گروه لبه مسیر یک مجتمع ساده [ ویرایش ]

اگر X یک مجموعه ساده ساده متصل باشد ، یک مسیر لبه در X تعریف می شود که زنجیره ای از رئوس ها است که توسط لبه ها در X متصل می شوند . دو لبه مسیر گفته می شود لبه معادل اگر یکی را می توان از دیگر با تعویض پی در پی بین یک لبه و دو لبه مقابل یک مثلث در به دست آمده X . اگر v یک راس ثابت در X باشد ، یک edge-loop در v یک مسیر حاشیه ای است که در v شروع و پایان می یابد . گروه لبه مسیر (E ( X ،  v به عنوان مجموعه کلاسهای هم ارزی لبه های لبه لبه در v تعریف می شود ، با محصول و معکوس که توسط جمع بندی و معکوس حلقه های لبه تعریف شده است.

گروه لبه مسیر به طور طبیعی ریخت به( p 1 (| X |،  V ، گروه اساسی تحقق هندسی | X | از  . [21] از آنجا که آن را بر روی بستگی دارد تنها 2 اسکلت X 2 از X (این است که، راس، لبه، و مثلث از X )، گروه پی 1 (| X |، V ) و (π 1 (| X 2 | ،  v ایزومورف هستند.

گروه حاشیه ای را می توان صریحاً از نظر ژنراتورها و روابط توصیف کرد . اگر T است حداکثر درخت پوشا در 1 اسکلت از X ، پس از آن E ( X ،  V ) canonically به گروه متناظر با ژنراتور (گرا لبه مسیر است X در رخ نمی T ) و روابط (لبه-معادل مربوط به مثلث در X ) نتیجه مشابه اگر T با هر اتصال ساده - در بعضی از قراردادهای خاص X- جایگزین شود جایگزین می شود. این اغلب یک شیوه عملی برای محاسبه گروه های بنیادی است و می تواند مورد استفاده قرار گیرد تا نشان دهد که هر گروه ارائه شده نهایی به عنوان گروه اساسی یک مجموعه ساده ساده ایجاد می شود. همچنین یکی از روش های کلاسیک مورد استفاده برای سطوح توپولوژیکی است که توسط گروه های اساسی آنها طبقه بندی می شود.

فضای پوشش جهانی از متصل پیچیده های simplicial محدود X همچنین می توانید به طور مستقیم به عنوان یک های simplicial پیچیده با استفاده از لبه مسیر توصیف کرد. راسهای آن جفت ( w ، γ) است که w یک راس X است و γ یک کلاس برابر است از مسیر از v تا w . نمونه های k حاوی ( w ، γ) به طور طبیعی با نمونه های k حاوی w مطابقت دارند . هر راس جدید تو از K -simplex می دهد لبه وو و از این رو، با الحاق، یک مسیر جدید γ تو ازV به تو . نقاط ( w ، γ) و ( u ، γ u ) رئوس سیمپلکس "منتقل شده" در فضای پوشش جهانی هستند. گروه edge-path به طور طبیعی با جمع شدن ، حفظ ساختار ساده عمل می کند ، و فضای سهم فقط X است .

به خوبی شناخته شده است که از این روش می توان برای محاسبه گروه بنیادی یک فضای توپولوژیک دلخواه نیز استفاده کرد. این بدون شک برای ادوارد چخ و ژان لری شناخته شده بود و به صراحت به عنوان یادداشتی در مقاله آندره ویل ظاهر می شد . [22] نویسندگان مختلف دیگری مانند لورنزو کالابی ، وو ون تسان و نودار بریکاشویلی نیز اثبات هایی را منتشر کرده اند. در ساده ترین حالت یک فضای جمع و جور X با یک پوشش باز محدود که در آن کلیه تقاطعات محدود غیر خالی مجموعه های باز در پوشش قابل انقباض هستند ، می توان گروه بنیادی را با گروه حاشیه مجتمع ساده که مربوط به عصبی از پوشش .

قابلیت تحقق [ ویرایش ]

  • هر گروه می تواند به عنوان گروه اساسی یک مجموعه CW متصل به بعد 2 (یا بالاتر) تحقق یابد . همانطور که در بالا ذکر شد ، اگرچه فقط گروه های آزاد می توانند به عنوان گروههای اساسی مجتمعهای CW 1 بعدی (یعنی نمودارها) اتفاق بیفتند.
  • هر گروه ارائه شده نهایی می تواند به عنوان گروه اساسی یک منیفولد جمع و جور ، متصل ، صاف از ابعاد 4 (یا بالاتر) تحقق یابد . اما محدودیت های شدیدی وجود دارد که در آن گروه ها به عنوان گروه های اصلی منیفولدهای کم بعدی ظاهر می شوند. به عنوان مثال ، هیچ گروه آزلای آزاد از درجه 4 یا بالاتر نمی تواند به عنوان گروه اساسی منیفولد از ابعاد 3 یا کمتر محقق شود. می توان ثابت کرد که هر گروه می تواند بعنوان گروه اساسی یک فضای فشرده Haus Hausff تحقق یابد ، اگر و تنها در صورت عدم وجود کاردینال قابل اندازه گیری . [23]

مفاهیم مرتبط [ ویرایش ]

گروه های هموتوپی بالاتر [ ویرایش ]

تقریباً صحبت می کنیم ، گروه بنیادی ساختار سوراخ 1 بعدی یک فضا را تشخیص می دهد ، اما سوراخ هایی در ابعاد بالاتر مانند برای کره 2 ندارد. چنین "سوراخ هایی با ابعاد بالاتر" با استفاده از گروه های هموتوپ بالاتر قابل تشخیص است\ pi_n (X)، که تعریف شده است که شامل کلاس های هموتوپی از نقشه (حفظ پایه) حفظ ازS ^ {nبه X . به عنوان مثال، Hurewicz قضیه نشان می دهد که N گروه هوموتوپی هفتم از N -sphere است (برای همهn \ geq 1) هستند

\ displaystyle \ pi _ {n} (S ^ {n}) = \ mathbb {Z}.[24]

همانطور که در محاسبات فوق ذکر شد \ pi _ {1 از گروه های کلاسیک دروغ ، گروه های هموتوپی بالاتر حتی می تواند برای محاسبه گروه های اساسی مرتبط باشد.

فضای حلقه [ ویرایش ]

مجموعه ای از حلقه های پایه (به عنوان مثال ، به عنوان یک homotopy در نظر گرفته نشده است) در یک فضای اشاره گر X ، وقف توپولوژی باز فشرده ، به عنوان فضای حلقه شناخته می شود..{\ displaystyle \ امگا X.گروه بنیادی X با مجموعه مؤلفه های مسیر فضای حلقه خود در حال زیستن است: [25]

{\ displaystyle \ pi _ {1} (X) \ civ \ pi _ {0} (\ Omega X).

گروه اساسی [ ویرایش ]

گروه بنیادی نوعی از گروه اساسی است که در موقعیت هایی که انتخاب یک نقطه پایه مفید است مفید استدر X{\ نمایشگر x_ {0} \ در Xنامطلوب است این است که توسط اولین با توجه به تعریف دسته از مسیر درایکس، عملکردهای مداوم

\ displaystyle \ gamma: [0 ، r] \ to X

که در آن r یک شماره واقعی غیر منفی دلخواه است. از آنجایی که طول r در این روش متغیر است ، چنین مسیرهایی می تواند به عنوان همسان باشد (به عنوان مثال ، تا حد هموتوپی نیست) و بنابراین یک دسته را به دست می آورند. [26] دو مسیر از این دست{\ صفحه نمایش \ گاما ، \ گاما}{\ صفحه نمایش \ گاما ، \ گاما}با همان نقاط انتهایی و طول r ، به ترتیب. اگر تعداد واقعی وجود داشته باشد r ' در نظر گرفته می شوندتو ، v \ geqslant 0 به طوری کهr + u = s + v و\ displaystyle \ gamma _ {u}، \ gamma '_ {v}: [0، r + u] \ to X نسبت به نقاط پایانی خود ، کجا هستند {\ displaystyle \ gamma _ {u} (t) = {\ آغاز {موارد} \ گاما (t) ، و t \ in [0 ، r] \\ f (r) ، & \ gamma \ in [r، r + تو]. \ end {موارد}}}[27] [28] به دسته مسیرهای مربوط به این رابطه هم ارزی اشاره شده است{\ displaystyle \ Pi (X). هر مورفیسم در{\ displaystyle \ Pi (X)یک ایزومورفیسم است ، با معکوس با همان مسیری که در جهت مخالف طی شده است. چنین مقوله ای یک گروهبندی نامیده می شود . از آن زمان این گروه بنیادی را تولید می کند

\ displaystyle \ pi _ {1} (X، x_ {0}) = \ mathrm {Hom _ {\ Pi (X)} (x_ {0} ، x_ {0}).

به طور کلی تر ، می توان گروه اصلی را در مجموعه A از نقاط پایه در نظر گرفت ، با توجه به هندسه وضعیت انتخاب شده است. به عنوان مثال ، در مورد دایره ، که می تواند به عنوان اتحادیه دو مجموعه باز متصل که تقاطع آن دو جزء دارد ، نشان داده شود ، می توان در هر مؤلفه یک نقطه پایه را انتخاب کرد. ون Kampen قضیه اذعان می کند یک نسخه برای groupoids اساسی است که می دهد، برای مثال، راه دیگری برای محاسبه گروه اساسی (OID) ازS ^ {1.[29]

سیستم های محلی [ ویرایش ]

به طور کلی ، بازنمودها ممکن است با عملکرد خود در سایر اشیاء ریاضی ، غالباً فضاهای برداری ، به نمایش گذاشتن ویژگیهای یک گروه کمک کنند . نمایندگیهای گروه بنیادی از اهمیت هندسی بسیار بالایی برخوردارند: هر سیستم محلی (به عنوان مثال ، یک پوسته){\ mathcal {F}}در X با خاصیت محلی که در یک محله U به اندازه کافی کوچک از هر نقطه ای از X وجود دارد ، محدودیت F یک صفحه ثابت از فرم است\ displaystyle {\ mathcal {F}} | _ {U} = \ mathbb {Q} ^ {n}}) منجر به نمایندگی به اصطلاح مونودرومی ، بازنمایی از گروه اساسی در یک بعدی- n بعدی می شود\ mathbb {Q} فضای وکتور برعكس ، هرگونه بازنمايي در فضاي متصل به مسير X به اين شكل پديد مي آيد. [30] این هم ارزی دسته ها بین بازنمودهای\ pi _ {1} (X)و مثلاً sytems محلی در مطالعه معادلات دیفرانسیل استفاده می شود .

گروه اساسی tale [ ویرایش ]

در هندسه جبری ، به اصطلاح گروه اساسی étale به عنوان جایگزینی برای گروه بنیادی استفاده می شود. [31] از آنجا که توپولوژی زریسکی در مورد انواع جبری یا طرح X بسیار درشت تر از ، مثلاً ، توپولوژی زیر مجموعه های باز در\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} ،}دیگر معنی ندارد که نقشه های مداوم را از فاصله زمانی تا X در نظر بگیرید. در عوض ، رویکرد توسعه یافته توسط گروتندیک شامل ساخت است\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {et}با در نظر گرفتن همه محدود را پوشش می دهد étale از X . اینها به عنوان یک آنالوگ جبری-هندسی پوشش با الیاف محدود خدمت می کنند.

این نظریه را در شرایطی که هیچ شهود کلاسیکی شهود کلاسیکی وجود ندارد ، به کار می برد ، مثلاً برای انواع تعریف شده در یک زمینه محدود . همچنین، گروه اساسی étale از یک زمینه (مطلق) است گروه Galois . از سوی دیگر ، برای انواع صاف X بیش از اعداد پیچیده ، گروه بنیادی عالی بسیاری از اطلاعات ذاتی در گروه اساسی کلاسیک را حفظ می کند: اولی تکمیل مطلق دومی است. [32]

گروه اساسی گروه های جبری [ ویرایش ]

گروه بنیادی یک سیستم ریشه ، به قیاس با محاسبه برای گروه های دروغ تعریف شده است. [33] این اجازه می دهد تا از گروه اصلی یک گروه جبر خطی نیمه جزیی G تعریف شود ، که یک ابزار اساسی مفید در طبقه بندی گروه های جبری خطی است. [34]

گروه اساسی مجموعه های ساده [ ویرایش ]

رابطه هموتوپی بین 1-ساده یک مجموعه ساده X یک رابطه هم ارزی است اگر X یک مجموعه Kan باشد اما لزوماً به طور کلی چنین نیست. [35] بنابراین ،\ pi _ {1از یک مجموعه Kan می تواند به عنوان مجموعه کلاس های هموتوپی 1-ساده تعریف شود. گروه بنیادی مجموعه ای ساده ای X دلخواه مشخص شده است که گروه هموتوپی تحقق توپولوژیکی آن است ،\ displaystyle | X | ،}فضای توپولوژیکی بدست آمده با چسباندن ساده های توپولوژیکی همانطور که توسط ساختار مجموعه ای ساده X مشخص شده است . [36]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_group