از ویکی‌پدیا، دانشنامه آزاد

در جبر جابجایی ، قضیه کرول-آکیزوکی موارد زیر را بیان می‌کند: فرض کنید A یک حلقه نوتری کاهش‌یافته یک بعدی باشد ، [ 1 ] K حلقه کامل کسرهای آن است . فرض کنید L یک بسط متناهی از K باشد . [ 2 ] اگر {\displaystyle A\subset B\subset L}و B کاهش یابد، آنگاه B یک حلقه نوتری با حداکثر یک بعد است. علاوه بر این، برای هر ایده‌آل غیر صفر {\displaystyle I}از {\displaystyle B/I}روی A متناهی است . [ 3 ] [ 4 ]

توجه داشته باشید که این قضیه نمی‌گوید که B نسبت به A متناهی است . این قضیه به ابعاد بالاتر تعمیم داده نمی‌شود. یکی از پیامدهای مهم این قضیه این است که بستار انتگرالی یک دامنه ددکیند A در یک بسط متناهی از میدان کسرهای A ، دوباره یک دامنه ددکیند است. این پیامد به ابعاد بالاتر تعمیم داده می‌شود: قضیه موری-ناگاتا بیان می‌کند که بستار انتگرالی یک دامنه نوتری یک دامنه کرول است .

اثبات

[ ویرایش ]

اول توجه داشته باشید که {\displaystyle A\subset B\subset KB}و KB بسط متناهی K است ، بنابراین می‌توانیم بدون از دست دادن کلیت فرض کنیم که {\displaystyle L=KB}سپس {\displaystyle L=Kx_{1}+\cdots +Kx_{n}}برای بعضی ها {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in B}از آنجایی که هر{\displaystyle x_{i}}روی K انتگرال‌پذیر است ، وجود دارد {\displaystyle a_{i}\in A}به طوری که {\displaystyle a_{i}x_{i}}روی A انتگرال‌پذیر است . فرض کنید{\displaystyle C=A[a_{1}x_{1},\dots ,a_{n}x_{n}]}آنگاه C یک حلقه نوتری یک بعدی است، و {\displaystyle C\subset B\subset Q(C)}، کجا {\displaystyle Q(C)}نشان دهنده حلقه کامل کسرهای C است . بنابراین می‌توانیم C را جایگزین A کنیم و به حالت زیر کاهش دهیم. {\displaystyle L=K}.

بگذارید {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}ایده‌آل‌های اول مینیمال A باشند ؛ تعداد متناهی از آنها وجود دارد. فرض کنید {\displaystyle K_{i}}میدان کسرهای باشد.{\displaystyle A/{{\mathfrak {p}}_{i}}}و{\displaystyle I_{i}}هسته اصلی نقشه طبیعی {\displaystyle B\to K\to K_{i}}سپس داریم:

\displaystyle A/{{\mathfrak {p}}_{i}}\subset B/{I_{i}}\subset K_{i}}و{\displaystyle K\simeq \prod K_{i}}.

حال، اگر این قضیه زمانی برقرار باشد که A یک دامنه باشد، این نشان می‌دهد که B یک دامنه نوتری یک بعدی است زیرا هر{\displaystyle B/{I_{i}}}است و از آنجایی که {\displaystyle B\simeq \prod B/{I_{i}}}بنابراین، اثبات را به حالتی کاهش دادیم که A یک دامنه باشد. فرض کنید {\displaystyle 0\neq I\subset B}یک ایده‌آل باشد و فرض کنید a یک عنصر غیرصفر در ایده‌آل غیرصفر باشد. {\displaystyle I\cap A}مجموعه {\displaystyle I_{n}=a^{n}B\cap A+aA}از آنجا که {\displaystyle A/aA}یک حلقه نوتری با صفر درجه است؛ بنابراین، آرتینیان ، وجود داردل{\displaystyle l}به طوری که {\displaystyle I_{n}=I_{l}}برای هم {\displaystyle n\geq l}ما ادعا می‌کنیم

{\displaystyle a^{l}B\subset a^{l+1}B+A.}

از آنجایی که کافی است شمول را به صورت محلی برقرار کنیم، می‌توانیم فرض کنیم A یک حلقه محلی با ایده‌آل حداکثری است {\displaystyle {\mathfrak {m}}}فرض کنید x یک عنصر غیر صفر در B باشد . آنگاه، از آنجایی که A نوتری است، n ای وجود دارد به طوری که {\displaystyle {\mathfrak {m}}^{n+1}\subset x^{-1}A}و بنابراین {\displaystyle a^{n+1}x\in a^{n+1}B\cap A\subset I_{n+2}} بنابراین،

{\displaystyle a^{n}x\in a^{n+1}B\cap A+A.}

حال، فرض کنید n یک عدد صحیح حداقلی است به طوری که {\displaystyle n\geq l}و آخرین شمول برقرار است. اگر {\displaystyle n>l}، آنگاه به راحتی می‌بینیم که {\displaystyle a^{n}x\in I_{n+1}}اما در این صورت، شمول فوق برای موارد زیر نیز صادق است −۱{\displaystyle n-1}، تناقض. از این رو، داری {\displaystyle n=l}و این ادعا را اثبات می‌کند. اکنون به شرح زیر است:

{\displaystyle B/{aB}\simeq a^{l}B/a^{l+1}B\subset (a^{l+1}B+A)/a^{l+1}B\simeq A/(a^{l+1}B\cap A).}

از این رو، {\displaystyle B/{aB}}دارای طول متناهی به صورت A- مدول است. به طور خاص، تصویرِمن{\displaystyle I}به صورت متناهی تولید می‌شود و بنابراین {\displaystyle I}به صورت متناهی تولید می‌شود. موارد فوق نشان می‌دهد که {\displaystyle B/{aB}}حداکثر بُعد صفر دارد و بنابراین B حداکثر بُعد یک دارد. در نهایت، دنباله دقیق {\displaystyle B/aB\to B/I\to (0)}از A- مدول‌ها نشان می‌دهد که {\displaystyle B/I}روی A متناهی است . {\displaystyle \square}

منابع

[ ویرایش ]

  1. ^ در این مقاله، یک حلقه خاصیت جابجایی دارد و واحد است.
  2. ^ اگر {\displaystyle A\subset B}اگر حلقه باشند، می‌گوییم B امتداد متناهی A است اگر B یک مدول A با تولید متناهی باشد.
  3. ↑ Bourbaki 1989 , Ch VII, §2, no. 5، گزاره 5
  4. ^ سوانسون، ایرنا؛ هونکه، کریگ (2006). بستار انتگرالی ایده‌آل‌ها، حلقه‌ها و مدول‌ها . انتشارات دانشگاه کمبریج. صفحات 87-88 .

دسته بندی ها :