مدل همگن [ ویرایش ]

اولین مدل در اینجا است \ displaystyle \ mathcal {G}} (4،0)، نسخه GA از مختصات همگن مورد استفاده در هندسه پروژکتور. در اینجا یک بردار یک نقطه و یک محصول بیرونی از بردارها را نشان می دهد ، اما ممکن است با جبر دقیقاً به همان روش کار کنیم.{\ mathcal {G}} (3،0). با این وجود ، یک محصول داخلی مفید نمی تواند در فضا تعریف شود ، بنابراین هیچ کالای هندسی وجود ندارد که تنها محصول خارجی و غیر متریک از دوگانگی مانند ملاقات و پیوستن را در خود جای دهد.

با این وجود ، تحقیق در مورد گزینه های 4 بعدی به CGA کامل 5 بعدی برای هندسه های محدود مانند حرکات سفت و سخت بدن انجام شده است. گزیده ای از این موارد را می توانید در قسمت چهارم راهنمای جبر هندسی در عمل مشاهده کنید . [19] توجه داشته باشید که جبر\ displaystyle {\ mathcal {G}} (3،0،1) با انتخاب تنها یک بردار تهی و رها کردن دیگر ، به عنوان subalgebra CGA ظاهر می شود و علاوه بر این "جبر موتور" (ایزومورفیک به کواترنن های دوتایی) حتی زیر جبر است.\ displaystyle {\ mathcal {G}} (3،0،1).

مدل سازه [ ویرایش ]

مقاله اصلی: جبر هندسی سازه

شرح کاملی از وضعیت فعلی این هنر توسط Bayro-Corrochano & Scheuermann (2010) ارائه شده است که شامل منابع بیشتر ، به ویژه در مورد Dorst ، Fontijne و Mann (2007) نیز می باشد. سایر منابع مفید لی (2008) و Bayro-Corrochano (2010) هستند .

Conformal Embedding.svg

کار در GA ، فضای اقلیدسی\ ریاضی {E}} ^ {3 (همراه با یک نقطه شکل در بی نهایت) به صورت ذهنی در CGA تعبیه شده است {\ displaystyle \ mathcal {G}} (4،1) از طریق شناسایی نقاط اقلیدسی با 5فضای بردار CGA -d این اجازه می دهد تا همه تحولات conformal به عنوان چرخش و بازتاب انجام شده است و هموردا ، گسترش روابط بروز هندسه تصویری را به حلقه و حوزه.

به طور خاص ، بردارهای پایه ای متعامد اضافه می کنیم \ displaystyle e _ {+}} و {\ displaystyle e _ {-}} به طوری که\ displaystyle {e _ {+}} ^ {2} = + 1 و\ displaystyle {e _ {-}} ^ {2} = - 1} به اساس فضای برداری که تولید می کند{\ mathcal {G}} (3،0)و بردارهای تهی را شناسایی کنید

n _ {\ infty} = e _ {-} + e _ {+}به عنوان یک نقطه سازگار در بی نهایت (نگاه کنید به Compactification ) و

\ displaystyle n _ {\ text {o}} = {\ tfrac {1} {2}} (e _ {-} - e _ {+})} به عنوان نقطه در مبدا ، دادن

\ displaystyle n _ {\ infty} \ cdot n _ {\ text {o}} = - 1.

این روش شباهت هایی با روش کار با مختصات همگن در هندسه پروژکتور دارد و در این حالت امکان مدل سازی دگرگونی های اقلیدسی از\ mathbf {R} ^ 3به عنوان دگرگونی های متعامد یک زیر مجموعه از\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {4،1}}.

منطقه CG در حال تغییر و تحول سریع ، CGA نیز برای کاربردهای فیزیک نسبی مورد بررسی قرار می گیرد.

مدلهای تحول پروژكتی [ ویرایش ]

دو نامزد بالقوه در حال حاضر تحت عنوان زمینه ساز هندسه میلگرد و پروژکتور در 3 بعد تحت بررسی است \ displaystyle {\ mathcal {R}} (3،3){\ displaystyle \ mathcal {R}} (4،4)[21] که شامل نمای هایی برای برش و مقیاس بندی غیر یکنواخت و همچنین سطوح چهار گوش و بخش مخروطی است.

یک مدل تحقیق جدید ، جبر هندسی چهارگوشه محور\ displaystyle {\ mathcal {R}} (9،6)فرمت CGA ، اختصاص داده شده به سطوح چهارگانه است. ایده این است که اشیاء را در فضاهای کم بعدی جبر نمایان کنیم. QCGA قادر است با استفاده از نقاط کنترل یا معادلات ضمنی ، سطوح چهارگانه ای را بسازد. علاوه بر این ، QCGA می تواند تقاطع سطوح چهارگانه و همچنین بردارهای سطح مماس و معمولی را در نقطه ای که در سطح کوادری قرار دارد محاسبه کند. [22]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_algebra