هندسی جبر

جبر فضایی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در فیزیک ریاضی ، جبر فضازمان (STA) یک نام برای است کلیفورد جبر کلر 1،3 ( R )، یا به طور معادل هندسی جبر G ( M 4 ) . به گفته دیوید هستنس ، جبر فضایی می تواند بطور ویژه با هندسه نسبیت خاص و فضا زمان نسبی مرتبط باشد.

این یک فضای بردار است که اجازه می دهد تا نه تنها بردارها ، بلکه می توان شکافها (مقادیر جهت دار مرتبط با هواپیماهای خاص ، مانند مناطق ، یا چرخش ها) یا تیغه ها (مقادیر مرتبط با بیش از اندازه های خاص) را بهم متصل کرد ، و همچنین چرخش کرد ، منعکس شد. یا لورنتس تقویت شد . این همچنین جبر والدین طبیعی اسپینورها در نسبیت خاص است. این خصوصیات به بسیاری از مهمترین معادلات فیزیک اجازه می دهد تا به شکلهای ساده بیان شوند و می توانند در جهت درک هندسی بیشتر از معانی آنها بسیار مفید باشند.

فهرست

ساختار [ ویرایش ]

جبر فضایی ممکن است از یک وکتور مشابه یک بردار زمان مانند ساخته شود {0}} $\ گاما _ {0$ و سه بردار شبیه به فضا ، $\ {\ gamma_1 ، \ gamma_2 ، \ gamma_3 \$ با قانون ضرب

$\ gamma_ \ mu \ gamma_ \ nu + \ gamma_ \ nu \ gamma_ \ mu = 2 \ eta _ {\ mu \ nu$

جایی که $\ eta _ {{\ mu \ nu}$ است متریک مینکوفسکی با امضای (- - + -) .

بدین ترتیب، $\ gamma_0 ^ 2 = {+1$ ، $\ gamma_1 ^ 2 = \ gamma_2 ^ 2 = \ gamma_3 ^ 2 = {-1}$ ، در غیر این صورت $\ displaystyle \ gamma _ {\ mu} \ gamma _ {\ nu} = - \ gamma _ {\ nu} \ gamma _ {\ mu}}$ .

بردارهای پایه $\ گاما _ {k}$ این ویژگی ها را با ماتریس های Dirac به اشتراک بگذارید ، اما در STA نیازی به نمایش ماتریس صریح نیست.

این پایه ای از یک مقیاس ایجاد می کند $\ {1 \$ ، چهار بردار $\ {\ gamma_0 ، \ gamma_1 ، \ gamma_2 ، \ gamma_3 \$ $\ {\ gamma_0 \ gamma_1 ، \، \ gamma_0 \ gamma_2، \، \ gamma_0 \ gamma_3، \، \ gamma_1 \ gamma_2، \، \ gamma_2 \ gamma_3، \، \ gamma_3 \ gamma_1 \$ ، چهار پیشگام $\ {i \ gamma_0، i \ gamma_1، i \ gamma_2، i \ gamma_3 \}$ و یک شبه {\ صفحه نمایش \ {من \}} $\{من\}$ ، جایی که $i = \ gamma_0 \ gamma_1 \ gamma_2 \ gamma_3$ .

قاب متقابل [ ویرایش ]

با مبنای متعامد مرتبط است $\ {\ گاما_ \ مو \}$ اساس متقابل است $\ displaystyle \ {\ gamma ^ {\ mu} = {\ gamma _ {\ mu}} ^ {- 1} \}}$ براینقطه ، 3 $\ displaystyle \ mu = 0 ، \ نقطه ، 3$ ، رضایت از رابطه

$\ displaystyle \ gamma _ {\ mu} \ cdot \ gamma ^ {\ nu} = {\ delta _ {\ mu}} ^ {\ nu}.}$

این بردارهای قاب متقابل فقط با یک علامت تفاوت دارند $\ gamma ^ k = - \ gamma_k$ برای نقطه ، 3 $\ displaystyle k = 1 ، \ نقطه ، 3$ .

یک بردار ممکن است در مختصات شاخص بالا یا پایین نشان داده شود $a = a ^ \ mu \ gamma_ \ mu = a_ \ mu \ gamma ^ \ mu$ با جمع بندی نقطه ، 3 $\ displaystyle \ mu = 0 ، \ نقطه ، 3$ با توجه به نماد انیشتین ، جایی که ممکن است مختصات با گرفتن محصولات نقطه با بردارهای پایه یا متقابل آنها استخراج شود.

$\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} a \ cdot \ gamma ^ {\ nu} & = a ^ {\ nu \\ a \ cdot \ gamma _ {\ nu & = a _ {\ nu}. \ end { هم راستا}}}$

شیب فضایی [ ویرایش ]

شیب فضایی مانند شیب در یک فضای اقلیدسی ، به گونه ای تعریف شده است که رابطه مشتق جهت راضی باشد:

$\ displaystyle a \ cdot \ nabla F (x) = \ lim _ {\ tau \ Rightarrow 0} {\ frac {F (x + a \ tau) -F (x) {\ tau}}.$

این امر مستلزم تعریف شیب است

$\ nabla = \ gamma ^ \ mu \ frac {\ partial} {\ partial x ^ \ mu = \ gamma ^ \ mu \ partial_ \ mu.$

با صراحت نوشته شده $x = ct \ gamma_0 + x ^ k \ gamma_k$ ، این قسمتها هستند

$\ partial_0 = \ frac {1} {c} \ frac {\ partial} {\ partial t} ، \ quad \ partial_k = \ frac {\ partial} {\ جزئی$

تقسیم فضایی [ ویرایش ]

تقسیم فضا - مثال:

$x \ gamma_0 = x ^ 0 + \ mathbf {x$

$p \ gamma_0 = E + \ mathbf {p$ [1]

$v \ gamma_0 = \ گاما (1 + \ mathbf {v})$ [1]

جایی که {\ صفحه نمایش \ گاما $\ گاما$ است ضریب لورنز

$\ nabla \ gamma_0 = \ partial_t - \ nabla$ [2]

در جبر فضایی ، یک تقسیم فضایی یک طرح ریزی از فضای چهار بعدی به (3 + 1) فضای بعدی با یک قاب مرجع انتخاب شده با استفاده از دو عمل زیر است:

سقوط محور زمان انتخاب شده ، ایجاد یک فضای سه بعدی که توسط bivectors پوشانده شده است ، و
پیش بینی فضای 4D بر روی محور زمان انتخاب شده ، با ارائه فضای 1D از مقیاس ها. [3]

این با ضرب قبل یا بعد از ضرب توسط بردار پایه timelike حاصل می شود \ صفحه نمایش \ گاما _ {0}} $\ گاما _ {0$ ، که در خدمت تقسیم یک بردار چهار به یک جدول زمانی مقیاس پذیر و یک جزء spacelike bivector است. با $x = x ^ \ mu \ gamma_ \ mu$ ما داریم

$\ fill {align x \ gamma_0 & = x ^ 0 + x ^ k \ gamma_k \ gamma_0 \\ \ gamma_0 x & = x ^ 0 - x ^ k \ gamma_k \ gamma_0 \ end {align$

به عنوان این پیچک ها $\ gamma_k \ gamma_0$ مربع تا وحدت ، آنها به عنوان یک مبنای مکانی خدمت می کنند. با استفاده از نماد ماتریس پولی ، این ها نوشته شده اند $\ sigma_k = \ gamma_k \ gamma_0$ . بردارهای فضایی در STA به صورت جسورانه نشان داده می شوند. سپس با $\ mathbf {x} = x ^ k \ sigma_k$ \ صفحه نمایش \ گاما _ {0}} $\ گاما _ {0$ تقسیم زمان $x \ gamma_0$ و برعکس آن $\ gamma_0 x$ هستند:

$\ fill {align x \ gamma_0 & = x ^ 0 + x ^ k \ sigma_k = x ^ 0 + \ mathbf {x} \\ \ gamma_0 x & = x ^ 0 - x ^ k \ sigma_k = x ^ 0 - \ mathbf {x} \ end {تراز کردن$

بخش مولتی وکتور [ ویرایش ]

جبر فضایی یک جبر تقسیم نیست ، زیرا حاوی عناصر کم توان است $\ tfrac {1 {{2} (1 بعد از ظهر \ gamma_0 \ gamma_i)$ و غیر تقسیم کننده های غیر صفر $\ displaystyle (1+ \ gamma _ {0} \ gamma _ {i}) (1- \ گاما _ {0} \ گاما _ {i}) = 0$ . این موارد را می توان به ترتیب به عنوان پروژکتور بر روی روابط مخروط نور و ارتودنسی برای چنین پروژکتورهایی تعبیر کرد . اما در برخی موارد آن را است که ممکن است به تقسیم یک مقدار multivector توسط یک فرد و ایجاد حس نتیجه: بنابراین، برای مثال، یک منطقه به کارگردانی تقسیم بر یک بردار در همان هواپیما بردار دیگری، متعامد به اولین دهد.

شرح جبر فضایی فیزیک غیر نسبیتی [ ویرایش ]

مکانیک کوانتومی غیر نسبیتی [ ویرایش ]

جبر spacetime اجازه می دهد تا به جای یک تئوری ماتریس ، توصیف ذرات پائولی را از نظر یک تئوری واقعی ارائه دهد. شرح تئوری ماتریس ذرات پائولی است: [4]

$\ displaystyle i \ hbar \، \ partial _ {t} \ Psi = H_ {S} \ Psi - {\ frac {e \ hbar} {2mc}} \، {\ hat {\ sigma}} \ cdot \ mathbf B} \ Psi ،$

جایی که $من$ واحد تخیلی بدون تفسیر هندسی است ، $\ hat \ sigma_i$ ماتریس های پائولی هستند (با نشان "کلاه" که نشان دهنده آن است $\ hat \ sigma$ یک عملگر ماتریس است و یک عنصر در جبر هندسی نیست) ، و $H_S$ شرودینگر همیلتون است. در جبر فضایی ، ذرات پائولی با معادله واقعی پولی-شرودینگر توضیح داده شده است: [4]

$\ displaystyle \ partial _ {t} \ psi \، i \ sigma _ {3} \، \ hbar = H_ {S} \ psi - {\ frac {e \ hbar} {2mc}} \، \ mathbf {B \ psi \ sigma _ {3} ،}$

حالا کجا $من$ واحد شبه واحد است $i = \ sigma_1 \ sigma_2 \ sigma_3$ و $\ psi$ و $\ sigma_3$ عناصر جبر هندسی ، با $\ psi$ حتی چند بردار؛ $H_S$ دوباره شرودینگر همیلتون است. هستنس از این امر به عنوان نظریه واقعی پولی-شرودینگر یاد می کند تا تأکید کند که اگر اصطلاحی که شامل میدان مغناطیسی است از بین برود ، این نظریه به نظریه شرودینگر کاهش می یابد.

توصیف جبر فضایی از فیزیک نسبیتی [ ویرایش ]

مکانیک کوانتومی نسبیتی [ ویرایش ]

عملکرد موج کوانتومی نسبیتی گاها بعنوان یک زمینه اسپینور بیان می شود ، یعنی [ نیاز به استناد ]

$\ displaystyle \ psi = e ^ {{\ frac {1} {2}} (\ mu + \ beta i + \ phi)}،$

جایی که $\ فی$ دوچرخه سوار است ، و [5] [6]

$\ displaystyle \ psi = R (\ rho e ^ {i \ beta}) ^ {\ frac {1} {2}}،}$

جایی که ، با توجه به اشتقاق آن توسط دیوید هستنس ، $\ psi = \ psi (x)$ یک عملکرد حتی با ارزش چند منظوره در زمان فضایی است ، ${\ نمایشگر R = R (x)}$ یک اسپینور غیر مدولار (یا "روتور" [7] ) ، و است $\ rho = \ rho (x)$ و $\ بتا = \ بتا (x)$ توابع دارای ارزش مقیاس هستند. [5]

این معادله به عنوان اتصال چرخش با شبه تخیلی تعبیر می شود. [8] $ر$ به عنوان چرخش لورنتس که یک قاب از بردارها است مشاهده می شود $\ gamma_ \ mu$ به یک قاب دیگر از بردارها $e_ \ mu$ توسط عمل $e_ \ mu = R \ gamma_ \ mu \ tilde {R$ ، [7] جایی که نماد tilde نشان دهنده معکوس است (معکوس اغلب توسط نماد خنجر نیز مشخص می شود ، همچنین به چرخش در جبر هندسی مراجعه کنید ).

این گسترش یافته است تا چارچوبی برای مشاهدات بردار و مقیاس متغیر محلی و پشتیبانی از تفسیر Zitterbewegung از مکانیک کوانتومی در ابتدا توسط شرودینگر ارائه شود .

هستنس بیان خود را با آن مقایسه کرده است $\ psi$ با بیان فاینمن برای آن در فرمول انتگرال مسیر:

$\ displaystyle \ psi = e ^ {i \ Phi _ {\ lambda} / \ hbar}،}$

جایی که $\ Phi_ \ lambda$ عمل کلاسیک در طول است $\ لامبدا$ -مسیر. [5]

جبر فضایی می تواند به جای یک تئوری ماتریس ، توصیفی از ذرات دیراک را از نظر تئوری واقعی امکان پذیر کند. شرح تئوری ماتریس ذرات دیراک عبارت است از: [9]

$\ displaystyle \ hat {\ gamma}} ^ {\ mu} (\ mathbf {j} \ partial _ {\ mu -e \ mathbf {A} _ {\ mu) | \ psi \ rangle = m | \ psi \ rangle ،}$

جایی که $\ hat \ گاما$ ماتریس های دیراک هستند. در جبر فضایی ، ذرات دیراک با این معادله شرح داده شده است: [9]

$\ nabla \ psi \، i \ sigma_3 - \ mathbf {A} \ psi = m \ psi \ gamma_0$

اینجا، $\ psi$ و $\ sigma_3$ عناصر جبر هندسی ، و $\ nabla = \ gamma ^ \ mu \ partial_ \ mu$ مشتق بردار spacetime است.

یک فرمول جدید از نسبیت عام [ ویرایش ]

لازنبی ، دوران و گول از دانشگاه کمبریج فرمول جدیدی از گرانش را ارائه داده اند که اصطلاحاً گرانشی نظریه سنج (GTG) نامیده می شود ، که در آن از جبر فضایی برای القاء انحنای فضای مینکوفسکی استفاده می شود و ضمن پذیرش یک تقارن سنج تحت "بازگرداندن صاف خودسرانه از وقایع بر فضا" "(لاسنبی و همکاران)؛ مشتق غیرمسئول سپس به معادله ژئودزیک منتهی می شود ،

$\ frac {d} {d \ tau} R = \ frac {1} {2} (\ Omega - \ امگا) R$

و مشتق کواریانس

$\ displaystyle D _ {\ tau} = \ partial _ {\ tau} + {\ frac {1} {2}} \ omega،$

جایی که $\ امگا$ پیوستگی مرتبط با پتانسیل گرانشی ، و $\ امگا$ تعامل خارجی مانند میدان الکترومغناطیسی است.

این تئوری وعده هایی را برای درمان سیاهچاله ها نشان می دهد ، زیرا شکل آن از راه حل شوارتزیلد در تکین ها شکسته نمی شود. بیشتر نتایج حاصل از نسبیت عام به صورت ریاضی بازتولید شده است و فرمولاسیون نسبی گرایی الکترودینامیک کلاسیک به مکانیک کوانتومی و معادله دیراک گسترش یافته است .

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Spacetime_algebra

+ نوشته شده در پنجشنبه بیست و هشتم فروردین ۱۳۹۹ ساعت 0:53 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی

هندسی جبر

پیوندهای روزانه

نوشته‌های پیشین

آرشیو موضوعی

پیوندها

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین