ریاضیات

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله درمورد جبر کلیفورد (متعامد) است. برای جبر دلخواه کلیفورد ، جبر ویل را ببینید .

در ریاضیات ، یک جبر کلیفورد جبری است که توسط یک فضای بردار با فرم درجه دوم ایجاد می شود و یک جبر انجمنی یکتایی است . به عنوان K -algebras ، آنها اعداد واقعی ، اعداد پیچیده ، کواترنون ها و چندین سیستم عددی بیش از حد دیگر را تعمیم می دهند . [1] [2] تئوری جبر کلیفورد با تئوری اشکال درجه دوم و تحولات متعامد ارتباط نزدیکی دارد . جبرهای کلیفورد کاربردهای مهمی در زمینه های مختلف از جمله دارندهندسه ، فیزیک نظری و پردازش تصویر دیجیتال . آنها به نام ریاضیدان انگلیسی ویلیام کینگدون کلیفورد نامگذاری شده اند .

آشناترین جبرهای کلیفورد ، جبرهای متعامد کلیفورد ، همچنین به عنوان ( شبه- ) جبرهای ریمانی کلیفورد ، متمایز از جبرهای دلپذیر کلیفورد نامیده می شوند . [3]

فهرست

• 1مقدمه و خصوصیات اساسی

  • 1.1به عنوان کمیت جبر بیرونی

• 2ملک جهانی و ساخت و ساز

• 3مبانی و بعد

• 4نمونه: جبرهای کلیفورد واقعی و پیچیده

  • 4.1شماره واقعی

  • 4.2شماره های پیچیده

• 5مثال: ساخت کواترنون ها و کواترنون های دوگانه

  • 5.1چهارم

  • 5.2کوارنیون های دوگانه

• 6مثال: در بعد کوچک

  • 6.1ابعاد 1

  • 6.2ابعاد 2

• 7ویژگی

  • 7.1ارتباط با جبر بیرونی

  • 7.2درجه بندی

  • 7.3ضد اتمورفیسم

  • 7.4محصول مقیاس کلیفورد

• 8ساختار جبر کلیفورد

• 9گروه لیپشیتز

  • 9.1هنجار اسپینور

• 10گروه اسپین و پین

• 11اسپینور

  • 11.1اسپینورهای واقعی

• 12برنامه کاربردی

  • 12.1هندسه دیفرانسیل

  • 12.2فیزیک

  • 12.3دید در کامپیوتر

• 13تعمیم

• 14همچنین ببینید

• 15یادداشت

• 16مرجع

• 17مطالعه بیشتر

• 18پیوند خارجی

مقدمه و خصوصیات اساسی [ ویرایش ]

جبر کلیفورد جبر یکپارچه جبری است که توسط یک فضای بردار V بر روی یک میدان K ، که در آن V به یک شکل درجه دوم Q  : V → K مجهز است ، ایجاد می شود و ایجاد می شود . کلیفورد جبر کلر ( V ، Q ) است "آزادترین" جبر تولید شده توسط V به شرط [4]

جایی که محصول در سمت چپ محصول جبر است و 1 همان هویت چند برابر آن است . ایده اینکه "آزادترین" یا "عمومی ترین" جبر مشمول این هویت باشد ، می تواند بطور رسمی از طریق تصور یک خاصیت جهانی بیان شود ، همانطور که در زیر انجام می شود .

در جایی که V یک فضای بردار واقعی است و Q nonegenerate است ، ممکن است Cl ( V ، Q ) با برچسب C ℓ p ، q ( R ) مشخص شود و این نشان می دهد که V دارای یک پایه معمولی با عناصر p با e i 2 = +1 است. ، q با e i 2 = − 1 ، و جایی که R نشان می دهد که این یک جبر کلیفورد نسبت به واقعیت ها است. یعنی ضرایب عناصر جبر اعداد واقعی هستند.

جبر رایگان تولید شده توسط V ممکن است به عنوان نوشته شده جبر تانسور ⊕ N ≥0 V ⊗ ⋯ ⊗ V ، این است که، از مجموع حاصلضرب تانسوری از N نسخه از V بیش از همه N ، و به همین جبر کلیفورد می شود خارج قسمت این جبر تانسور توسط دو طرفه ایده آل تولید شده توسط عناصر فرم V ⊗ V - Q ( V ) 1 برای همه عناصر پنجم ∈ V. محصول ناشی از محصول تانسور در جبر بزرگ با استفاده از مخلوط کردن مخلوط می شود (به عنوان مثال UV ). ارتباط آن از اشتراك محصول تانسور ناشی می شود.

جبر کلیفورد است اغاز فضا V ، که تصویر از تعبیه نقشه. چنین زیر فضایی به طور کلی با توجه به یک ایزومورف K- algebra به جبر کلیفورد نمی تواند بطور خاص مشخص شود .

اگر ویژگی میدان زمین K 2 نباشد ، می توان این هویت اساسی را در قالب بازنویسی کرد

جایی که

است فرم دارای دو خط مستقیم متقارن مرتبط با Q ، از طریق هویت قطبی .

اشکال درجه دوم و جبرهای کلیفورد در مشخصات 2 یک مورد استثنایی را تشکیل می دهند. به ویژه، اگر کاراکتر ( K ) = 2 این درست نیست که فرم درجه دوم منحصر به فرد تعیین شکل دارای دو خط مستقیم متقارن رضایت Q ( V ) = 〈 V ، V 〉 ، و نه که هر فرم درجه دوم اذعان یک متعامد . بسیاری از گفته های این مقاله شامل این شرط است که مشخصه 2 نیست و اگر این شرط برداشته شود نادرست است.

به عنوان کمیت جبر بیرونی [ ویرایش ]

جبر کلیفورد با جبرهای بیرونی ارتباط نزدیکی دارد . در واقع ، اگر Q = 0 باشد ، جبر Clifford Cl ( V ، Q ) فقط جبر بیرونی است ( V ). برای nonzero Q ، ایزومورفیسم خطی متعارف بین ⋀ ( V ) و Cl ( V ، Q ) وجود دارد هر زمان که زمینه زمین K دارای دو مشخصه نباشد. یعنی آنها به طور طبیعی ایزومورفیک هستندبه عنوان فضاهای برداری ، اما با ضربهای مختلف (در مورد دو مشخصه ، آنها هنوز هم به عنوان فضاهای بردار همسانگردی هستند ، نه به طور طبیعی). ضرب Clifford به همراه فضای فرعی برجسته بسیار غنی تر از محصول خارجی است زیرا از اطلاعات اضافی ارائه شده توسط Q استفاده می کند .

جبر کلیفورد جبر فیلتر شده است ، جبر درجه بندی شده مرتبط جبر بیرونی است.

به طور دقیق تر ، ممکن است جبرهای کلیفورد به عنوان کمیت های اندازه گیری ( گروه کوانتومی Cf. ) جبر بیرونی تصور شوند ، به همان روشی که جبر ویل یک کمیت جبر متقارن است .

جبری وایل و جبری Clifford اعتراف یک ساختار بیشتر از یک جبر * ، و می تواند به عنوان زوج و فرد از نظر یک متحد superalgebra ، همانطور که در مورد بحث CCR و جبری CAR .

املاک و ساخت و ساز جهانی [ ویرایش ]

بگذارید V یک فضای بردار بیش از یک میدان K باشد و اجازه دهید Q  : V → K یک شکل درجه دوم در V باشد. در بیشتر موارد مورد علاقه ، زمینه K یا زمینه اعداد واقعی R یا میدان اعداد پیچیده C یا یک میدان محدود است .

جبر Clifford Cl ( V ، Q ) یک جفت ( A ، i ) است ، [5] [6] که A یک جبر یکپارچه انجمنی بیش از K است و i یک نقشه خطی i است  : V → Cl ( V ، Q ) رضایت بخش i ( v ) 2 = Q ( v ) 1 برای کلیه v در V ، تعریف شده توسط موارد زیراموال جهانی : با توجه به هر unital انجمنی جبر بیش از K و هر نقشه خطی J  : V → به طوری که

(که در آن 1 نشان دهنده هویت ضربی از ) است، وجود دارد منحصر به فرد جبر همریخت F  : کلر ( V ، Q ) → به طوری که در بر داشت زیر نمودار رفت و آمد (یعنی به طوری که F ∘ من = J ):

فرم های درجه دوم Q ممکن است توسط یک (لزوما متقارن نیست) جایگزین فرم دارای دو خط مستقیم 〈⋅، ⋅〉 که دارای خاصیت 〈 V ، V 〉 = Q ( V )، V ∈ V ، که در این صورت نیاز معادل در J است

هنگامی که ویژگی زمینه 2 نیست ، اولین نیاز ممکن است حذف شود زیرا در مورد دوم دلالت دارد و شکل دو قلو ممکن است بدون از دست رفتن کلی بودن به تقارن محدود شود.

یک جبر کلیفورد همانطور که در بالا توضیح داده شد همیشه وجود دارد و می تواند به شرح زیر ساخته شود: از عمومی ترین جبر که حاوی V است ، یعنی جبر تانسور T ( V ) شروع کنید و سپس با در نظر گرفتن یک مقدار مناسب ، هویت اساسی را عملی کنید . در مورد ما ما می خواهید را به دو طرفه ایده آل من Q در T ( V ) تولید شده توسط همه عناصر از فرم

 برای همه

و Cl ( V ، Q ) را به عنوان جبر تعیین کنید

حلقه کالا به ارث برده شده توسط این خارج قسمت است که گاهی اوقات به عنوان مراجعه کننده کالا کلیفورد [7] آن را متمایز از کالا بیرونی و محصول عددی.

پس از آن ساده است که نشان دهیم که Cl ( V ، Q ) حاوی V است و ویژگی جهانی فوق را برآورده می کند ، بنابراین C تا یک ایزومورفیسم منحصر به فرد منحصر به فرد است. بنابراین یکی از "جبر" کلیفورد Cl ( V ، Q ) صحبت می کند . همچنین از این ساخت و ساز است که به دنبال من است تزریقی . معمولا یکی قطره من و در نظر V به عنوان یک فضا خطی از کلر ( V ، Q ) .

خصوصیات جهانی جبر کلیفورد نشان می دهد که ساخت Cl ( V ، Q ) از نظر طبیعت سرگرمی است. یعنی ، Cl را می توان از دسته فضاهای بردار با اشکال درجه دوم (که مورفیدهای آنها نقشه های خطی حفظ فرم درجه دوم است) به عنوان یک تفریحگر در نظر گرفت تا دسته جبرهای انجمنی. خاصیت جهانی تضمین می کند که نقشه های خطی بین فضاهای بردار (حفظ فرم درجه دوم) منحصر به فرد به homomorphism جبر بین جبرهای Clifford مرتبط گسترش می یابد.

https://en.wikipedia.org/wiki/Clifford_algebra