گروه اساسی از یک فضای توپولوژیک

در ریاضی زمینه توپولوژی جبری از گروه اساسی از یک فضای توپولوژیک است گروه از کلاسهای هم ارزی تحت هموتوپی از حلقه موجود در فضا. اطلاعات مربوط به شکل اولیه یا سوراخ های فضای توپولوژیکی را ثبت می کند . گروه اساسی اولین و ساده ترین گروه هموتوپی است . گروه بنیادی یک فضای همسانگردی ثابت هموتوپی است که معادل هموتوپی (یا مورد قوی تر هومومورفیک ) دارای ایزومورف هستند گروه های اساسی

قابلیت بدست آوردن گروه بنیادی را می توان با اولین گروه همسانی فضا مشخص کرد. هنگامی که فضای توپولوژیکی هومومورفیک برای یک مجموعه ساده است ، می توان گروه بنیادی آن را به صراحت از نظر تولید کننده ها و روابط توصیف کرد .

هنری پینکاره در مقاله خود " Analysis situs " گروه اساسی را در سال 1895 تعریف کرد . [1] این مفهوم در تئوری سطوح ریمان ، در کار برنارد ریمان ، پوینکار ، و فلیکس کلاین پدید آمد . این ویژگی های مونودرومی توابع با ارزش پیچیده و همچنین طبقه بندی کامل توپولوژیکی سطوح بسته را توصیف می کند .

فهرست

شهود [ ویرایش ]

با یک فضا شروع کنید (به عنوان مثال یک سطح) ، و برخی از نقاط در آن ، و تمام حلقه ها که در این نقطه شروع و پایان می یابند - مسیرهایی که در این نقطه شروع می شوند ، دور می شوند و سرانجام به نقطه شروع باز می گردند. دو حلقه را می توان با یک روش واضح ترکیب کرد: در طول حلقه اول و سپس در امتداد دوم حرکت کنید. اگر یک حلقه بدون شکستن یکی از دو حلقه باشد ، دو حلقه معادل در نظر گرفته می شوند. مجموعه همه این حلقه ها با این روش ترکیب و این هم ارزی بین آنها گروه اساسی برای آن فضای خاص است.

تعریف [ ویرایش ]

در طول این مقاله ، X یک فضای توپولوژیک است. یک نمونه معمولی سطحی مانند سطح تصویر در سمت راست است. علاوه بر این،{\ نمایشگر x_ {0}} $x_ {0$ یک نقطه در X به نام نقطه پایه است . (همانطور که در ادامه توضیح داده شده است ، نقش آن کاملاً کمکی است.) ایده تعریف گروه هموتوپی برای اندازه گیری چند منحنی (بطور کلی) بر روی X است که می توانند به یکدیگر تغییر شکل دهند. تعریف دقیق به مفهوم هموتوپی حلقه ها بستگی دارد ، که در ابتدا توضیح داده می شود.

هموتوپی حلقه ها [ ویرایش ]

با توجه به فضای توپولوژیکی X ، یک حلقه مستقر در $x_ {0$ به عنوان یک تابع مداوم تعریف شده است (همچنین به عنوان یک نقشه پیوسته شناخته می شود )

$\ displaystyle \ gamma: [0،1] \ to X}$

به طوری که هر دو نقطه شروع $\ گاما (0)$ و نکته آخر $\ گاما (1)$ هر دو برابر هستند $x_ {0.$

هموتوپی حلقه ها

هموتوپی الحاق مداوم بین دو حلقه است. دقیق تر ، یک هموتوپی بین دو حلقه است $\ displaystyle \ gamma، \ gamma ': [0،1] \ to X}$ (مستقر در همان نقطه $x_ {0$ ) یک نقشه پیوسته است

، ${\ displaystyle h: [0،1] \ بار [0،1] \ تا X ،$

به طوری که

${\ نمایشگر ساعت h (0 ، t) = x_ {0}$ برای همه $t \ in [0،1] ،$ یعنی نقطه شروع هموتوپی است $x_ {0$ برای همه t (که اغلب به عنوان یک پارامتر زمان تصور می شود).

${\ نمایشگر ساعت h (1 ، t) = x_ {0}$ برای همه $t \ in [0،1] ،$ یعنی ، به طور مشابه نقطه انتهایی در $x_ {0$ برای همه تی .

$\ displaystyle h (r، 0) = \ gamma (r)، h (r، 1) = \ gamma '(r)$ برای همه $display \ displaystyle r \ in [0،1].$

اگر چنین هموتوپی ساعت وجود دارد، $\ گاما$ و ' $\ گاما$ به هموتوپی گفته می شود . ارتباط $\ گاما$ هموتوپیک است ' $\ گاما$ "یک رابطه هم ارزی است به طوری که می توان مجموعه کلاس های هم ارزی را در نظر گرفت:

${\ displaystyle \ pi _ {1} (X ، x_ {0}): = \ {{\ text {همه حلقه ها}} \ گاما {\ متن {مستقر در}} x_ {0} \} / {\ text هموتوپی}}}$

آن را گروه اساسی فضای توپولوژیکی X و نقطه پایه می نامند $x_ {0.$ هدف از توجه به کلاسهای همارزی از حلقه تا هموتوپی، به عنوان مجموعه ای از تمام حلقه ها (به اصطلاح مخالف حلقه در فضا از X ) است که دومی، در حالی که برای اهداف مختلف مفید بودن، یک شی و نه بزرگ و گنده است . در مقابل ، مقدار فوق در بسیاری از موارد ، اندازه قابل کنترل و محاسبه ای دارد.

ساختار گروه [ ویرایش ]

اضافه کردن حلقه ها

طبق تعریف فوق ، $\ pi _ {1} (X ، x_ {0})$ فقط یک مجموعه است این گروه با استفاده از همبستگی حلقه ها به یک گروه تبدیل می شود (و بنابراین سزاوار اسم گروه اساسی است ). دقیق تر ، با توجه به دو حلقه $\ displaystyle \ gamma _ {0} ، \ گاما _ {1} ،}$ ضرب آنها به عنوان حلقه تعریف می شود

$\ displaystyle {\ fill {تراز شده} \ gamma _ {0} \ cdot \ gamma _ {1}: [0،1] & \ to X \\ (\ gamma _ {0} \ cdot \ gamma _ {1 ) (t) & = {\ fill {موارد} \ گاما _ {0} (2t) و 0 \ leq t \ leq {\ tfrac {1} {2}} \\\ گاما _ {1} (2t-1) & {\ tfrac {1} {2}} \ leq t \ leq 1. \ end {موارد}} \ end {تراز شده}$

بنابراین حلقه $\ displaystyle \ gamma _ {0} \ cdot \ gamma _ {1}$ ابتدا حلقه را دنبال می کند $\ گاما _ {0$ با "دو برابر سرعت" و سپس به شرح زیر است $\ گاما _ {1$ با "دو برابر سرعت".

محصول دو کلاس هموتوپی حلقه ${\ displaystyle [\ گاما _ {0}]}$ و ${\ displaystyle [\ gamma _ {1}]}$ سپس به عنوان تعریف شده است $\ displaystyle [\ gamma _ {0} \ cdot \ gamma _ {1}].$ می توان نشان داد که این محصول به انتخاب نمایندگان بستگی ندارد و بنابراین عملکردی تعریف شده از مجموعه ارائه می دهد . ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X ، x_ {0}).$ این عمل می چرخد $\ pi _ {1} (X ، x_ {0})$ به یک گروه عنصر خنثی آن حلقه ثابت است که در آن باقی می ماند $x_ {0$ برای همه زمان ها تی . معکوس یک حلقه (کلاس هموتوپی a) همان حلقه است ، اما در جهت مخالف طی می شود. رسمی تر ،

$\ displaystyle \ gamma ^ {- 1} (t): = \ gamma (1-t).$

با توجه به سه حلقه پایه $\ displaystyle \ گاما _ {0} ، \ گاما _ {1} ، \ گاما _ {2} ،}$ ضرب

$\ displaystyle (\ گاما _ {0} \ cdot \ گاما _ {1}) \ cdot \ گاما _ {2}}$

جمع شدن این حلقه ها ، در حال گذر است $\ گاما _ {0$ و $\ گاما _ {1$ با سرعت چهار برابر ، و پس از آن $\ گاما _ {2$ با سرعت دو برابر در مقایسه با،

$\ displaystyle \ gamma _ {0} \ cdot (\ گاما _ {1} \ cdot \ گاما _ {2})$

همان مسیرها را طی می کند (به همان ترتیب) ، اما $\ گاما _ {0$ با سرعت دو برابر ، و $\ گاما _ {1} ، \ گاما _ {2$ با سرعت چهار برابر بنابراین ، به دلیل سرعت متفاوت ، دو مسیر یکسان نیستند. associativity اصل

${\ displaystyle [\ gamma _ {0}] \ cdot \ left ([\ \ gamma _ {1}] \ cdot [\ gamma _ {2}] \ Right) = \ left ([\ gamma _ {0}] \ cdot [\ گاما _ {1}] \ درست) \ cdot [\ گاما _ {2}]}$

بنابراین بسیار مهم به این واقعیت بستگی دارد که مسیرها تا هموتوپی در نظر گرفته می شوند. در واقع ، هر دو کامپوزیت فوق برای مثال به حلقه ای که از هر سه حلقه عبور می کند ، هموتوپی هستند $\ displaystyle \ گاما _ {0} ، \ گاما _ {1} ، \ گاما _ {2}$ با سرعت سه برابر مجموعه حلقه های پایه تا هموتوپی ، مجهز به عملكرد فوق ، به همین ترتیب تبدیل می شود $\ pi _ {1} (X ، x_ {0})$ به یک گروه

وابستگی به نقطه پایه [ ویرایش ]

اگرچه گروه بنیادی به طور کلی به انتخاب نقطه پایه بستگی دارد ، اما معلوم می شود که تا حد ایزومورفیسم (در واقع حتی تا ایزومورفیسم درونی ) ، این انتخاب تا زمانی که فضای X از مسیر متصل باشد ، هیچ فرقی نمی کند . بنابراین ، برای بسیاری از فضاهای مرتبط با مسیر ، بسیاری از نویسندگان می نویسند: ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X ، x_ {0}).$

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_group

+ نوشته شده در جمعه بیست و دوم فروردین ۱۳۹۹ ساعت 9:28 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی