نمونه‌های اول

[ ویرایش ]

یک مثال مهم، و از برخی جهات حیاتی، حلقه اعداد صحیح است. {\displaystyle \mathbb {Z} }با دو عمل جمع و ضرب. از آنجایی که ضرب اعداد صحیح یک عمل جابجایی است، این یک حلقه جابجایی است. معمولاً با نشان داده می‌شود {\displaystyle \mathbb {Z} }به عنوان مخفف کلمه آلمانی Zahlen (اعداد).

یک میدان یک حلقه جابجایی است که در آن {\displaystyle 0\neq 1}و هر عنصر غیر صفر {\displaystyle a}معکوس‌پذیر است؛ یعنی وارون ضربی دارد {\displaystyle b}به طوری که {\displaystyle a\cdot b=1}بنابراین، طبق تعریف، هر میدانی یک حلقه جابجایی است. اعداد گویا ، حقیقی و مختلط ، میدان‌ها را تشکیل می‌دهند.

اگرر{\displaystyle R}یک حلقه جابجایی داده شده باشد، آنگاه مجموعه تمام چندجمله‌ای‌ها در متغیر {\displaystyle X}که ضرایب آنها در {\displaystyle R}حلقه چندجمله‌ای را تشکیل می‌دهد که با نشان داده می‌شود {\displaystyle R\left[X\right]}همین امر در مورد چندین متغیر نیز صادق است.

اگر {\displaystyle V}یک فضای توپولوژیکی است ، برای مثال زیرمجموعه‌ای از ... {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}، توابع پیوسته با مقدار حقیقی یا مختلط روی {\displaystyle V}یک حلقه جابجایی تشکیل می‌دهند. همین امر در مورد توابع مشتق‌پذیر یا هولومورفیک نیز صادق است ، زمانی که این دو مفهوم تعریف شده باشند، مانند {\displaystyle V}یک منیفولد پیچیده .

بخش‌پذیری

[ ویرایش ]

برخلاف میدان‌ها، که در آن‌ها هر عنصر غیرصفر به صورت ضربی وارون‌پذیر است، مفهوم بخش‌پذیری برای حلقه‌ها غنی‌تر است. یک عنصر {\displaystyle a}از حلقه {\displaystyle R}اگر دارای معکوس ضربی باشد، یک واحد نامیده می‌شود . نوع خاص دیگری از عنصر، مقسوم‌علیه‌های صفر است ، یعنی یک عنصر {\displaystyle a}به طوری که یک عنصر غیر صفر وجود داشته باشد {\displaystyle b}از حلقه به طوری که {\displaystyle ab=0}اگر {\displaystyle R}هیچ مقسوم علیه صفر غیر صفر نداشته باشد، به آن دامنه (یا حوزه) انتگرال می‌گویند . یک عنصر {\displaystyle a}رضایت بخش {\displaystyle a^{n}=0}برای یک عدد صحیح مثبت {\displaystyle n}پوچ‌توان (nilpotent) نامیده می‌شود .

محلی‌سازی‌ها

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: محلی‌سازی یک حلقه

محلی‌سازی یک حلقه فرآیندی است که در آن برخی از عناصر معکوس‌پذیر می‌شوند، یعنی وارون‌های ضربی به حلقه اضافه می‌شوند. به طور مشخص، اگر {\displaystyle S}یک زیرمجموعهٔ بستهٔ ضربی از است . {\displaystyle R}(یعنی هر زمان که {\displaystyle s,t\in S}پس همینطور است {\displaystyle st}) سپس محلی سازی {\displaystyle R}در {\displaystyle S}یا حلقه‌ای از کسرها با مخرج‌های {\displaystyle S}، معمولاً با علامت مشخص می‌شود {\displaystyle S^{-1}R}متشکل از نمادها

{\displaystyle {\frac {r}{s}}}با {\displaystyle r\in R,s\in S}

تابع قوانین خاصی است که از حذف آشنا در اعداد گویا تقلید می‌کنند. در واقع، در این زبان {\displaystyle \mathbb {Q} }محلی سازی است {\displaystyle \mathbb {Z} }در تمام اعداد صحیح غیر صفر. این ساختار برای هر دامنه صحیحی کار می‌کند. {\displaystyle R}به جایز{\displaystyle \mathbb {Z} }محلی سازی {\displaystyle \left(R\setminus \left\{0\right\}\right)^{-1}R}یک میدان است، که میدان خارج قسمت نامیده می‌شود . {\displaystyle R}.

ایده‌آل‌ها و ماژول‌ها

[ ویرایش ]

در ادامه، R یک حلقه جابجایی را نشان می‌دهد.

بسیاری از مفاهیم زیر برای حلقه‌های جابجایی‌پذیر که لزوماً جابجایی‌پذیر نیستند نیز وجود دارند، اما تعاریف و ویژگی‌ها معمولاً پیچیده‌تر هستند. برای مثال، همه ایده‌آل‌ها در یک حلقه جابجایی‌پذیر به طور خودکار دو طرفه هستند که این امر وضعیت را به میزان قابل توجهی ساده می‌کند.

ماژول‌ها

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: ماژول

برای یک حلقه {\displaystyle R}، یک {\displaystyle R}- ماژول {\displaystyle M}مانند نسبت فضای برداری به یک میدان است. یعنی عناصر یک ماژول می‌توانند با هم جمع شوند؛ می‌توانند در عناصر یک ... ضرب شوند. {\displaystyle R}تابع همان اصول موضوعه برای فضای برداری است.

مطالعه‌ی مدول‌ها به طور قابل توجهی پیچیده‌تر از مطالعه‌ی فضاهای برداری است، زیرا مدول‌هایی وجود دارند که هیچ پایه‌ای ندارند ، یعنی شامل یک مجموعه‌ی فراگیر که عناصر آن به صورت خطی مستقل باشند، نیستند . مدولی که پایه دارد، مدول آزاد نامیده می‌شود و یک زیرمدول از یک مدول آزاد لزوماً نباید آزاد باشد.

یک ماژول از نوع متناهی ، ماژولی است که دارای یک مجموعه پوشای متناهی است. ماژول‌های از نوع متناهی نقش اساسی در نظریه حلقه‌های جابجایی دارند، مشابه نقش فضاهای برداری با ابعاد متناهی در جبر خطی . به طور خاص، حلقه‌های نوتری (همچنین به § حلقه‌های نوتری ، در زیر مراجعه کنید) را می‌توان به عنوان حلقه‌هایی تعریف کرد که هر زیرمدول از یک ماژول از نوع متناهی نیز از نوع متناهی باشد.

ایده آلها

[ ویرایش ]

مقالات اصلی: حلقه ایده‌آل و حلقه فاکتور

ایده‌آل‌های یک حلقه {\displaystyle R}زیرماژول‌هایِ {\displaystyle R}یعنی ماژول‌های موجود در {\displaystyle R}به طور دقیق‌تر، یک ایده‌آل {\displaystyle I}یک زیرمجموعه غیر تهی از است {\displaystyle R}به طوری که برای همه {\displaystyle r}در {\displaystyle R}، {\displaystyle i}و {\displaystyle j}در {\displaystyle I}، هر دو {\displaystyle ri}و {\displaystyle i+j}در {\displaystyle I}برای کاربردهای مختلف، درک ایده‌آل‌های یک حلقه از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است، اما اغلب با مطالعه ماژول‌ها به طور کلی پیش می‌رود.

هر حلقه‌ای دو ایده‌آل دارد، یعنی ایده‌آل صفر {0}{\displaystyle \left\{0\right\}}ور{\displaystyle R}، کل حلقه. این دو آرمان تنها آرمان‌هایی هستند که دقیقاً اگر {\displaystyle R}یک فیلد است. با توجه به هر زیرمجموعه‌ {\displaystyle F=\left\{f_{j}\right\}_{j\in J}}از {\displaystyle R}(کجا {\displaystyle J}یک مجموعه شاخص است)، ایده‌آل تولید شده توسط {\displaystyle F}کوچکترین ایده‌آلی است که شامل {\displaystyle F}به طور معادل، با ترکیب‌های خطی متناهی داده می‌شود {\displaystyle r_{1}f_{1}+r_{2}f_{2}+\dots +r_{n}f_{n}.}

دامنه‌های ایده‌آل اصلی

[ ویرایش ]

اگر {\displaystyle F}از یک عنصر واحد تشکیل شده است {\displaystyle r}، ایده‌آل تولید شده توسط {\displaystyle F}متشکل از مضربی از {\displaystyle r}یعنی عناصر {\displaystyle rs}برای عناصر دلخواهها{\displaystyle s}چنینایده‌آلی، ایده‌آل اصلی نامیده می‌شود . اگر هر آرمانی، آرمان اصلی باشد، {\displaystyle R}یک حلقه ایده‌آل اصلی نامیده می‌شود ؛ دو مورد مهم عبارتند از {\displaystyle \mathbb {Z} }و {\displaystyle k[X]}، حلقه چندجمله‌ای روی یک میدان {\displaystyle k}این دو، دامنه‌های اضافی هستند، بنابراین به آنها دامنه‌های ایده‌آل اصلی می‌گویند .

برخلاف حلقه‌های عمومی، برای یک دامنه ایده‌آل اصلی، خواص عناصر منفرد به شدت به خواص حلقه به عنوان یک کل وابسته است. برای مثال، هر دامنه ایده‌آل اصلی {\displaystyle R}یک دامنه فاکتورگیری منحصر به فرد (UFD) است، به این معنی که هر عنصر، حاصل ضرب عناصر غیرقابل تقلیل، به روشی منحصر به فرد (تا مرتب‌سازی مجدد فاکتورها) است. در اینجا، یک عنصر {\displaystyle a}در یک دامنه ، اگر تنها راه بیان آن به صورت یک حاصلضرب باشد، تقلیل‌ناپذیر نامیده می‌شود . ،{\displaystyle a=bc,}توسط هر دو است {\displaystyle b}یا {\displaystyle c}یک واحد بودن. یک مثال، که در نظریه میدان مهم است، چندجمله‌ای‌های تقلیل‌ناپذیر هستند ، یعنی عناصر تقلیل‌ناپذیر درک {\displaystyle k[X]}، برای یک میدان {\displaystyle k}این واقعیت که {\displaystyle \mathbb {Z} }اینکه آیا یک UFD است را می‌توان به صورت ابتدایی‌تر با این جمله بیان کرد که هر عدد طبیعی را می‌توان به صورت منحصر به فرد به حاصلضرب توان‌هایی از اعداد اول تجزیه کرد. این قضیه همچنین به عنوان قضیه اساسی حساب شناخته می‌شود .

یک عنصر {\displaystyle a}یک عنصر اول است اگر هر زمان کهالف{\displaystyle a}یک محصول را تقسیم می‌کند {\displaystyle bc}، {\displaystyle a}تقسیم می‌کند {\displaystyle b}یا {\displaystyle c}در یک دامنه، اول بودن به معنای تقلیل‌ناپذیر بودن است. عکس این قضیه در یک دامنه فاکتورگیری منحصر به فرد درست است، اما به طور کلی نادرست است.

حلقه فاکتور

[ ویرایش ]

تعریف ایده‌آلها به گونه‌ای است که «تقسیم» {\displaystyle I}«بیرون» حلقه دیگری می‌دهد، حلقه عامل {\displaystyle R/I}: مجموعه‌ی کوست‌های است . {\displaystyle I}همراه با عملیات {\displaystyle \left(a+I\right)+\left(b+I\right)=\left(a+b\right)+I}و {\displaystyle \left(a+I\right)\left(b+I\right)=ab+I}برای مثال، حلقه {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }(همچنین مشخص شده است {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}) ، کج {\displaystyle n}یک عدد صحیح است، به مدول حلقه اعداد صحیح است {\displaystyle n}این اساس حساب پیمانه‌ای است .

یک ایده‌آل، ایده‌آلی است که اکیداً کوچکتر از کل حلقه باشد. ایده‌آلی که اکیداً در هیچ ایده‌آل خاصی گنجانده نشده باشد، ماکسیمال نامیده می‌شود . {\displaystyle m}حداکثر است اگر و تنها اگر {\displaystyle R/m}یک میدان است. به جز حلقه صفر ، هر حلقه‌ای (با همانی) حداقل یک ایده‌آل ماکسیمال دارد؛ این از لم زورن نتیجه می‌شود .