cℓ ( V ،  g )  ω است ، شکل α را داشته باشد . بگذارید αω ∈ من هر عنصر چنین باشم . ممکن است با استفاده از مبنای انتخاب شده ، بنویسیم

\ displaystyle \ alpha = \ sum _ {i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {p}} a_ {i_ {1} \ dots i_ {p}} w_ {i_ {1}} \ cdots w_ {i_ {p}} + \ sum _ {j} B_ {j} w '_ {j}}

جائی که a i 1 … i p مقیاسها هستند و B j عناصر کمکی از جبر کلیفورد هستند. اکنون مشاهده کنید که محصول

\ displaystyle \ alpha \ omega = \ sum _ {i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {p}} a_ {i_ {1 \ نقاط i_ {p}} w_ {i_ {1}} \ cd w_ {i_ {p}} \ امگا.

هر یک از مونومرهای غیرزا را در گسترش α با حداکثر درجه همگن در عناصر w i انتخاب کنید :

{\ displaystyle a = a_ {i_ {1} \ نقاط i _ {\ text {max}}} w_ {i_ {1}} \ نقطه w_ {i _ {\ text text max}}} (بدون جمع بندی دلالت ندارد) ،

سپس

\ displaystyle w '_ {i _ {\ text {max}}} \ cdots w' _ {i_ {1}} \ alpha \ omega = a_ {i_ {1} \ نقاط i _ {\ text {max}}} \ امگا

همانطور که لازم است یک عدد غیر مقیاس سنج غیر از تخمک ω است .

توجه داشته باشید که برای n حتی ، این محاسبه نیز این را نشان می دهد

\ displaystyle \ Delta = \ mathrm {C} \ ell (W) \ omega = \ left (\ Lambda ^ {*} W \ Right) \ omega.

به عنوان یک فضای بردار در آخرین برابری ، ما دوباره استفاده کردیم که W isotropic است. از نظر فیزیک ، این نشان می دهد که Δ با ایجاد اسپینور با استفاده از اپراتورهای ایجاد ضد رفت و آمد در W که با خلاء ω عمل می کند ، مانند فضای Fock ساخته می شود .

ساخت و ساز خارجی جبر [ ویرایش ]

محاسبات با حداقل ساخت و ساز ایده آل نشان می دهد که نمای اسپینور نیز می تواند به طور مستقیم با استفاده از جبر بیرونی Λ ∗ W = ⊕ j Λ j W از زیر فضای ایزوتروپی W تعریف شود . بگذارید Δ = Λ ∗ W جبر بیرونی W را فقط فضای بردار در نظر بگیرد. این نمایش چرخش خواهد بود و عناصر آن به عنوان اسپینورها شناخته می شوند. [26] [27]

عمل جبر کلیفورد بر روی Δ ابتدا ابتدا با دادن عملکرد یک عنصر V بر روی Δ تعریف می شود و سپس نشان می دهد که این عمل به رابطه کلیفورد احترام می گذارد و به همین ترتیب تا یک homomorphism از جبر کامل Clifford به داخل حلقه endomorphism پایان می یابد ( Δ) توسط خاصیت جهانی جبرهای کلیفورد . با توجه به اینکه ابعاد V یکنواخت یا عجیب است ، جزئیات کمی متفاوت است .

هنگامی که کم نور ( V ) است ، V = W ⊕ W ′ جایی که W. مکمل ایزوتروپیک انتخاب شده است. از این رو هر V ∈ V تجزیه منحصر به فرد به عنوان V = W + W ، با عرض ∈ W و W ، ∈ W ، . عمل v بر روی اسپینور توسط

\ displaystyle c (v) w_ {1} \ wedge \ cdots \ wgege w_ {n} = \ left (\ epsilon (w) + i \ left (w '\ Right) \ Right) \ چپ (w_ {1) \ گوه \ cdots \ گوه w_ {n right \ درست)

جایی که i ( w ′) محصول داخلی با w ′ با استفاده از فرم درجه چهار انحطاطی برای شناسایی V با V ∗ است ، و ε (w) بیانگر محصول خارجی است . ممکن است تأیید شود که

c ( u ) c ( v ) + c ( v ) c ( u ) = 2 گرم ( u ، v ) ،

و بنابراین c به روابط کلیفورد احترام می گذارد و از یک جبر کلیفورد تا پایان (Δ) به یک همجنس گرایی گسترش می یابد.

نمایندگی چرخش Δ بیشتر به یک جفت بازنمایی پیچیده غیر قابل برگشت از گروه اسپین تجزیه می شود [28] (نمایش های نیم چرخش ، یا اسپینورهای ویل) از طریق

\ displaystyle \ Delta _ {+} = \ Lambda ^ {\ text {even}} W، \، \ Delta _ {-} = \ Lambda ^ {\ text {عجیب} W.

وقتی کم ( V ) عجیب و غریب، است V = W ⊕ U ⊕ W ، ، که در آن U است که توسط یک بردار واحد را در بر میگرفت تو به متعامد W . کلیفورد عمل ج به عنوان قبل از تعریف W ⊕ W ، ، در حالی که عمل کلیفورد از (چند برابر) تو تعریف شده توسط

{\ displaystyle c (u) \ alpha = {\ شروع {موارد} \ alpha & {\ hbox {اگر}} \ alpha \ در \ لامبدا ^ {\ متن {حتی W \\ - \ alpha & {\ hbox {if}} \ alpha \ in \ Lambda ^ {\ text {عجیب}} W \ end {موارد}}

مانند گذشته ، کسی تأیید می کند که c به روابط کلیفورد احترام می گذارد ، و به همین ترتیب همجنسگرایی را القا می کند.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Spinor